VnDoc.com

Chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào tham số m

A. Kiến thức cần nhớ
- Hệ thức Vi - et
B. Bài tập chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Trong quá trình ôn tập Toán 9 luyện thi vào lớp 10, học sinh thường gặp nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ phương trình chứa tham số. Một trong những dạng quan trọng và khó nhằn chính là chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Đây là chuyên đề vừa rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số, vừa kiểm tra khả năng lập luận chặt chẽ và vận dụng linh hoạt các kiến thức về hệ phương trình, nghiệm và tham số.

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách chứng minh, phân tích phương pháp tư duy và cung cấp bài tập minh họa có lời giải chi tiết. Qua đó, học sinh sẽ nắm vững bản chất bài toán, tránh được những sai lầm thường gặp và tự tin chinh phục các đề thi tuyển sinh vào lớp 10.

A. Kiến thức cần nhớ

Cho phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$. Để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thì $\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$ $\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$

Hệ thức Vi - et

Phương trình bậc hai tổng quát $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$. Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thì $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix} \right.$

Đảo lại nếu hai số $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \end{matrix} \right.$ thì $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - S.x + P = 0$ $x^{2} - S.x + P = 0$ (điều kiện $S^{2} - 4P \geq 0$ $S^{2} - 4P \geq 0$)

B. Bài tập chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Bài tập 1. Cho phương trình $x^{2} - (2m - 1)x + m - 1 = 0$ $x^{2} - (2m - 1)x + m - 1 = 0$ (với $m$ là tham số). Khi phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$:

a) Chứng minh biểu thức $B = \frac{x_{1} - 1}{x_{1}{x_{2}}^{2}} + \frac{x_{2} - 1}{x_{2}{x_{1}}^{2}}$ $B = \frac{x_{1} - 1}{x_{1}{x_{2}}^{2}} + \frac{x_{2} - 1}{x_{2}{x_{1}}^{2}}$ không phụ thuộc vào tham số $m$.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ của phương trình không phụ thuộc vào tham số m?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$

$= 4m^{2} - m + 1 - 4m + 4$ $= 4m^{2} - m + 1 - 4m + 4$

$= (2m - 2)^{2} + 1$ $= (2m - 2)^{2} + 1$

Để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thì: $\Delta \geq 0 \Rightarrow (2m - 2)^{2} + 1 \geq 1 > 0;\forall m$ $\Delta \geq 0 \Rightarrow (2m - 2)^{2} + 1 \geq 1 > 0;\forall m$

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1 \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1 \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.$.

a) Ta có:

$B = \frac{x_{1} - 1}{x_{1}{x_{2}}^{2}} + \frac{x_{2} - 1}{x_{2}{x_{1}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} - 1 \right)x_{1} + \left( x_{2} - 1 \right)x_{2}}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}}$ $B = \frac{x_{1} - 1}{x_{1}{x_{2}}^{2}} + \frac{x_{2} - 1}{x_{2}{x_{1}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} - 1 \right)x_{1} + \left( x_{2} - 1 \right)x_{2}}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}}$

$= \frac{\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right) - \left( x_{1} + x_{2} \right)}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right)}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}}$ $= \frac{\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right) - \left( x_{1} + x_{2} \right)}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right)}{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}}$

Áp dụng hệ thức Viète ta được:

$B = \frac{(2m - 1)^{2} - 2(m - 1) - (2m - 1)}{(m - 1)^{2}}$ $B = \frac{(2m - 1)^{2} - 2(m - 1) - (2m - 1)}{(m - 1)^{2}}$

$= \frac{4m^{2} - 4m + 1 - 2m + 2 - 2m + 1}{(m - 1)^{2}}$ $= \frac{4m^{2} - 4m + 1 - 2m + 2 - 2m + 1}{(m - 1)^{2}}$

$= \frac{4m^{2} - 8m + 4}{(m - 1)^{2}} = \frac{4(m - 1)^{2}}{(m - 1)^{2}} = 4$ $= \frac{4m^{2} - 8m + 4}{(m - 1)^{2}} = \frac{4(m - 1)^{2}}{(m - 1)^{2}} = 4$

Vậy biểu thức B đã cho không phụ thuộc vào tham số m.

b) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1 \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \frac{x_{1} + x_{2} + 1}{2} \\ m = x_{1}.x_{2} + 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1 \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \frac{x_{1} + x_{2} + 1}{2} \\ m = x_{1}.x_{2} + 1 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2} + 1}{2} = x_{1}.x_{2} + 1$ $\Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2} + 1}{2} = x_{1}.x_{2} + 1$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 2x_{1}.x_{2} = 1$ $\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 2x_{1}.x_{2} = 1$

Vậy hệ thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ của phương trình là: $x_{1} + x_{2} - 2x_{1}.x_{2} = 1$ $x_{1} + x_{2} - 2x_{1}.x_{2} = 1$.

Bài tập 2. Cho phương trình $x^{2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0$ $x^{2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0$ với m là tham số.

a) Tìm điểu kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$?

b) Với tham số m vừa tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ không phụ thuộc vào tham số m?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\Delta$ $\Delta' = (m - 3)^{2} \geq 0;\forall m$ => Phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ với mọi tham số $m \neq 3$ $m \neq 3$.

b) Áp dụng hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2m - 4 \\x_{1}.x_{2} = 2m - 5\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{x_{1} + x_{2} + 4}{2} \\m = \dfrac{x_{1}.x_{2} + 5}{2}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2m - 4 \\x_{1}.x_{2} = 2m - 5\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{x_{1} + x_{2} + 4}{2} \\m = \dfrac{x_{1}.x_{2} + 5}{2}\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2} + 4}{2} = \frac{x_{1}.x_{2} + 5}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2} + 4}{2} = \frac{x_{1}.x_{2} + 5}{2}$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + 4 = x_{1}.x_{2} + 5$ $\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + 4 = x_{1}.x_{2} + 5$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 1$ $\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 1$

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ không phụ thuộc vào tham số m là: $x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 1$ $x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 1$.

Bài tập 3. Cho phương trình $x^{2} + (m + 2)x + 2m = 0$ $x^{2} + (m + 2)x + 2m = 0$ với m là tham số. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$? Khi đó, hãy tìm hiểu thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ không phụ thuộc vào tham số m?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = (m + 2)^{2} - 8m = m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2} \geq 0;\forall m$ $\Delta = (m + 2)^{2} - 8m = m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2} \geq 0;\forall m$ => Phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ với mọi tham số $m \neq 2$ $m \neq 2$.

Áp dụng hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m - 2 \\ x_{1}.x_{2} = 2m \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m - 2 \\ x_{1}.x_{2} = 2m \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - \left( x_{1} + x_{2} + 2 \right) \\ m = \frac{x_{1}.x_{2}}{2} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - \left( x_{1} + x_{2} + 2 \right) \\ m = \frac{x_{1}.x_{2}}{2} \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$ $\Leftrightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm cua phương trình không phụ thuộc vào tham số m là: $2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$ $2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$

Bài tập 4. Gọi $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} + (5 - 2a)x + 4a - 14 = 0$ $x^{2} + (5 - 2a)x + 4a - 14 = 0$ với $a$ là tham số. Hệ thức nào dưới đây không phụ thuộc vào tham số $a$?

A. $x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 4$ $x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 4$ B. $2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$ $2\left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1}.x_{2} = - 4$

C. $2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$ $2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$ D. $3\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 5$ $3\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 5$

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2a - 5 \\ x_{1}.x_{2} = 4a - 14 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2a - 5 \\ x_{1}.x_{2} = 4a - 14 \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$ $\Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$

Vậy hệ thức không phụ thuộc tham số là: $2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$ $2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}.x_{2} = 4$.

-------------------------------------------------------

Dạng toán chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m không chỉ rèn luyện kỹ năng đại số mà còn giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng chứng minh toán học. Khi thành thạo dạng toán này, học sinh có thể áp dụng kiến thức để xử lý nhiều dạng bài nâng cao hơn như chứng minh nghiệm duy nhất, tìm điều kiện để hệ có nghiệm, hoặc giải hệ phương trình có tham số trong đề thi học sinh giỏi.

Để đạt kết quả tốt, các em nên luyện tập thường xuyên, nắm rõ từng bước chứng minh và làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau. Đây chính là chìa khóa để học chắc, hiểu sâu và đạt điểm cao trong các kỳ thi quan trọng, đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: