VnDoc.com

Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn có lời giải

A. Các kiến thức cần nhớ tỉ số lượng giác của góc nhọn
- So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc
- Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác
B. Bài tập ví dụ minh họa tính tỉ số lượng giác của góc nhọn
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Trong chương trình Toán THCS, chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác là nền tảng quan trọng giúp học sinh làm quen và nắm chắc các khái niệm về tỉ số lượng giác của góc nhọn. Việc hiểu và biết cách tính sin, cos, tan, cot không chỉ giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông mà còn là bước đệm quan trọng cho việc học lượng giác ở bậc THPT. Bài viết này sẽ hệ thống kiến thức, đưa ra ví dụ minh họa và bài tập áp dụng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và làm chủ chuyên đề.

A. Các kiến thức cần nhớ tỉ số lượng giác của góc nhọn

So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1: Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”)

Bước 2: Với góc nhọn $\alpha,\beta$ $\alpha,\beta$ ta có:

$\sin\alpha < \sin\beta \Leftrightarrow \alpha < \beta;cos\alpha < \cos\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta;$ $\sin\alpha < \sin\beta \Leftrightarrow \alpha < \beta;cos\alpha < \cos\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta;$
$\tan\alpha < \tan\beta \Leftrightarrow \alpha < \beta;cot\alpha < \cot\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta.$ $\tan\alpha < \tan\beta \Leftrightarrow \alpha < \beta;cot\alpha < \cot\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta.$

Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức

+ Nếu là một góc nhọn bất kỳ thì

$0 < \sin\alpha < 1;0 < \cos\alpha < 1;tan\alpha > 0;cot\alpha > 0$ $0 < \sin\alpha < 1;0 < \cos\alpha < 1;tan\alpha > 0;cot\alpha > 0$.
$sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1;tan\alpha.cot\alpha = 1$ $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1;tan\alpha.cot\alpha = 1$
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha};$ $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha};$ $1 + tan^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha};1 + cot^{2}\alpha = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$ $1 + tan^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha};1 + cot^{2}\alpha = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$.

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

B. Bài tập ví dụ minh họa tính tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức $sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}20{^\circ} + ... + sin^{2}70{^\circ} + sin^{2}80{^\circ}$ $sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}20{^\circ} + ... + sin^{2}70{^\circ} + sin^{2}80{^\circ}$.

Hướng dẫn giải

Ta có

$sin^{2}80{^\circ} = cos^{2}10{^\circ};sin^{2}70{^\circ} = cos^{2}20{^\circ}$ $sin^{2}80{^\circ} = cos^{2}10{^\circ};sin^{2}70{^\circ} = cos^{2}20{^\circ}$

$sin^{2}60{^\circ} = cos^{2}30{^\circ};sin^{2}50{^\circ} = cos^{2}40{^\circ}$ $sin^{2}60{^\circ} = cos^{2}30{^\circ};sin^{2}50{^\circ} = cos^{2}40{^\circ}$ và $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$

Nên $sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}20{^\circ}+ sin^{2}30{^\circ} + sin^{2}40{^\circ}$ $sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}20{^\circ}+ sin^{2}30{^\circ} + sin^{2}40{^\circ}$ $+ sin^{2}50{^\circ} +sin^{2}60{^\circ} + sin^{2}70{^\circ} + sin^{2}80{^\circ}$ $+ sin^{2}50{^\circ} +sin^{2}60{^\circ} + sin^{2}70{^\circ} + sin^{2}80{^\circ}$

$= sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}20{^\circ} +sin^{2}30{^\circ} + sin^{2}40{^\circ}$ $= sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}20{^\circ} +sin^{2}30{^\circ} + sin^{2}40{^\circ}$ $+ cos^{2}40{^\circ} +cos^{2}30{^\circ} + cos^{2}20{^\circ} + cos^{2}10{^\circ}$ $+ cos^{2}40{^\circ} +cos^{2}30{^\circ} + cos^{2}20{^\circ} + cos^{2}10{^\circ}$

$= (sin^{2}10{^\circ} + cos^{2}10{^\circ})+ (sin^{2}20{^\circ} + cos^{2}20{^\circ})$ $= (sin^{2}10{^\circ} + cos^{2}10{^\circ})+ (sin^{2}20{^\circ} + cos^{2}20{^\circ})$ $+ (sin^{2}30{^\circ} +cos^{2}30{^\circ}) + (sin^{2}40{^\circ} +cos^{2}40{^\circ})$ $+ (sin^{2}30{^\circ} +cos^{2}30{^\circ}) + (sin^{2}40{^\circ} +cos^{2}40{^\circ})$

$= 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức $B = tan10{^\circ}.tan20{^\circ}.tan30{^\circ}.....tan80{^\circ}$ $B = tan10{^\circ}.tan20{^\circ}.tan30{^\circ}.....tan80{^\circ}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $tan80{^\circ} = cot10{^\circ};tan70{^\circ} = cot20{^\circ};tan50{^\circ} = cot40{^\circ};cot60{^\circ} = cot30{^\circ}$ $tan80{^\circ} = cot10{^\circ};tan70{^\circ} = cot20{^\circ};tan50{^\circ} = cot40{^\circ};cot60{^\circ} = cot30{^\circ}$ và $\tan\alpha.cot\alpha = 1$ $\tan\alpha.cot\alpha = 1$

Nên $B = tan10{^\circ}.tan20{^\circ}.tan30{^\circ}.tan40{^\circ}.tan50{^\circ}.tan60{^\circ}.tan70{^\circ}.tan80{^\circ}$ $B = tan10{^\circ}.tan20{^\circ}.tan30{^\circ}.tan40{^\circ}.tan50{^\circ}.tan60{^\circ}.tan70{^\circ}.tan80{^\circ}$

$= tan10{^\circ}.tan20{^\circ}.tan30{^\circ}.tan40{^\circ}.cot40{^\circ}.cot30{^\circ}.cot20{^\circ}.cot10{^\circ}$ $= tan10{^\circ}.tan20{^\circ}.tan30{^\circ}.tan40{^\circ}.cot40{^\circ}.cot30{^\circ}.cot20{^\circ}.cot10{^\circ}$

$= (tan10{^\circ}.cot10{^\circ}).(tan20{^\circ}.cot20{^\circ}).(tan30{^\circ}.cot30{^\circ}).(tan40{^\circ}.cot40{^\circ})$ $= (tan10{^\circ}.cot10{^\circ}).(tan20{^\circ}.cot20{^\circ}).(tan30{^\circ}.cot30{^\circ}).(tan40{^\circ}.cot40{^\circ})$

$= 1.1.1.1 = 1$.

Vậy $B = 1$.

Bài tập 3: Cho $\alpha$ $\alpha$ là góc nhọn bất kỳ. Tính $A = sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha + 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$ $A = sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha + 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha + 3sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha = sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha + 3sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha.1$ $sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha + 3sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha = sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha + 3sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha.1$

$= sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha + 3sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha.(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha)$ $= sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha + 3sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha.(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha)$ (vì $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$)

$= (sin^{2}\alpha)^{3} + 3(sin^{2}\alpha)^{2}.cos^{2}\alpha + 3sin^{2}\alpha.(cos^{2}\alpha)^{2} + (cos^{2}\alpha)^{3}$ $= (sin^{2}\alpha)^{3} + 3(sin^{2}\alpha)^{2}.cos^{2}\alpha + 3sin^{2}\alpha.(cos^{2}\alpha)^{2} + (cos^{2}\alpha)^{3}$

$= (sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha)^{3} = 1^{3} = 1$ $= (sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha)^{3} = 1^{3} = 1$.

Bài tập 4: Cho $\alpha$ $\alpha$ là góc nhọn bất kỳ. Tính giá trị của biểu thức:

$P = (1 - sin^{2}\alpha).tan^{2}\alpha + (1 - cos^{2}\alpha).cot^{2}\alpha$ $P = (1 - sin^{2}\alpha).tan^{2}\alpha + (1 - cos^{2}\alpha).cot^{2}\alpha$

Hướng dẫn giải

Với $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha};sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha};sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$

$\Rightarrow sin^{2}\alpha = 1 - cos^{2}\alpha,cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha$ $\Rightarrow sin^{2}\alpha = 1 - cos^{2}\alpha,cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha$.

Ta có:

$P = (1 - sin^{2}\alpha).tan^{2}\alpha + (1 - cos^{2}\alpha).cot^{2}\alpha$ $P = (1 - sin^{2}\alpha).tan^{2}\alpha + (1 - cos^{2}\alpha).cot^{2}\alpha$

$= cos^{2}\alpha.\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha} + sin^{2}\alpha.\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}$ $= cos^{2}\alpha.\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha} + sin^{2}\alpha.\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}$

$= sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ $= sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho $\alpha$ $\alpha$ là góc nhọn bất kỳ. So sánh $Q = \frac{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha}{\cos\alpha.sin\alpha}$ $Q = \frac{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha}{\cos\alpha.sin\alpha}$ và $P = \cot\alpha - \tan\alpha$ $P = \cot\alpha - \tan\alpha$?

Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức $B = tan1{^\circ}.tan2{^\circ}.tan3{^\circ}.....tan88{^\circ}.tan89{^\circ}$ $B = tan1{^\circ}.tan2{^\circ}.tan3{^\circ}.....tan88{^\circ}.tan89{^\circ}$

Bài tập 3: Cho $\tan\alpha = 2$ $\tan\alpha = 2$. Tính giá trị của biểu thức $G = \frac{2sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha - 3sin\alpha}$ $G = \frac{2sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha - 3sin\alpha}$.

Bài tập 4. Giá trị của biểu thức $sin^{4}\alpha + cos^{4}\alpha + 2sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha$ $sin^{4}\alpha + cos^{4}\alpha + 2sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha$ là

A. $1$ B.$2$. C.$4$. D. $- 1$.

Bài tập 5: Cho biết $\tan\alpha = \frac{2}{3}$ $\tan\alpha = \frac{2}{3}$. Tính giá trị biểu thức $\frac{sin^{3}\alpha + 3cos^{3}\alpha}{27sin^{3}\alpha - 25cos^{3}\alpha}$ $\frac{sin^{3}\alpha + 3cos^{3}\alpha}{27sin^{3}\alpha - 25cos^{3}\alpha}$ có nghiệm?

A. $\frac{89}{891}$ $\frac{89}{891}$. B. $\frac{89}{159}$ $\frac{89}{159}$. C. $\frac{89}{459}$ $\frac{89}{459}$. D. $\frac{- 89}{459}$ $\frac{- 89}{459}$.

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

----------------------------------------------------------------

Tóm lại, việc nắm vững cách tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn sẽ giúp học sinh dễ dàng giải các dạng toán về tam giác vuông, đồng thời tạo tiền đề vững chắc để tiếp cận các chuyên đề nâng cao trong chương trình Toán THPT.

Để đạt hiệu quả cao, học sinh nên kết hợp học công thức, luyện tập qua nhiều dạng bài và áp dụng vào thực tế. Đây không chỉ là kỹ năng giải toán mà còn là công cụ hỗ trợ quan trọng trong quá trình ôn thi vào 10 cũng như học tốt các phần kiến thức lượng giác sau này. Với sự rèn luyện kiên trì, các em chắc chắn sẽ tự tin chinh phục chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác.

Tải về

Chọn file muốn tải về: