VnDoc.com

Cách xác định điểm rơi trong bất đẳng thức

Bất đẳng thức lớp 9 có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Bất đẳng thức lớp 9

A. Phương pháp chọn điểm rơi
B. Bài tập chọn điểm rơi

Tài liệu Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài liên quan đến phần Bất đẳng thức Toán 9 và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm.

Bài viết “Cách xác định điểm rơi trong bất đẳng thức” sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp nhận diện, phân tích điều kiện xảy ra dấu bằng và vận dụng linh hoạt vào các dạng bài tập toán 9. Nội dung được trình bày rõ ràng, có ví dụ minh họa và đáp án cụ thể, giúp học sinh hiểu bản chất vấn đề thay vì học thuộc máy móc.

Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

A. Phương pháp chọn điểm rơi

Chọn điểm rơi chính là việc dự đoán dấu bằng xảy ra tại các giá trị của biến.

Nếu biểu thức có điều kiện rằng buộc thì giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất thường đạt tại vị trí biên.

Thông thường với các biểu thức đối xứng thì dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau.

Một số phương pháp chọn điểm rơi thường dùng:

Giả sử điểm rơi
Cân bằng đại số
Điểm rơi đạt tại biên
Kỹ thuật ghép cặp
Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

B. Bài tập chọn điểm rơi

Ví dụ 1. Cho và Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \geq 2.$

Hướng dẫn giải

Hướng 1:

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại:

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1 \geq 2x \\y^{2} + 1 \geq 2y \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2(x + y) = 4$ $\Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2.$

Hướng 2:

Ta có: $(x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2xy \Leftrightarrow 2\left( x^{2} + y^{2} \right) \geq (x + y)^{2} = 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2.$

Hướng 3:

Ta có: $2 = x + y \geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow \sqrt{xy} \leq 1$

$\Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy \geq 2^{2} - 2.1 = 2$

Ví dụ 2. Cho và thỏa mãn $a + b \geq 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = a + b + \frac{1}{2a} + \frac{2}{b}$ .

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm rơi đạt tại: $a = x,b = y(x,y > 0) \Rightarrow x + y = 3$

Dựa trên liên hệ x và y ta đặt:

$x = ty(t > 0) \Rightarrow x + y = y.(t + 1) = 3 \Leftrightarrow y = \frac{3}{t + 1}$

Khi đó thì:

$P = \frac{t + 1}{6t} + \frac{2}{3}(t + 1) + 3$ $= \left( \frac{1}{6t} + \frac{2t}{3} \right) + \frac{32}{6} \geq 2\sqrt{\frac{1}{9}} + \frac{32}{6} = \frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{1}{6t} =\frac{2t}{3}(t > 0)$

$\Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow a =\frac{b}{2};a + b = 3$ $\Rightarrow a = 1;b = 2$

Vậy $MinP = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 1,b = 2$

Nhận xét: Khi đã biết điểm rơi đạt tại

Ta tách như sau:

$M = a + b + \frac{1}{2a} + \frac{2}{b}$ $= \left( \frac{1}{2a} + \frac{a}{2} \right) + \left( \frac{2}{b} + \frac{b}{2} \right) + \frac{a + b}{2}$ $\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}} + 2 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Ví dụ 3. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = x^{2} + 28y^{2} + 28z^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Vì vai trò bình đẳng của y và z nên điểm rơi đạt được tại: $y = z \neq x$

Do đó $B = x^{2} + 28y^{2} + 28z^{2}$ $= (28- k)\left( y^{2} + z^{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} + ky^{2}\right)$ với

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$B \geq 2(28 - k)yz + 2\sqrt{\frac{k}{2}}.xy + 2\sqrt{\frac{k}{2}}.zx$

Dựa trên giả thiết ta cần tìm k sao cho: $\left\{ \begin{matrix} 28 - k = \sqrt{\dfrac{k}{2}} \\ 0 < k < 28 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow k = \dfrac{49}{2}$

Vậy $B = \frac{7}{2}\left( y^{2} + z^{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{49y^{2}}{2} \right) \geq 7(xy + yz + zx) = 7$

Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{ \begin{matrix} y = z = \dfrac{x}{7} \\ xy + yz + zx = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{7}{\sqrt{15}} \\ y = z = \dfrac{1}{\sqrt{15}} \\ \end{matrix} \right.$

Cách 2: Vì vai trò bình đẳng của y và z nên điểm rơi đạt được tại: $y = z \neq x$

