Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào tham số m

A. Kiến thức cần nhớ
- Hệ thức Vi - et
B. Bài tập chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
D. Bài tập tự rèn luyện chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào m
- E. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Trong quá trình ôn tập Toán 9 luyện thi vào lớp 10, học sinh thường gặp nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ phương trình chứa tham số. Một trong những dạng quan trọng và khó nhằn chính là chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Đây là chuyên đề vừa rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số, vừa kiểm tra khả năng lập luận chặt chẽ và vận dụng linh hoạt các kiến thức về hệ phương trình, nghiệm và tham số.

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách chứng minh, phân tích phương pháp tư duy và cung cấp bài tập minh họa có lời giải chi tiết. Qua đó, học sinh sẽ nắm vững bản chất bài toán, tránh được những sai lầm thường gặp và tự tin chinh phục các đề thi tuyển sinh vào lớp 10.

A. Kiến thức cần nhớ

Cho phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ . Để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thì $\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$

Hệ thức Vi - et

Phương trình bậc hai tổng quát $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ . Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thì $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix} \right.$

Đảo lại nếu hai số $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \end{matrix} \right.$ thì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - S.x + P = 0$ (điều kiện $S^{2} - 4P \geq 0$ )

B. Bài tập chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Bài tập 1. Cho phương trình $x^{2} - (2m - 1)x + m - 1 = 0$ (với là tham số). Khi phương trình có hai nghiệm x₁; x₂:

a) Chứng minh biểu thức $B = \frac{x_{1} - 1}{x_{1}{x_{2}}^{2}} + \frac{x_{2} - 1}{x_{2}{x_{1}}^{2}}$ không phụ thuộc vào tham số .

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ của phương trình không phụ thuộc vào tham số m?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$

$= 4m^{2} - m + 1 - 4m + 4$

$= (2m - 2)^{2} + 1$

Để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thì: $\Delta \geq 0 \Rightarrow (2m - 2)^{2} + 1 \geq 1 > 0;\forall m$

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1 \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.$ .

a) Ta có:

$B = \frac{x_{1} - 1}{x_{1}{x_{2}}^{2}} + \frac{x_{2} - 1}{x_{2}{x_{1}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} - 1 \right)x_{1} + \left( x_{2} - 1 \right)x_{2}}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}}$

$= \frac{\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right) - \left( x_{1} + x_{2} \right)}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right)}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}}$

Áp dụng hệ thức Viète ta được:

$B = \frac{(2m - 1)^{2} - 2(m - 1) - (2m - 1)}{(m - 1)^{2}}$

$= \frac{4m^{2} - 4m + 1 - 2m + 2 - 2m + 1}{(m - 1)^{2}}$

$= \frac{4m^{2} - 8m + 4}{(m - 1)^{2}} = \frac{4(m - 1)^{2}}{(m - 1)^{2}} = 4$

Vậy biểu thức B đã cho không phụ thuộc vào tham số m.

b) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1 \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \frac{x_{1} + x_{2} + 1}{2} \\ m = x_{1}.x_{2} + 1 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2} + 1}{2} = x_{1}.x_{2} + 1$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 2x_{1}.x_{2} = 1$

Vậy hệ thức liên hệ giữax₁; x₂ của phương trình là: $x_{1} + x_{2} - 2x_{1}.x_{2} = 1$ .

Bài tập 2. Cho phương trình $x^{2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0$ với m là tham số.

a) Tìm điểu kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂?

b) Với tham số m vừa tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa x₁; x₂ không phụ thuộc vào tham số m?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\Delta' = (m - 3)^{2} \geq 0;\forall m$ => Phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi tham số $m \neq 3$ .

b) Áp dụng hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2m - 4 \\x_{1}.x_{2} = 2m - 5\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{x_{1} + x_{2} + 4}{2} \\m = \dfrac{x_{1}.x_{2} + 5}{2}\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2} + 4}{2} = \frac{x_{1}.x_{2} + 5}{2}$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + 4 = x_{1}.x_{2} + 5$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 1$

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ không phụ thuộc vào tham số m là: $x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 1$ .

Bài tập 3. Cho phương trình $x^{2} + (m + 2)x + 2m = 0$ với m là tham số. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂? Khi đó, hãy tìm hiểu thức liên hệ giữa x₁; x₂ không phụ thuộc vào tham số m?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = (m + 2)^{2} - 8m = m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2} \geq 0;\forall m$ => Phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi tham số $m \neq 2$ .

Áp dụng hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m - 2 \\ x_{1}.x_{2} = 2m \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - \left( x_{1} + x_{2} + 2 \right) \\ m = \frac{x_{1}.x_{2}}{2} \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm cua phương trình không phụ thuộc vào tham số m là: $2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$

Bài tập 4. Gọi x₁; x₂ là nghiệm của phương trình $x^{2} + (5 - 2a)x + 4a - 14 = 0$ với là tham số. Hệ thức nào dưới đây không phụ thuộc vào tham số ?

A. $x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 4$ B. $2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$

C. $2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$ D. $3\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 5$

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2a - 5 \\ x_{1}.x_{2} = 4a - 14 \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$

Vậy hệ thức không phụ thuộc tham số là: $2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$ .

D. Bài tập tự rèn luyện chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào m

Bài tập 1. Cho phương trình bậc hai: $x^{2} - 2(m - 1)x - 3 - m = 0$ (với là tham số, là ẩn số).

a. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x₁; x₂ với mọi ?

b. Tìm tham số m sao cho nghiệm số x₁; x₂ của phương trình thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \geq 10$ .

c. Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ không phụ thuộc vào tham số m.

Bài tập 2. Cho phương trình bậc hai $x^{2} + (m + 1)x + 5 - m = 0$ với m là tham số.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm bằng -1. Tìm nghiệm còn lại.

b) Giải phương trình khi ,

c) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) Với giá trị m tìm được ở câu c, hãy viết một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ độc lập đối với m.

Bài tập 3. Tìm hệ thức độc lập với m giữa các nghiệm của phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0$ ?

Bài tập 4. Cho phương trình $(k - 1)x^{2} - 2kx + k - 4 = 0$ với k là tham số. Tìm hệ thức độc lập với k giữa các nghiệm số của phương trình?

Bài tập 5. Cho phương trình $x^{2} - 2(m - 5)x + 4m - 3 = 0$ với m là tham số.

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm hệ thưc liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m?

Bài tập 6. Cho phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 2m = 0$ với m là tham số. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m?

E. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

a. Ta có:

$\Delta' = (m - 1)^{2} - ( - 3 - m) = \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{15}{4}$

Do $\left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} \geq 0$ với mọi m và $\frac{15}{4} > 0$ nên $\Delta' = \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{15}{4} > 0$ với mọi m.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Hay phương trình luôn có hai nghiệm (điều phải chứng minh).

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-------------------------------------------------------

Dạng toán chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m không chỉ rèn luyện kỹ năng đại số mà còn giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng chứng minh toán học. Khi thành thạo dạng toán này, học sinh có thể áp dụng kiến thức để xử lý nhiều dạng bài nâng cao hơn như chứng minh nghiệm duy nhất, tìm điều kiện để hệ có nghiệm, hoặc giải hệ phương trình có tham số trong đề thi học sinh giỏi.

Để đạt kết quả tốt, các em nên luyện tập thường xuyên, nắm rõ từng bước chứng minh và làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau. Đây chính là chìa khóa để học chắc, hiểu sâu và đạt điểm cao trong các kỳ thi quan trọng, đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: