Cách xác định điểm rơi trong bất đẳng thức

Tài liệu Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài liên quan đến phần Bất đẳng thức Toán 9 và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

A. Phương pháp chọn điểm rơi

Chọn điểm rơi chính là việc dự đoán dấu bằng xảy ra tại các giá trị của biến.

Nếu biểu thức có điều kiện rằng buộc thì GTNN hoặc GTLN thường đạt tại vị trí biên.

Thông thường với các biểu thức đối xứng thì dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau.

Một số phương pháp chọn điểm rơi thường dùng:

• Giả sử điểm rơi
• Cân bằng đại số
• Điểm rơi đạt tại biên
• Kỹ thuật ghép cặp
• Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

B. Bài tập chọn điểm rơi

Hướng dẫn giải

Hướng 1:

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: \(x = y = 1.\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1 \geq 2x \\ y^{2} + 1 \geq 2y \\ \end{matrix} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2(x + y) \right.\ = 4 \Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2.\)

Hướng 2:

Ta có: \((x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2xy \Leftrightarrow 2\left( x^{2} + y^{2} \right) \geq (x + y)^{2} = 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2.\)

Hướng 3:

Ta có: \(2 = x + y \geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow \sqrt{xy} \leq 1 \Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy \geq 2^{2} - 2.1 = 2.\)

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm rơi đạt tại: \(a = x,b = y(x,y > 0) \Rightarrow x + y = 3\)

Dựa trên liên hệ x và y ta đặt:

\(x = ty(t > 0) \Rightarrow x + y = y.(t + 1) = 3 \Leftrightarrow y = \frac{3}{t + 1}\)

Khi đó thì:

\(P = \frac{t + 1}{6t} + \frac{2}{3}(t + 1) + 3\)\(= \left( \frac{1}{6t} + \frac{2t}{3} \right) + \frac{32}{6} \geq 2\sqrt{\frac{1}{9}} + \frac{32}{6} = \frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{1}{6t} =\frac{2t}{3}(t > 0)\)

\(\Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow a =\frac{b}{2};a + b = 3\)\(\Rightarrow a = 1;b = 2\)

Vậy \(MinP = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 1,b = 2\)

Nhận xét: Khi đã biết điểm rơi đạt tại \(a = 1,b = 2\)

Ta tách như sau:

\(M = a + b + \frac{1}{2a} + \frac{2}{b}\)

\(= \left( \frac{1}{2a} + \frac{a}{2} \right) + \left( \frac{2}{b} + \frac{b}{2} \right) + \frac{a + b}{2}\)\(\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}} + 2 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Vì vai trò bình đẳng của y và z nên điểm rơi đạt được tại: \(y = z \neq x\)

Do đó \(B = x^{2} + 28y^{2} + 28z^{2}\)\(= (28- k)\left( y^{2} + z^{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} + ky^{2}\right)\) với \(0 < k < 28\)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(B \geq 2(28 - k)yz + 2\sqrt{\frac{k}{2}}.xy + 2\sqrt{\frac{k}{2}}.zx\)

Dựa trên giả thiết ta cần tìm k sao cho: \(\left\{ \begin{matrix} 28 - k = \sqrt{\dfrac{k}{2}} \\ 0 < k < 28 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow k = \dfrac{49}{2}\)

Vậy \(B = \frac{7}{2}\left( y^{2} + z^{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{49y^{2}}{2} \right) \geq 7(xy + yz + zx) = 7\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\left\{ \begin{matrix} y = z = \dfrac{x}{7} \\ xy + yz + zx = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{7}{\sqrt{15}} \\ y = z = \dfrac{1}{\sqrt{15}} \\ \end{matrix} \right.\)

Cách 2: Vì vai trò bình đẳng của y và z nên điểm rơi đạt được tại: \(y = z \neq x\)

Do đó: \(\left\{ \begin{matrix} a\left( y^{2} + z^{2} \right) \geq 2a.yz \\ bx^{2} + cz^{2} \geq 2\sqrt{bc}.zx \\ bx^{2} + cy^{2} \geq 2\sqrt{bc}.xy \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow 2bx^{2} + (a + c)y^{2} + (a+ c)z^{2}\)\(\geq 2\sqrt{bc}.xy + 2a.yz + 2\sqrt{bc}.zx\)

Dựa trên giả thiết ta cần tìm \(a;b;c\) sao cho:

\(\left\{ \begin{matrix} a = \sqrt{bc} \\ 2b = 1 \\ a + c = 28 \\ \end{matrix} \right.\ (a,b,c > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{7}{2} \\ b = \dfrac{1}{2} \\ c = \dfrac{49}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

Từ đó ta được:

\(B = \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{49}{2}z^{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{49}{2}y^{2} \right) + \frac{7}{2}\left( y^{2} + z^{2} \right)\)\(\geq 7(xy + yz + zx) =7\)

Vậy \(MinB = 7 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = z = \dfrac{x}{7} \\ xy + yz + zx = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{7}{\sqrt{15}} \\ y = z = \dfrac{1}{\sqrt{15}} \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại biên:

\(\left\{ \begin{matrix} abc = 6 \\ bc = 6 \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow a = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}\)

Từ đó ta ghép:

P = a + b + c = \(\left( a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} \right) + \left( \frac{b}{2} + \frac{c}{3} \right) + \frac{c}{3}\)\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{6}} + 2\sqrt{\frac{bc}{6}} + \frac{c}{3} \geq 3 + 2 + 1 = 6\)

Vậy \(a + b + c \geq 6\).

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm rơi đạt tại \(a = b = c = 1\).

Ta có :

\(\frac{a}{1 + b^{2}c} = a.\frac{1}{1 + b^{2}c} = a.\left( 1 - \frac{b^{2}c}{1 + b^{2}c} \right) \geq a.\left( 1 - \frac{b\sqrt{c}}{2} \right) = a - \frac{ab\sqrt{c}}{2}\)

Tương tự ta được : \(\frac{b}{1 + c^{2}a} \geq b - \frac{bc\sqrt{a}}{2}\) ; \(\frac{c}{1 + a^{2}b} \geq c - \frac{ca\sqrt{b}}{2}\).

Cộng vế với vế, ta có : \(Q \geq (a + b + c) - \frac{ab\sqrt{c} + bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b}}{2}\).

Mặt khác với điểm rơi trên ta có:

\(\sqrt{c} \leq \frac{c + 1}{2} \Leftrightarrow ab\sqrt{c} \leq \frac{abc + ab}{2}\)

\(\Rightarrow ab\sqrt{c} + bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b} \leq \frac{1}{2}(3abc + ab + bc + ca) \leq 3\)

Vì \(\left\{ \begin{matrix} ab + bc + ca \leq \dfrac{1}{3}(a + b + c)^{2} = 3 \\ abc \leq \left( \dfrac{a + b + c}{3} \right)^{3} = 1 \\ \end{matrix} \right.\)\(\Rightarrow 3abc + ab + bc + ca \leq6\)

Khi đó ta có :

\(Q \geq (a + b + c) - \frac{ab\sqrt{c} + bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b}}{2}\)\(\geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow MinQ = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = b = c = 1\)