Do đó: $\left\{ \begin{matrix} a\left( y^{2} + z^{2} \right) \geq 2a.yz \\ bx^{2} + cz^{2} \geq 2\sqrt{bc}.zx \\ bx^{2} + cy^{2} \geq 2\sqrt{bc}.xy \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow 2bx^{2} + (a + c)y^{2} + (a+ c)z^{2}$ $\geq 2\sqrt{bc}.xy + 2a.yz + 2\sqrt{bc}.zx$

Dựa trên giả thiết ta cần tìm sao cho:

$\left\{ \begin{matrix} a = \sqrt{bc} \\ 2b = 1 \\ a + c = 28 \\ \end{matrix} \right.\ (a,b,c > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{7}{2} \\ b = \dfrac{1}{2} \\ c = \dfrac{49}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó ta được:

$B = \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{49}{2}z^{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{49}{2}y^{2} \right) + \frac{7}{2}\left( y^{2} + z^{2} \right)$ $\geq 7(xy + yz + zx) =7$

Vậy $MinB = 7 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = z = \dfrac{x}{7} \\ xy + yz + zx = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{7}{\sqrt{15}} \\ y = z = \dfrac{1}{\sqrt{15}} \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ 4. Cho thỏa mãn $abc \geq 6,bc \geq 6,c \geq 3$ . Chứng minh rằng: $a + b + c \geq 6$ .

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại biên:

$\left\{ \begin{matrix} abc = 6 \\ bc = 6 \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow a = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}$

Từ đó ta ghép:

P = a + b + c = $\left( a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} \right) + \left( \frac{b}{2} + \frac{c}{3} \right) + \frac{c}{3}$ $\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{6}} + 2\sqrt{\frac{bc}{6}} + \frac{c}{3} \geq 3 + 2 + 1 = 6$

Vậy $a + b + c \geq 6$ .

Ví dụ 5. Cho và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \frac{a}{1 + b^{2}c} + \frac{b}{1 + c^{2}a} + \frac{c}{1 + a^{2}b}$

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm rơi đạt tại .

Ta có :

$\frac{a}{1 + b^{2}c} = a.\frac{1}{1 + b^{2}c} = a.\left( 1 - \frac{b^{2}c}{1 + b^{2}c} \right) \geq a.\left( 1 - \frac{b\sqrt{c}}{2} \right) = a - \frac{ab\sqrt{c}}{2}$

Tương tự ta được : $\frac{b}{1 + c^{2}a} \geq b - \frac{bc\sqrt{a}}{2}$ ; $\frac{c}{1 + a^{2}b} \geq c - \frac{ca\sqrt{b}}{2}$ .

Cộng vế với vế, ta có : $Q \geq (a + b + c) - \frac{ab\sqrt{c} + bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b}}{2}$ .

Mặt khác với điểm rơi trên ta có:

$\sqrt{c} \leq \frac{c + 1}{2} \Leftrightarrow ab\sqrt{c} \leq \frac{abc + ab}{2}$

$\Rightarrow ab\sqrt{c} + bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b} \leq \frac{1}{2}(3abc + ab + bc + ca) \leq 3$

Vì $\left\{ \begin{matrix} ab + bc + ca \leq \dfrac{1}{3}(a + b + c)^{2} = 3 \\ abc \leq \left( \dfrac{a + b + c}{3} \right)^{3} = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow 3abc + ab + bc + ca \leq6$

Khi đó ta có :

$Q \geq (a + b + c) - \frac{ab\sqrt{c} + bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b}}{2}$ $\geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow MinQ = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = b = c = 1$

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-------------------------------------------------------------

Việc nắm vững cách xác định điểm rơi trong bất đẳng thức không chỉ giúp học sinh giải đúng bài tập mà còn rèn luyện tư duy phân tích và lập luận chặt chẽ – kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 9. Khi hiểu rõ điều kiện xảy ra dấu bằng, các em sẽ chủ động hơn trong quá trình chứng minh và tránh được những sai sót thường gặp.

Hy vọng tài liệu Bất đẳng thức lớp 9 có đáp án chi tiết trên đây sẽ trở thành nguồn tham khảo hữu ích, hỗ trợ các em học tốt hơn và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, đề thi học kì. Đừng quên luyện tập thêm nhiều dạng bài tập toán 9 về bất đẳng thức để thành thạo phương pháp và nâng cao kỹ năng giải toán.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: