So sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước Toán 9
Bài tập so sánh nghiệm phương trình bậc hai có lời giải chi tiết
Trong chương trình Toán 9, dạng toán so sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước là kiến thức quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích và vận dụng định lý Vi-ét. Đây là một trong những chuyên đề thường xuyên xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10, đòi hỏi học sinh vừa nắm chắc lý thuyết vừa biết vận dụng linh hoạt. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải, đưa ra ví dụ minh họa cụ thể, giúp các em tự tin hơn khi chinh phục dạng toán này.
A. Phương pháp giải
Gọi 
\(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq
0)\). Khi đó:
\(x_{1};x_{2}\) cùng nhỏ hơn \(\alpha\) khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
S < 2\alpha \\
\left( x_{1} - \alpha \right)\left( x_{2} - \alpha \right) > 0
\end{matrix} \right.\)
\(x_{1};x_{2}\) cùng lớn hơn \(\alpha\) khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
S > 2\alpha \\
\left( x_{1} - \alpha \right)\left( x_{2} - \alpha \right) > 0
\end{matrix} \right.\)
\(x_{1} < \alpha < x_{2}\) khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta > 0 \\
\left( x_{1} - \alpha \right)\left( x_{2} - \alpha \right) < 0
\end{matrix} \right.\)
B. Bài tập minh họa so sánh các nghiệm của phương trình với một số cho trước
Ví dụ 1. Cho phương trình \(x^{2} + 2(m -
1)x - (m + 1) = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình:
a) Có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.
b) Có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\Delta' = m^{2} - m + 2 =
\left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{7}{4} > 0;\forall
m\)
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = - 2m + 2 \\
x_{1}x_{2} = - m - 1
\end{matrix} \right.\)
a) Vì phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1 nên:
\(\left( x_{1} - 1 \right)\left( x_{2} - 1
\right) < 0 \Rightarrow x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) + 1
< 0\)
\(\Leftrightarrow - m - 1 + 2m - 2 < 0
\Leftrightarrow m < 3\)
Vậy \(m < 3\) là giá trị cần tìm.
b) Vì phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2 nên:
\(\left( x_{1} - 2 \right)\left( x_{2} - 2
\right) > 0\)
\(\Rightarrow x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} +
x_{2} \right) + 4 > 0\)
\(\Leftrightarrow - m - 1 + 4m - 4 + 4
> 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}\)
Vậy \(m > \frac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho phương trình \(2x^{2} + \left(
m^{2} - 3 \right)x - 4 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_{1};x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1} < 1 < x_{2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\Delta = \left( m^{2} - 3
\right)^{2} + 32 > 0;\forall m\)
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) với mọi m.
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 3 - m^{2} \\
x_{1}x_{2} = - 4
\end{matrix} \right.\)
Vì \(x_{1} < 1 < x_{2}\) nên \(\left\{ \begin{matrix}
x_{1} - 1 < 0 \\
x_{2} - 1 > 0
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left( x_{1} - 1 \right)\left( x_{2}
- 1 \right) < 0\)
\(\Rightarrow x_{1}x_{2} - \left( x_{1} +
x_{2} \right) + 1 < 0\)
\(\Rightarrow - 4 - 3 + m^{2} + 1 <
0\)
\(\Rightarrow m^{2} < 6 \Rightarrow -
\sqrt{6} < m < \sqrt{6}\)
Vậy \(- \sqrt{6} < m <
\sqrt{6}\) là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Cho phương trình \(x^{2} + mx + 1
= 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\Delta = m^{2} - 4\)
Phương trình có nghiệm \(x_{1};x_{2}\) khi \(\Delta \geq 0 \Rightarrow m^{2} - 4 \geq 0
\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m \geq 2 \\
m \leq - 2
\end{matrix} \right.\)
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = - m \\
x_{1}.x_{2} = 1
\end{matrix} \right.\)
Vì phương trình có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2, nên ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. \(x_{1} \geq 2;x_{2} \geq
2\)
\(\left\{ \begin{matrix}
x_{1} + x_{2} \geq 4 \\
\left( x_{1} - 2 \right).\left( x_{2} - 2 \right) \geq 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{1} + x_{2} \geq 4 \\
x_{1}.x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 4 \geq 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- m \geq 4 \\
1 + 2m + 4 \geq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \leq - 4 \\
m \geq - \frac{5}{2}
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \varnothing\)
Trường hợp 2. \(x_{1} \geq 2;x_{2} <
2\) (hoặc \(x_{1} < 2;x_{2} \geq
2\))
\(\left( x_{1} - 2 \right).\left( x_{2} -
2 \right) \leq 0\)
\(\Rightarrow x_{1}.x_{2} - 2\left( x_{1}
+ x_{2} \right) + 4 \leq 0\)
\(\Rightarrow 1 + 2m + 4 \leq
0\)
\(\Rightarrow 2m \leq - 5 \Leftrightarrow
m \leq - \frac{5}{2}\)
Kết hợp với điều kiện \(m \geq 2\) hoặc \(m \leq - 2\) ta được: \(m \leq - \frac{5}{2}\)
Vậy \(m \leq - \frac{5}{2}\) là giá trị cần tìm.
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập 1. Cho phương trình \(x^{2} + mx +
m - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn hoặc bằng -2.
Bài tập 2. Cho phương trình \(x^{2} + (m +
2)x - m - 4 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1} < 0 \leq x_{2}\).
Bài tập 3. Cho phương trình \(x^{2} - 2(m -
1)x + 2m - 5 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm \(x_{1};x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1} < - 1 < x_{2}\).
Bài tập 4. Cho phương trình \(x^{2} - (m +
3)x + m - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_{1} < - \frac{3}{2} < x_{2}\).
-------------------------------------------------------------
Như vậy, qua chuyên đề so sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước Toán 9, chúng ta đã tìm hiểu phương pháp giải chi tiết và vận dụng định lý Vi-ét trong việc phân tích nghiệm. Việc thành thạo dạng toán này không chỉ giúp học sinh học tốt Toán 9 mà còn là nền tảng quan trọng để đạt điểm cao trong kỳ thi tuyển sinh vào 10. Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tự luận và trắc nghiệm, kết hợp ghi nhớ công thức để nâng cao tốc độ làm bài. Hy vọng tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành hữu ích trong quá trình ôn tập của các em.
