Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm vị trí điểm M trên đường tròn để biểu thức nhỏ nhất

Bài tập Toán 9 Đường tròn có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp giải bài toán cực trị hình học Toán 9

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề tìm vị trí điểm M trên đường tròn để biểu thức nhỏ nhất là một dạng bài quen thuộc kết hợp giữa hình học và đại số. Dạng toán này giúp học sinh rèn luyện tư duy tối ưu hóa hình học, biết cách vận dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong đường tròn. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định vị trí điểm M để biểu thức nhỏ nhất, kèm phân tích phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án, giúp bạn nắm chắc dạng toán đường tròn Toán 9 và tự tin trong các bài kiểm tra, đề thi vào lớp 10.

Bài tập 1. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Một điểm M di động trên nửa đường tròn này qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Hãy xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O; R) sao cho AC + BD nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Kẻ AE // CD (E thuộc By)

Dễ thấy tứ giác ACDE là hình bình hành

=> AE = CD mà AC = MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Tương tự BD = MD nên AC + BD = MC + MD = CD

Lại có AE ≥ AB

<=> AC + BD ≥ AB (không đổi)

Dấu “=” xảy ra <=> E ≡ B

<=> CD // AB <=> OM ⊥ AB.

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB thì AC + BD nhỏ nhất.

Bài tập 2. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Một điểm M di động trên nửa đường tròn này qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Hãy xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O; R) sao cho 3AC + BD nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta có CM và CA là hai tiếp tuyến nên $\widehat{O_{1}} = \widehat{O_{2}}$

Tương tự $\widehat{O_{3}} = \widehat{O_{4}}$

Mà $\widehat{O_{1}} + \widehat{O_{2}} + \widehat{O_{3}} + \widehat{O_{4}} = 180^{o}$ $\Rightarrow \widehat{O_{2}} + \widehat{O_{3}} = 90^{o}$

Hay tam giác COD vuông tại O

CD là tiếp tuyến tại M nên CD ⊥ OM

Xét $\Delta CMO$ và $\Delta OMD$ có:

$\widehat{CMO} = \widehat{DMO} = 90^{o}$ , $\widehat{O_{2}} = \widehat{CDO}$ (cùng phụ với góc DCO)

Nên $\Delta CMO$ $\backsim \Delta OMD$ (g.g)

=> CM/OM = OM/MD

=> CM.DM = OM² = R² (không đổi)

Mà CM = AC, DM = BD => AC . BD = R²

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: $\frac{3AC + BD}{2} \geq \sqrt{3.AC.BD}$

$\Leftrightarrow$ $3AC + BD \geq 2\sqrt{3.AC.BD} \Leftrightarrow$ $3AC + BD \geq 2\sqrt{3}.R$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 3AC = BD = \sqrt{3}.R$ $\Leftrightarrow \widehat{AOC} = 30^{0} \Leftrightarrow \widehat{AOM} = 60^{0}$

Vậy M di động ở trên (O) sao cho $\widehat{AOM} = 60^{o}$ thì 3AC + BD nhỏ nhất.

Bài tập 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax; By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax; By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh $\hat{COD } = 90^0$ .

3. Chứng minh AC.BD = AB²/4. 4. Chứng minh OC // BM.

5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

6. Chứng minh MN ⊥ AB.

7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; BD = DM

=> AC + BD = CM + DM.

Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD

2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù => $\hat{COD } = 90^0$ .

3. Theo trên $\hat{COD } = 90^0$ nên tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD ( OM là tiếp tuyến ).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM² = CM. DM.

Mà OM = R; CA = CM; DB = DM

=> AC.BD = R² => AC. BD = AB²/4.

4. Theo trên $\hat{COD } = 90^0$ nên OC ⊥ OD (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: ; lại có OM = OB = R => OD là trung trực của BM => BM ⊥ OD (2).

Từ (1) và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).

5. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD

=> Tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB

$\Rightarrow$ IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD

6. Theo trên AC // BD => CN/BN = AC/BD, mà CA = CM, BD = DM nên suy ra CN /BN = CM/DM

=> MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB.

7. Ta có chu vi tứ giác ACDB bằng AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB bằng AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.

Bài tập 4. Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .

b) Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.

c) Chứng minh AM² = AE.AC.

d) Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI² .

e) Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu

--------------------------------------------

Qua bài viết tìm vị trí điểm M trên đường tròn để biểu thức nhỏ nhất, bạn đã nắm được phương pháp phân tích, lập luận hình học và cách xử lý biểu thức hiệu quả. Hãy luyện thêm các bài tập mở rộng về cực trị hình học, quỹ tích điểm và tiếp tuyến của đường tròn để nâng cao kỹ năng giải nhanh và chính xác.

Tải về

Chọn file muốn tải về: