Dùng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề Toán 9: Bất đẳng thức 

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách dùng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán lớp 9. Đây là một kỹ thuật quan trọng giúp xác định và chứng minh tính đúng đắn của các bất đẳng thức, đồng thời đảm bảo rằng các giá trị thỏa mãn điều kiện tồn tại nghiệm. Bài viết sẽ cung cấp cho bạn những phương pháp chứng minh cụ thể thông qua các bài tập bất đẳng thức Toán lớp 9 có đáp án, giúp bạn nắm vững cách áp dụng lý thuyết vào thực tế. Hãy cùng khám phá kỹ thuật này để có thể giải quyết hiệu quả các bài tập bất đẳng thức!

A. Cách chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình

Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình trong chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau đây:

(1) Phương trình \(ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \geq 0\).

(2) Điều kiện để tồn tại hai số u, v sao cho \(\left\{ \begin{matrix} u + v = S \\ uv = P \\ \end{matrix} \right.\) là \(S^{2} - 4P \geq 0\).

(3) Điều kiện để tồn tại hai số không âm u, v sao cho \(S^{2} - 4P \geq 0\) là

\(\left\{ \begin{matrix} S \geq 0 \\ P \geq 0 \\ S^{2} - 4P \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\).

Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) theo cách này, chúng ta có thể tiến hành như sau:

- Bước 1: Gọi \(y_{0}\) là một giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số. Khi đó phương trình \(f(x) = y_{0}\) có nghiệm.

- Bước 2: Biến đổi đưa phương trình \(f(x) = y_{0}\) về dạng \(ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)\). Sau đó tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm (điều kiện này dẫn đến giải bất phương trình ẩn \(y_{0}\)).

- Bước 3: Từ kết quả của bước 2, chúng ta kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\).

B. Bài tập ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức

Lời giải

Vì \(x^{2} + x + 4 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{15}{4} > 0\) với mọi \(x\mathbb{\in R}\) nên hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

Gọi \(y_{0}\) là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phương trình

\(y_{0} = \frac{2x - 1}{x^{2} + x + 4}\) có nghiệm

\(\Leftrightarrow y_{0}\left( x^{2} + x + 4 \right) = 2x - 1\)có nghiệm

\(\Leftrightarrow y_{0}x^{2} + \left( y_{0} - 2 \right)x + 4y_{0} + 1 = 0\ \ \ (*)\) có nghiệm.

Trường hợp 1: \(y_{0} = 0\).

Khi đó (1) trở thành \(- 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Trường hợp 2: \(y_{0} \neq 0\).

Khi đó phương trình (1) có nghiệm

\(\Delta = \left( y_{0} - 2 \right)^{2} - 4y_{0}\left( 4y_{0} + 1 \right) \geq 0\)

\(15{y_{0}}^{2} + 8y_{0} - 4 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{- 4 - 2\sqrt{19}}{15} \leq y_{0} \leq \frac{- 4 + 2\sqrt{19}}{15}\).

Kết hợp hai trường hợp ta có \(\frac{- 4 - 2\sqrt{19}}{15} \leq y_{0} \leq \frac{- 4 + 2\sqrt{19}}{15}\)

Với \({y_{0}}_{1} = \frac{- 4 - 2\sqrt{19}}{15}\) ta tìm được \(x_{0} = - \frac{{y_{0}}_{1} - 2}{2{y_{0}}_{1}}\).

Với \({y_{0}}_{12} = \frac{- 4 + 2\sqrt{19}}{15}\) ta tìm được \(x_{0} = - \frac{{y_{0}}_{2} - 2}{2{y_{0}}_{2}}\).

Vậy \(\max y = \frac{- 4 - 2\sqrt{19}}{15};miny = \frac{- 4 + 2\sqrt{19}}{15}\)

Nhận xét: Qua cách làm của ví dụ này, bạn đọc có thể tự mình đưa ra hướng giải cho bài toán tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất và gtnn của hàm số\(y = \frac{a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1}}{a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}}\), trong đó \(a_{2} > 0\) và \({b_{2}}^{2} - 4a_{2}c_{2} < 0\).

Lời giải

Hệ điều kiện đã cho được viết lại là \(\left\{ \begin{matrix} a + b = 4 - c \\ ab = 4 - c(a + b) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a + b = 4 - c \\ ab = c^{2} - 4c + 4 \\ \end{matrix} \right.\ (*)\)

Do tồn tại a, b đã cho nên hệ phương trình (*) có nghiệm, a, b hay\((4 - c)^{2} - 4\left( c^{2} - 4c + 4 \right) \geq 0\)

\(\Leftrightarrow 3c^{2} - 8c \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq c \leq \frac{8}{3}\)

Vai trò của a, b, c trong hệ điều kiện đã cho là như nhau nên chứng minh tương tự ta cũng có \(0 \leq a \leq \frac{8}{3};0 \leq b \leq \frac{8}{3}\).

Vậy, \(0 \leq a;b;c \leq \frac{8}{3}\).

-----------------------------------------------------------------

Tóm lại, việc dùng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm là một phương pháp mạnh mẽ và hiệu quả trong chứng minh bất đẳng thức. Với phương pháp này, bạn không chỉ có thể chứng minh các bất đẳng thức một cách chính xác mà còn hiểu rõ hơn về các điều kiện cần thiết để nghiệm của bất đẳng thức tồn tại. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích để giải quyết các bài tập bất đẳng thức Toán lớp 9. Đừng quên luyện tập các bài tập có đáp án để củng cố khả năng làm bài của mình!