Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Chuyên đề Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Mục lục bài viết

A. Cách giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
- 1. Cách giải phương trình tích
- 2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
B. Ví dụ minh họa giải phương trình
C. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Trong chương trình Toán 9, phần phương trình bậc nhất một ẩn là nền tảng quan trọng giúp học sinh rèn luyện tư duy đại số và kỹ năng giải toán logic. Bài viết này giới thiệu chuyên đề Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, cung cấp kiến thức lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và hệ thống bài tập có đáp án, giúp bạn nắm vững kỹ năng biến đổi, nhận dạng và giải nhanh các dạng bài thường gặp trong đề thi vào 10 môn Toán.

A. Cách giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Cách giải phương trình tích

Để giải phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$, ta giải phương trình $ax + b = 0$ và $cx + d = 0$. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ta có thể viết: $(ax + b)(cx + d) = 0 \Leftrightarrow ax + b = 0$ $(ax + b)(cx + d) = 0 \Leftrightarrow ax + b = 0$ hoặc $cx + d = 0$.

2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của một phương trình:

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn tất cả các mẫu thức trong phương trình đểu khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4 (Kết luận): Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

B. Ví dụ minh họa giải phương trình

Ví dụ 1. Giải phương trình:

a) $3x(x - 1) - 2(x - 1) = 0$

b) $x^{2} - 4 - (x + 5)(2 - x) = 0$ $x^{2} - 4 - (x + 5)(2 - x) = 0$

c) $2x^{3} + 4x^{2} = x^{2} + 2x$ $2x^{3} + 4x^{2} = x^{2} + 2x$

Hướng dẫn: Biến đổi tương đương đưa về dạng $A(x) \cdot B(x) = 0$ $A(x) \cdot B(x) = 0$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

(1) $\Leftrightarrow 3x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(3x - 2) = 0$ $\Leftrightarrow 3x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(3x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow x - 1 = 0$ hoặc $3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ $3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = \frac{2}{3}$ $x = \frac{2}{3}$

Phương trình $(1)$ có tập nghiệm: $S = \left\{ 1;\frac{2}{3} \right\}$ $S = \left\{ 1;\frac{2}{3} \right\}$.

b) Ta có

$(2) \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) + (x + 5)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2 + x + 5) = 0$ $(2) \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) + (x + 5)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2 + x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(2x + 7) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow (x - 2)(2x + 7) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0$ hoặc $2x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ $2x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $\ x = - \frac{7}{2}$ $\ x = - \frac{7}{2}$

Phương trình $(2)$có tập nghiệm: $S = \left\{ 2; - \frac{7}{2} \right\}$ $S = \left\{ 2; - \frac{7}{2} \right\}$.

c) Ta có

$(3) \Leftrightarrow 2x^{2}(x + 2) - \left( x^{2} + 2x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x^{2}(x + 2) - x(x + 2) = 0$ $(3) \Leftrightarrow 2x^{2}(x + 2) - \left( x^{2} + 2x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x^{2}(x + 2) - x(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2)\left( 2x^{2} - x \right) = 0 \Leftrightarrow x(x + 2)(2x - 1) = 0$ $\Leftrightarrow (x + 2)\left( 2x^{2} - x \right) = 0 \Leftrightarrow x(x + 2)(2x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$ hoặc $2x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = - 2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ $x = \frac{1}{2}$

Phương trình $(3)$ có tập nghiệm: $S = \left\{ 0; - 2;\frac{1}{2} \right\}$ $S = \left\{ 0; - 2;\frac{1}{2} \right\}$.

Ví dụ 2. Giải phương trình:

a) $x^{3} - 1 = x^{2} - x$ $x^{3} - 1 = x^{2} - x$ (1) b) $(2x - 5)^{2} - x^{2} - 4x - 4 = 0$ $(2x - 5)^{2} - x^{2} - 4x - 4 = 0$ (2)

c) $(x - 2)\left( x^{2} + 3x - 2 \right) - x^{3} + 8 = 0$ $(x - 2)\left( x^{2} + 3x - 2 \right) - x^{3} + 8 = 0$ (3) d) $(x - 3)^{2} - 9 = 0$ $(x - 3)^{2} - 9 = 0$ (4)

Hướng dẫn giải

a) Ta có

$(1) \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right) - x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + 1 \right) = 0$ $(1) \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right) - x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow x - 1 = 0$ hoặc $x^{2} + 1 = 0$ $x^{2} + 1 = 0$

$\ \Leftrightarrow x = 1$ $\ \Leftrightarrow x = 1$ ( $x^{2} + 1 = 0\$ $x^{2} + 1 = 0\$vô nghiệm vì $x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 1 > 0$ $x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 1 > 0$)

Phương trình $(1)$ có tập nghiệm: $S = \left\{ 1 \right\}$ $S = \left\{ 1 \right\}$.

b) Ta có

(2) $\Leftrightarrow (2x - 5)^{2} - (x + 2)^{2} = 0\ \Leftrightarrow (2x - 5 + x + 2)(2x - 5 - x - 2) = 0$ $\Leftrightarrow (2x - 5)^{2} - (x + 2)^{2} = 0\ \Leftrightarrow (2x - 5 + x + 2)(2x - 5 - x - 2) = 0$

$\ \Leftrightarrow (3x - 3)(x - 7) = 0 \Leftrightarrow 3x - 3 = 0$ $\ \Leftrightarrow (3x - 3)(x - 7) = 0 \Leftrightarrow 3x - 3 = 0$ hoặc $\ x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ $\ x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 7$

Phương trình $(2)$ có tập nghiệm: $S = \left\{ 1;7 \right\}$ $S = \left\{ 1;7 \right\}$.

c) Ta có

$(3)$ $\Leftrightarrow (x - 2)\left( x^{2} + 3x - 2 \right) - (x - 2)\left( x^{2} + 2x + 4 \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 2)\left( x^{2} + 3x - 2 \right) - (x - 2)\left( x^{2} + 2x + 4 \right) = 0$

$\ \Leftrightarrow (x - 2)\left( x^{2} + 3x - 2 - x^{2} - 2x - 4 \right) = 0\ \Leftrightarrow (x - 2)(x - 6) = 0$ $\ \Leftrightarrow (x - 2)\left( x^{2} + 3x - 2 - x^{2} - 2x - 4 \right) = 0\ \Leftrightarrow (x - 2)(x - 6) = 0$

$\ \Leftrightarrow x - 2 = 0$ $\ \Leftrightarrow x - 2 = 0$ hoặc $\ x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ $\ x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 6$

Phương trình $(3)$ có tập nghiệm: $S = \left\{ 2;6 \right\}$ $S = \left\{ 2;6 \right\}$.

d) Ta có:

(4) $\Leftrightarrow (x - 3)^{2} - 3^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 3 + 3)(x - 3 - 3) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 3)^{2} - 3^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 3 + 3)(x - 3 - 3) = 0$

$\Leftrightarrow x(x - 6) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x(x - 6) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ $x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $\ x = 6$ $\ x = 6$

Phương trình $(4)$ có tập nghiệm: $S = \left\{ 0;6 \right\}$ $S = \left\{ 0;6 \right\}$.

Ví dụ 3. Giải phương trình:

a) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{4}{x^{2} - 4}\ \ \ (1)$ $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{4}{x^{2} - 4}\ \ \ (1)$ b) $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{4}{x^{2} + 2x - 3} = 0\ \ \ \ (2)$ $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{4}{x^{2} + 2x - 3} = 0\ \ \ \ (2)$

c) $\frac{1}{x - 5} - \frac{3}{x^{2} - 6x + 5} = \frac{5}{x - 1}\ \ \ (3)$ $\frac{1}{x - 5} - \frac{3}{x^{2} - 6x + 5} = \frac{5}{x - 1}\ \ \ (3)$ d) $\frac{x - 1}{x} + \frac{1 - 2x}{x^{2} + x} = \frac{1}{x + 1}\ \ \ (4)$ $\frac{x - 1}{x} + \frac{1 - 2x}{x^{2} + x} = \frac{1}{x + 1}\ \ \ (4)$

Gợi ý:

- Tìm điều kiện xác định

- Tìm mẫu thức chung

- Quy đồng và khử mẫu

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Ta có: $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$ $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$

ĐKXĐ: $x^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) \neq 0$ $x^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) \neq 0$

$\Leftrightarrow x - 2 \neq 0$ $\Leftrightarrow x - 2 \neq 0$ và $x + 2 \neq 0$ $x + 2 \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq 2$ $\Leftrightarrow x \neq 2$ và $x \neq - 2$ $x \neq - 2$

MTC: $x^{2} - 4$ $x^{2} - 4$

Ta có $(1) \Leftrightarrow \frac{(x + 2)^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{(x - 2)^{2}}{x^{2} - 4} = \frac{4}{x^{2} - 4}$ $(1) \Leftrightarrow \frac{(x + 2)^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{(x - 2)^{2}}{x^{2} - 4} = \frac{4}{x^{2} - 4}$

Khử mẫu ta được:

$x^{2} + 4x + 4 - x^{2} + 4x - 4 = 4$ $x^{2} + 4x + 4 - x^{2} + 4x - 4 = 4$

$\Leftrightarrow 8x = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 8x = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$(thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của (1): $S = \left\{ \frac{1}{2} \right\}$ $S = \left\{ \frac{1}{2} \right\}$

Chú ý: $x^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$ $x^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$ và $x \neq - 2$ $x \neq - 2$ không được viết:

$\Leftrightarrow x \neq 2$ $\Leftrightarrow x \neq 2$ hoặc $x \neq - 2$ $x \neq - 2$

b) Ta có: $x^{2} + 2x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) \neq 0$ $x^{2} + 2x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) \neq 0$

$\Leftrightarrow x - 1 \neq 0$ $\Leftrightarrow x - 1 \neq 0$ và $x + 3 \neq 0$ $x + 3 \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq 1$ $\Leftrightarrow x \neq 1$ và $x \neq - 3$ $x \neq - 3$

MTC: $(x - 1)(x + 3)$

Ta có $(2) \Leftrightarrow \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x - 1)(x + 3)} - \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} + \frac{4}{(x - 1)(x + 3)} = 0$ $(2) \Leftrightarrow \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x - 1)(x + 3)} - \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} + \frac{4}{(x - 1)(x + 3)} = 0$

Khử mẫu ta được: $x^{2} + 3x + x + 3 - x^{2} + x - 2x + 2 + 4 = 0$ $x^{2} + 3x + x + 3 - x^{2} + x - 2x + 2 + 4 = 0$

$\Leftrightarrow 3x = - 9 \Leftrightarrow x = - 3$ $\Leftrightarrow 3x = - 9 \Leftrightarrow x = - 3$ (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của $(2)$: $S = \left\{ \varnothing \right\}$ $S = \left\{ \varnothing \right\}$

c) Ta có $x^{2} - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$ $x^{2} - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$

ĐKXĐ: $(x - 1)(x - 5) \neq 0 \Leftrightarrow x\ \neq 1;x \neq 5$ $(x - 1)(x - 5) \neq 0 \Leftrightarrow x\ \neq 1;x \neq 5$

MTC: $(x - 1)(x - 5)$

Ta có (3) $\Leftrightarrow \frac{x - 1}{(x - 1)(x - 5)} - \frac{3}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{5(x - 5)}{(x - 1)(x - 5)}$ $\Leftrightarrow \frac{x - 1}{(x - 1)(x - 5)} - \frac{3}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{5(x - 5)}{(x - 1)(x - 5)}$

Khử mẫu ta được: $x - 1 - 3 = 5(x - 5) \Leftrightarrow - 4x = - 21 \Leftrightarrow x = \frac{21}{4}$ $x - 1 - 3 = 5(x - 5) \Leftrightarrow - 4x = - 21 \Leftrightarrow x = \frac{21}{4}$(thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của phương trình (3) : $S = \left\{ \left. \ \frac{21}{4} \right\} \right.$ $S = \left\{ \left. \ \frac{21}{4} \right\} \right.$

d) Ta có $x^{2} + x\ = \ x\ (x + 1)$ $x^{2} + x\ = \ x\ (x + 1)$

ĐKXĐ: $x(x + 1) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0;\ x \neq - 1$ $x(x + 1) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0;\ x \neq - 1$

MTC: $x(x + 1)$

Ta có (4) $\Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{1 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{x}{x(x + 1)}$ $\Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{1 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{x}{x(x + 1)}$

Khử mẫu ta được: $x^{2} + x - x - 1 + 1 - 2x = x$ $x^{2} + x - x - 1 + 1 - 2x = x$ $\Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0$

$\Leftrightarrow x(x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x(x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$

Vì $x \neq 0$ $x \neq 0$ nên ta lấy nghiệm $x = 3$

Tập nghiệm của (4): $S = \left\{ 3 \right\}$ $S = \left\{ 3 \right\}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình:

a) $\frac{1}{x - 1} + \frac{2x^{2} - 5}{x^{3} - 1} = \frac{4}{x^{2} + x + 1}\ \ \ \ (1)$ $\frac{1}{x - 1} + \frac{2x^{2} - 5}{x^{3} - 1} = \frac{4}{x^{2} + x + 1}\ \ \ \ (1)$

b) $\frac{2}{x - 1} - \frac{3x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1}\ \ \ (2)$ $\frac{2}{x - 1} - \frac{3x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1}\ \ \ (2)$

c) $\frac{- 7x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \frac{5}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x + 1}\ \ (3)$ $\frac{- 7x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \frac{5}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x + 1}\ \ (3)$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $x^{3} - 1 = (x - 1)\left( x^{2} + \ x + 1 \right)$ $x^{3} - 1 = (x - 1)\left( x^{2} + \ x + 1 \right)$

ĐKXĐ: $(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right) \neq 0$ $(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right) \neq 0$

$\ x \neq - 1$ $\ x \neq - 1$ (vì $x^{2} + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ $x^{2} + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi x thuộc R)

MTC: $(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)$ $(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)$

Ta có: $(1) \Leftrightarrow \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} + \frac{2x^{2} - 5}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} = \frac{4(x - 1)}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)}$ $(1) \Leftrightarrow \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} + \frac{2x^{2} - 5}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} = \frac{4(x - 1)}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)}$

Khử mẫu ta được: $x^{2} + \ x\ + 1\ + \ 2x^{2} - 5\ = \ 4x\ - \ 4$ $x^{2} + \ x\ + 1\ + \ 2x^{2} - 5\ = \ 4x\ - \ 4$

$\Leftrightarrow 3x^{2} - 3x = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 1) = 0$ $\Leftrightarrow 3x^{2} - 3x = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 1) = 0$

$\ \Leftrightarrow x = 0$ $\ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x - 1 = 0$

$\ \Leftrightarrow x = 0$ $\ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$

Đối chiếu với điều kiện $\ x \neq - 1$ $\ x \neq - 1$, ta lấy nghiệm $x = 0$

Tập nghiệm của (1): $S = \left\{ 0 \right\}$ $S = \left\{ 0 \right\}$

b) Ta có $x^{3} - 1 = (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)$ $x^{3} - 1 = (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)$

ĐKXĐ: $(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right) \neq 0$ $(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right) \neq 0$

$\ x \neq - 1$ $\ x \neq - 1$ vì $x^{2} + \ x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ $x^{2} + \ x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

MTC: $(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)$ $(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)$

Quy đồng khử mẫu, ta được:

$\begin{matrix} 2.\left( x^{2} + x + 1 \right) - 3x^{2} = \ x(x - 1) \\ \Leftrightarrow 2x^{2} + 2x + 2 - 3x^{2} = x^{2} - x \\ \ \Leftrightarrow 2x^{2} - 3x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow 2x^{2} - 4x + x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 2).(2x + 1) = 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 2.\left( x^{2} + x + 1 \right) - 3x^{2} = \ x(x - 1) \\ \Leftrightarrow 2x^{2} + 2x + 2 - 3x^{2} = x^{2} - x \\ \ \Leftrightarrow 2x^{2} - 3x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow 2x^{2} - 4x + x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 2).(2x + 1) = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow x - 2 = 0$ hoặc$2x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = 2$ $\Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ $x = - \frac{1}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của (2): $S = \left\{ 2; - \frac{1}{2} \right\}$ $S = \left\{ 2; - \frac{1}{2} \right\}$

c)Ta có: $x^{3} + 1 = (x + 1)\left( x^{2} - x + 1 \right)$ $x^{3} + 1 = (x + 1)\left( x^{2} - x + 1 \right)$

ĐKXĐ: $x + 1 \neq 0$ $x + 1 \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq - 1$ $\Leftrightarrow x \neq - 1$ (vì $x^{2} - x + 1\ = \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ $x^{2} - x + 1\ = \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$)

MTC: $(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 \right)$ $(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 \right)$

Quy đồng khử mẫu ta được

$\begin{matrix} - 7x^{2} + 4 = 5.(x + 1) - \left( x^{2} - x + 1 \right) \\ \ - 7x^{2} + 4 = 5x + 5 - x^{2} + x - 1 \\ \ - 6x^{2} - 6x = 0 \\ - 6x(x + 1) = 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} - 7x^{2} + 4 = 5.(x + 1) - \left( x^{2} - x + 1 \right) \\ \ - 7x^{2} + 4 = 5x + 5 - x^{2} + x - 1 \\ \ - 6x^{2} - 6x = 0 \\ - 6x(x + 1) = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$(không thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc $x = - 1$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của (3): $S = \left\{ 0 \right\}$ $S = \left\{ 0 \right\}$

C. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình:

a) $x^{2} + x - 12 = 0$ $x^{2} + x - 12 = 0$ $(1)$ b) $x^{2} + 3x + 2 = 0$ $x^{2} + 3x + 2 = 0$ (2)

c) $2x^{3} + 3x^{2} - 8x - 12 = 0$ $2x^{3} + 3x^{2} - 8x - 12 = 0$ $(3)$ d) $x^{3} - 4x^{2} - x + 4 = 0$ $x^{3} - 4x^{2} - x + 4 = 0$ (4)

Hướng dẫn: Phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử ta đưa về phương trình tích.

Bài toán 2. Giải phương trình:

a) $x^{3} - x^{2} - x - 2 = 0$ $x^{3} - x^{2} - x - 2 = 0$ $(1)$ b) $x^{4} - 3x^{3} + 3x^{2} - x = 0$ $x^{4} - 3x^{3} + 3x^{2} - x = 0$ (2)

Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

------------------------------------------

FAQ – Chuyên đề Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Đây là dạng phương trình chưa ở dạng ax + b = 0 ngay từ đầu mà cần thực hiện một hoặc nhiều phép biến đổi tương đương như khai triển, thu gọn, quy đồng, khử mẫu hoặc chuyển vế để đưa về phương trình bậc nhất một ẩn rồi mới giải.

Đây là chuyên đề trọng tâm trong chương trình Toán 9 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào lớp 10.

2. Các bước giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn gồm những gì?

Quy trình giải chuẩn gồm:

Xác định điều kiện xác định nếu phương trình chứa mẫu hoặc căn thức.
Khai triển, bỏ ngoặc và thu gọn biểu thức.
Quy đồng hoặc khử mẫu khi cần thiết.
Chuyển các hạng tử chứa ẩn về cùng một vế.
Đưa phương trình về dạng bậc nhất một ẩn.
Giải phương trình và đối chiếu với điều kiện ban đầu.
Kết luận nghiệm.

Đây là quy trình được áp dụng trong hầu hết các dạng toán quy về phương trình bậc nhất.

3. Những dạng phương trình nào có thể quy về phương trình bậc nhất một ẩn?

Một số dạng thường gặp gồm:

Phương trình chứa dấu ngoặc.
Phương trình có phân thức.
Phương trình nhiều mẫu số.
Phương trình chứa tham số đơn giản.
Phương trình có biểu thức đồng dạng cần thu gọn.
Phương trình thực tế sau khi lập phương trình.

Mỗi dạng yêu cầu kỹ năng biến đổi khác nhau nhưng đều hướng đến phương trình bậc nhất.

4. Vì sao cần đặt điều kiện xác định trước khi giải?

Nếu phương trình chứa mẫu số hoặc căn thức, việc đặt điều kiện xác định giúp loại bỏ các giá trị làm biểu thức không có nghĩa. Đây là bước quan trọng để đảm bảo nghiệm tìm được là nghiệm hợp lệ.

5. Khi nào cần quy đồng mẫu trong quá trình giải phương trình?

Quy đồng mẫu được thực hiện khi phương trình chứa nhiều phân thức có mẫu khác nhau. Sau khi quy đồng, học sinh có thể khử mẫu (khi thỏa điều kiện xác định) để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.

6. Những lỗi thường gặp khi giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Một số lỗi phổ biến gồm:

Quên đặt điều kiện xác định.
Quy đồng hoặc khử mẫu sai.
Chuyển vế nhầm dấu.
Rút gọn biểu thức chưa chính xác.
Không đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu.
Kết luận thiếu hoặc sai nghiệm.

Đây là các lỗi thường khiến học sinh mất điểm trong các bài kiểm tra và đề thi tuyển sinh.

--------------------------------------------------------

Qua chuyên đề giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, bạn đã được hệ thống lại kiến thức trọng tâm, phương pháp giải và các dạng bài thường xuất hiện trong đề thi vào 10. Hãy tiếp tục luyện tập thêm các chuyên đề phương trình bậc hai, hệ phương trình và bài toán có tham số để củng cố toàn diện kỹ năng Toán 9. Đừng quên theo dõi các bài viết tiếp theo để ôn tập hiệu quả, tự tin chinh phục kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: