Cách chứng minh bất đẳng thức bằng PP biến đổi tương đương

Chứng minh bất đẳng thức Toán 9 - Có đáp án

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương – một kỹ thuật quan trọng trong việc giải quyết bài tập bất đẳng thức Toán 9. Phương pháp này giúp bạn chứng minh được tính đúng đắn của bất đẳng thức thông qua các bước biến đổi toán học hợp lý. Bài viết sẽ cung cấp những hướng dẫn chi tiết về cách áp dụng phương pháp này vào việc giải các bài tập bất đẳng thức, đồng thời giải thích rõ ràng các kỹ thuật và quy tắc cần thiết. Hãy cùng khám phá và nắm vững phương pháp này để có thể giải quyết hiệu quả các bài toán bất đẳng thức trong chương trình Toán lớp 9!

A. Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức \(A > B\) theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:

- Cách 1: Lập hiệu \(A - B\). Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra \(A - B > 0\).

- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế trái để được \(A > B\).

- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế phải để được \(B < A\).

Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:

(1): \(x \in \lbrack a;b\rbrack \Leftrightarrow a \leq x \leq b \Leftrightarrow (x - a)(x - b) \leq 0\).

(2): \(\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \geq 0\) với mọi x sao cho \(f(x)\) xác định.

Đặc biệt, \(a^{2} + b^{2} \geq 2ab;a^{2} + b^{2} \geq - 2ab\).

(3): \(3(ab + bc + ca) \leq (a + b + c)^{2} \leq 3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)\), với mọi a, b, c.

B. Bài tập ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức

Lời giải

a) Ta có \(f(x) = \frac{3(x + 2) - 7}{x + 2} = 3 - \frac{7}{x + 2}\). ĐKXĐ: \(x \neq - 2\)

Với mọi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\), ta có:

\(1 \leq x + 2 \leq 5 \Leftrightarrow \frac{7}{1} \geq \frac{7}{x + 2} \geq \frac{7}{5} \Leftrightarrow - 7 \leq - \frac{7}{x + 2} \leq - \frac{7}{5}\)

Do đó \(- 4 \leq f(x) \leq \frac{8}{5};\forall x \in \lbrack - 1;3\rbrack\)

Ta có \(\left\{ \begin{matrix}f(x) = - 4 \Leftrightarrow x = - 1 \in \lbrack - 1;3\rbrack \\f(x) = \frac{8}{5} \Leftrightarrow x = 3 \in \lbrack - 1;3\rbrack \\\end{matrix} \right.\).

Vậy \(\left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 1;3\rbrack}f(x) = f( - 1) = - 4 \\ \min_{\lbrack - 1;3\rbrack}f(x) = f(3) = \frac{8}{5} \\ \end{matrix} \right.\).

b) Với \(x \in \lbrack - 1;2\rbrack\) thì \(x^{2} \in \lbrack 0;4\rbrack\).

Ta có \(\frac{x^{2}}{2x^{2} + 1} = \frac{1}{2}.\frac{\left( 2x^{2} + 1 \right) - 1}{2x^{2} + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x^{2} + 1}\).

Với mọi x thuộc đoạn [-1; 2] thì \(1 \leq 2x^{2} + 1 \leq 9 \Leftrightarrow 1 \geq \frac{1}{2x^{2} + 1} \geq \frac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow - 1 \leq \frac{- 1}{2x^{2} + 1} \leq - \frac{1}{9} \Rightarrow 0 \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^{2} + 1} \leq \frac{4}{9}\).

Do đó \(0 \leq g(x) \leq \frac{2}{3};\forall x \in \lbrack - 1;2\rbrack\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{matrix} g(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \lbrack - 1;2\rbrack \\ g(x) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = 2 \in \lbrack - 1;2\rbrack \\ \end{matrix} \right.\).

Vậy \(\left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 1;2\rbrack}g(x) = g(2) = \frac{2}{3} \\ \min_{\lbrack - 1;2\rbrack}g(x) = g(0) = 0 \\ \end{matrix} \right.\).

Lời giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{matrix} - x^{2} + 4x + 21 \geq 0 \\ - x^{2} + 3x + 10 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 5\).

Ta có \(\left( - x^{2} + 4x + 21 \right) - \left( - x^{2} + 3x + 10 \right) = x + 11 > 0\), suy ra \(y > 0\).

\(y^{2} = - 2x^{2} + 7x + 31 - 2\sqrt{(x + 3)(7 - x)(x + 2)(5 - x)}\)

\(= \left\lbrack \sqrt{(x + 3)(5 - x)} - \sqrt{(x + 2)(7 - x)} \right\rbrack^{2} + 2 \geq 2\) , suy ra \(y \geq \sqrt{2}\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \((x + 3)(5 - x) = (x + 2)(7 - x) \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)

Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt{2}\) khi \(x = \frac{1}{3}\).

Lời giải

a) Ta có: \(\frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{18}{25}x - \frac{3}{50} = - \frac{(3x - 1)^{2}(4x + 3)}{50\left( x^{2} + 1 \right)} \leq 0;\forall x \in \left\lbrack - \frac{3}{4};\frac{5}{2} \right\rbrack\)

Suy ra \(\frac{x}{x^{2} + 1} \leq \frac{18}{25}x + \frac{3}{50};\forall x \in \left\lbrack - \frac{3}{4};\frac{5}{2} \right\rbrack\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - \frac{3}{4}\).

b) Từ giả thiết, ta có \(1 = a + b + c \geq a - \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \Rightarrow a \leq \frac{5}{2}\).

Tương tự, ta cũng có \(b \leq \frac{5}{2};c \leq \frac{5}{2}\) .

Suy ra a, b, c đều thuộc đoạn \(\left\lbrack - \frac{3}{4};\frac{5}{2} \right\rbrack\).

Áp dụng kết quả ở ý a), ta có:

\(\frac{a}{a^{2} + 1} \leq \frac{18}{25}a + \frac{3}{50};\frac{b}{b^{2} + 1} \leq \frac{18}{25}b + \frac{3}{50};\frac{c}{c^{2} + 1} \leq \frac{18}{25}c + \frac{3}{50}\).

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được:

\(\frac{a}{a^{2} + 1} + \frac{b}{b^{2} + 1} + \frac{c}{c^{2} + 1} \leq \frac{18}{25}(x + b + c) + \frac{9}{50} \leq \frac{9}{10}\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).

Nhận xét: Để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Nếu không có ý a) chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Chúng ta có thể tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách sau đây:

Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh.

Thứ hai, giả thiết của bài toán là \(a + b + c = 1\) (các biến số a, b, c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần đánh giá \(\frac{a}{a^{2} + 1} \leq ma + n\), trong đó m, n là các hằng số phải đi tìm.

Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).

Khi \(a = \frac{1}{3}\) thì \(\frac{a}{a^{2} + 1} = \frac{3}{10}\), do đó ta cần đánh giá \(\frac{a}{a^{2} + 1} \leq \frac{3}{10} + m(3a - 1)\). Lúc này, chúng ta cần tìm m để bất đẳng thức trên xảy ra.

Xét \(\frac{a}{a^{2} + 1} - \frac{3}{10} - m(3a - 1) = \frac{(3a - 1)\left\lbrack 3 - a - 10m\left( a^{2} + 1 \right) \right\rbrack}{10\left( a^{2} + 1 \right)}\)

Lúc này, ta cần chọn m để \(3 - a - 10m\left( a^{2} + 1 \right) = 0\) nhận \(a = \frac{1}{3}\) làm nghiệm (mục tiêu là xuất hiện \((3a - 1)^{2}\)).

Giải điều kiện đó ta tìm được \(m = \frac{6}{25}\). Khi đó ta có

\(\frac{a}{a^{2} + 1} - \frac{3}{10} - \frac{6}{25}(3a - 1) = - \frac{(3a - 1)^{2}(4a + 3)}{50\left( a^{2} + 1 \right)} \leq 0\) (do \(a \geq - \frac{3}{4}\)).

----------------------------------------------------

Tóm lại, phương pháp biến đổi tương đương là một công cụ mạnh mẽ trong việc chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là trong chương trình Toán 9. Khi áp dụng đúng phương pháp này, bạn sẽ dễ dàng chứng minh các bất đẳng thức một cách chính xác và nhanh chóng. Hy vọng rằng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách sử dụng phương pháp này trong việc giải quyết các bài tập bất đẳng thức. Đừng quên luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải toán của mình!