Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức không đối xứng giữa hai nghiệm
Bài tập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức không đối xứng lớp 9
Trong chương trình Toán 9, dạng toán tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức không đối xứng giữa hai nghiệm là một trong những dạng toán nâng cao, thường gặp trong các đề kiểm tra và đề thi vào lớp 10. Dạng bài này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hệ thức Vi-ét, đồng thời biết cách biến đổi và xử lý tham số linh hoạt. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, ví dụ minh họa cụ thể, giúp việc ôn tập chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 trở nên hiệu quả hơn.
A. Phương pháp giải
Bước 1. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm.
Bước 2. Áp dụng hệ thức Viète tính 
\(x_{1}
+ x_{2};x_{1}.x_{2}\).
Sử dụng \(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^{2} + bx + c =
0\) suy ra:
\(\left\{ \begin{matrix}
a{x_{1}}^{2} + bx_{1} + c = 0 \\
a{x_{2}}^{2} + bx_{2} + c = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a{x_{1}}^{2} = - bx_{1} - c \\
a{x_{2}}^{2} = - bx_{2} - c
\end{matrix} \right.\)
Bước 3. Từ hệ thức Viète và điều kiện \(x_{1};x_{2}\) là nghiệm của phương trình thay thế một cách hợp lí vào hệ thức đề bài cho để tìm giá trị của tham số.
B. Bài tập minh họa tính giá trị của tham số m thỏa mãn hệ thức nghiệm bất đối xứng
Ví dụ 1. Cho phương trình \(x^{2} - 4x -
m^{2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) phân biệt thỏa mãn \(x_{2} = - 5x_{1}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\Delta' = m^{2} + 5 >
0;\forall m\)
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) với mọi m.
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 4\ \ \ \ \ (1) \\
x_{1}.x_{2} = - m^{2} - 1\ \ (2)
\end{matrix} \right.\)
Theo bài ra ta có: \(x_{2} = - 5x_{1}\ \ \
(3)\)
Thay (3) vào (1) ta được: \(x_{1} - 5x_{1}
= 4 \Rightarrow x_{1} = - 1\) suy ra \(x_{2} = 5\)
\(- 1.5 = - m^{2} - 1 \Leftrightarrow
m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\)
Vậy \(m = \pm 2\) là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho phương trình \(x^{2} + 2x + 2m
- 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) phân biệt thỏa mãn \(x_{1} - 2x_{2} = 7\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\Delta' = 2 - 2m\)
Phương trình có nghiệm \(x_{1};x_{2}\) khi \(\Delta' \geq 0 \Rightarrow 2 - 2m \geq 0
\Rightarrow m \leq 1\)
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = - 2\ \ \ \ \ (1) \\
x_{1}.x_{2} = 2m - 1\ \ (2)
\end{matrix} \right.\)
Theo bài ra ta có: \(x_{1} - 2x_{2} = 7
\Rightarrow x_{1} = 2x_{2} + 7\ \ \ (3)\)
Thế (3) vào (1) ta được: \(7 + 2x_{2} +
x_{2} = - 2 \Rightarrow x_{2} = - 3 \Rightarrow x_{1} = 1\)
Thay \(x_{1};x_{2}\) vào (2) ta được: \(2m - 1 = - 3 \Rightarrow m = -
1(tm)\)
Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 3. Cho phương trình \(x^{2} - 2x -
2m^{2} = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) phân biệt thỏa mãn \({x_{1}}^{2} = 4{x_{2}}^{2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\Delta' = 2m + 1\)
Phương trình có nghiệm \(x_{1};x_{2}\) khi \(\Delta' \geq 0 \Rightarrow 2m + 1 \geq 0
\Rightarrow m \geq - \frac{1}{2}\)
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 2\ \ \ \ \ (1) \\
x_{1}.x_{2} = - 2m^{2}\ \ (2)
\end{matrix} \right.\)
Theo bài ra ta có: \({x_{1}}^{2} =
4{x_{2}}^{2} \Rightarrow x_{1} = \pm 2x_{2}\)
Trường hợp 1: \(x_{1} = 2x_{2}\) thay vào (1) ta được: \(3x_{2} = 2 \Rightarrow
x_{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow x_{1} = \frac{4}{3}\)
Thay \(x_{2} = \frac{2}{3};x_{1} =
\frac{4}{3}\) vào (2) ta được: \(-
2m^{2} = \frac{8}{9} \Rightarrow m^{2} = \frac{- 4}{9}(VN)\)
Trường hợp 2: \(x_{1} = - 2x_{2}\) thay vào (1) ta được: \(- x_{2} = 2
\Rightarrow x_{2} = - 2 \Rightarrow x_{1} = 4\)
Thay \(x_{2} = - 2;x_{1} = 4\) vào (2) ta được: \(- 2m^{2} = - 8 \Rightarrow
m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\)
Vì \(m \geq - \frac{1}{2}\) suy ra \(m = 2\) là giá trị cần tìm.
C. Bài tập từ rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho phương trình \(x^{2} - (2m +
1)x + m^{2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) phân biệt thỏa mãn \(\left( {x_{1}}^{2} - 2mx_{1} + m^{2} \right)\left(
x_{2} + 1 \right) = 1\).
Bài tập 2. Cho phương trình \(x^{2} - x + m
+ 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) phân biệt thỏa mãn \({x_{1}}^{2} + x_{1}x_{2} + 3x_{2} =
7\).
Bài tập 3. Cho phương trình \(x^{2} - 6x +
m + 3 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) phân biệt thỏa mãn \(x_{2} = {x_{1}}^{2}\).
Bài tập 4. Cho phương trình \(x^{2} + 4x +
4m - m^{2} = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) phân biệt thỏa mãn \(x_{1} = {x_{2}}^{2} - 6\).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
--------------------------------------------------------------
Qua bài viết, chúng ta đã tìm hiểu phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức không đối xứng giữa hai nghiệm, kèm theo ví dụ minh họa dễ hiểu. Việc luyện tập dạng toán này không chỉ giúp củng cố kỹ năng giải phương trình bậc hai mà còn nâng cao khả năng phân tích, xử lý bài toán có tham số. Đây là một trong những nội dung quan trọng thuộc chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10, vì vậy học sinh cần chăm chỉ luyện tập nhiều dạng đề khác nhau để tự tin chinh phục kỳ thi tuyển sinh. Hy vọng tài liệu này sẽ trở thành người đồng hành hữu ích trong quá trình học tập của bạn.
