Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9
Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những dạng bài quan trọng và thường gặp trong đề thi vào lớp 10 môn Toán. Việc nắm vững phương pháp giải, nhận dạng bài toán và áp dụng linh hoạt là chìa khóa giúp học sinh lớp 9 đạt điểm cao trong kỳ thi tuyển sinh. Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết cách giải, ví dụ minh họa và các bài tập vận dụng giúp học sinh luyện tập hiệu quả.
A. Bài tập giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài tập 1. Giải các hệ phương trình sau:
a) 
\(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x + y}{2} = \dfrac{x - y}{4} \\\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} + 1\end{matrix} \right.\) b) \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \\5x - 8y = 3\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x + y}{2} = \dfrac{x - y}{4} \\\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} + 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4x + 4y = 2x - 2y \\5x = 3y + 15\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x + 6y = 0 \\
5x - 3y = 15
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x + 6y = 0 \\
10x - 6y = 30
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x + 6y = 0 \\12x = 30\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x + 6y = 0 \\x = \dfrac{5}{2}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = - \dfrac{5}{6} \\x = \dfrac{5}{2}\end{matrix} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y) =
\left( \frac{5}{2}; - \frac{5}{6} \right)\)
b) Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \\5x - 8y = 3\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3x - 2y = 6 \\5x - 8y = 3\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
12x - 8y = 24 \\
5x - 8y = 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
7x = 21 \\
3x - 2y = 6
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\3x - 2y = 6\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{3}{2}\end{matrix} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = \left( 3;\frac{3}{2} \right)\).
Bài tập 2. Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{matrix}
2(x + y) - 5y = 3 \\
4(x - 1) - 2(y + 1) = 4
\end{matrix} \right.\) b) \(\left\{
\begin{matrix}
(x + 1)(y - 1) = xy - 1 \\
(x - 3)(y - 3) = xy - 3
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
2(x + y) - 5y = 3 \\
4(x - 1) - 2(y + 1) = 4
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x - 3y = 3 \\
4(x - 1) - 2(y + 1) = 4
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x - 3y = 3 \\
4x - 2y = 10
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4x - 6y = 6 \\
4x - 2y = 10
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4y = 4 \\
4x - 2y = 10
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = 1 \\
4x - 2y = 10
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = 1 \\
x = 3
\end{matrix} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (3;1)\).
b) Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
(x + 1)(y - 1) = xy - 1 \\
(x - 3)(y - 3) = xy - 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
xy - x + y - 1 = xy - 1 \\
xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- x + y = 0 \\
- 3x - 3y = - 12
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- x + y = 0 \\
- x - y = - 4
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = y \\
- x - y = - 4
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 2
\end{matrix} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (2;2)\).
B. Bài tập tự rèn luyện giải hệ phương trình có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1. Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{matrix}
2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\
(x + y) + 2(x - y) = 5
\end{matrix} \right.\) b) \(\left\{
\begin{matrix}
(x + y)(x - 1) = (x - y)(x + 1) + 2(xy + 1) \\
(x - y)(y + 1) = (y + x)(y - 2) - 2xy
\end{matrix} \right.\)
Bài tập 2. Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{matrix}
5(x + 2y) - 3(x - y) = 99 \\
x - 3y = 7x - 4y - 17
\end{matrix} \right.\) b) \(\left\{
\begin{matrix}
(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1) \\
(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)
\end{matrix} \right.\)
Bài tập 3. Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{matrix}
5(x + 2y) - 3(x - y) = 99 \\
x - 3y = 7x - 4y - 17
\end{matrix} \right.\) b) \(\left\{
\begin{matrix}
(x - 2)(6y + 1) = (2x - 3)(3y + 1) \\
(2x + 1)(2y - 9) = (4x - 1)(6y - 5)
\end{matrix} \right.\)
Bài tập 4. Tìm cặp số \((x;y)\) thỏa mãn các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{matrix}
3(y - 5) + 2(x - 3) = 0 \\
7(x - 4) + 3(x + y - 1) - 14 = 0
\end{matrix} \right.\) b) \(\left\{
\begin{matrix}
(x + 1)(y - 1) = (x - 2)(y + 1) - 1 \\
2(x - 2)y - x = 2xy - 3
\end{matrix} \right.\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-----------------------------------------
Việc thành thạo phương pháp quy hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh giải nhanh, chính xác và tiết kiệm thời gian làm bài. Hãy luyện tập đều đặn với các dạng bài trong chuyên đề để củng cố kiến thức và tự tin bước vào kỳ thi vào lớp 10. Đừng quên theo dõi thêm nhiều chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 khác để hoàn thiện kỹ năng toàn diện!
