Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân có đáp án chi tiết

Chuyên đề Bất đẳng thức và tính chất

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Toán 9

A. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
B. Ví dụ minh họa ứng dụng liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án hướng dẫn chi tiết

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề Bất đẳng thức là một trong những phần quan trọng, giúp học sinh rèn luyện khả năng so sánh, lập luận và chứng minh toán học. Một nội dung nền tảng không thể bỏ qua là liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, bởi đây là cơ sở để hiểu sâu hơn về các quy tắc biến đổi bất đẳng thức và giải quyết các bài tập phức tạp.

Bài viết Bài tập Toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân có đáp án chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết, hiểu rõ quy tắc nhân hai vế bất đẳng thức, đồng thời luyện tập với hệ thống bài tập có lời giải chi tiết. Qua đó, các em sẽ tự tin hơn khi vận dụng vào bài kiểm tra và các đề thi quan trọng.

A. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã chọ.

Với ba số $a,b,c$ và $c > 0$, ta có:

Nếu $a < b$ thì $ac < bc$;
Nếu $a \leq b$ $a \leq b$ thì $ac \leq bc$ $ac \leq bc$;
Nếu $a > b$ thì $ac > bc$;
Nếu $a \geq b$ $a \geq b$ thì $ac \geq bc$ $ac \geq bc$.

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số $a,b,c$ và $c < 0$, ta có:

Nếu $a < b$ thì $ac > bc$;
Nếu $a \leq b$ $a \leq b$ thì $ac \geq bc$ $ac \geq bc$;
Nếu $a > b$ thì $ac < bc$;
Nếu $a \geq b$ $a \geq b$ thì $ac \leq bc$ $ac \leq bc$.

B. Ví dụ minh họa ứng dụng liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Ví dụ. Chứng minh rằng:

a) Nếu $a > b$ thì $2a - 3 > 2b - 4$.

b) Nếu $a > 1$ thì $a^{2} - a > 0$ $a^{2} - a > 0$.

c) Nếu $0 < x < 1$ thì $x^{2} < x$ $x^{2} < x$.

Gợi ý:

Áp dụng tính chất: $a < b$ và $c > 0 \Rightarrow ac < bc$ $c > 0 \Rightarrow ac < bc$

$a > b$ và $b > c \Rightarrow a < c$ $b > c \Rightarrow a < c$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $2 > 0$ và $a > b \Rightarrow 2a > 2b$ $a > b \Rightarrow 2a > 2b$ (nhân 2 vế với 2)

$\Rightarrow 2a - 3 > 2b - 3$ $\Rightarrow 2a - 3 > 2b - 3$

Lại có: $- 3 > - 4 \Rightarrow 2b - 3 > 2b - 4$ $- 3 > - 4 \Rightarrow 2b - 3 > 2b - 4$

Vậy $2a - 3 > 2b - 3$ và $2b - 3 > 2b - 4$

$\Rightarrow 2a - 3 > 2b - 4$ $\Rightarrow 2a - 3 > 2b - 4$ (đpcm)

b) Ta có: $a > 1$ và $1 > 0 \Rightarrow a > 0$ $1 > 0 \Rightarrow a > 0$

Vậy $a > 1$ và $a > 0 \Rightarrow a.a > 1.a$ $a > 0 \Rightarrow a.a > 1.a$

$\Rightarrow a^{2} > a$ $\Rightarrow a^{2} > a$

$\Rightarrow a^{2} - a > a - a = 0$ $\Rightarrow a^{2} - a > a - a = 0$

$\Rightarrow a^{2} - a > 0\$ $\Rightarrow a^{2} - a > 0\$(điều phải chứng minh)

c) Từ giả thiết ta có: $x > 0$ và $x < 1$

$\Rightarrow x.x < x$ $\Rightarrow x.x < x$ (nhân hai vế với $x > 0$ )

$\Rightarrow x^{2} < x$ $\Rightarrow x^{2} < x$ (đpcm).

Nhận xét:

+) Với $0 < x < 1$ tương tự ta chứng minh được: $x^{3} < x^{2};x^{4} < x^{3}$ $x^{3} < x^{2};x^{4} < x^{3}$

Vây: $0 < x < 1 \Rightarrow 0 < \ldots < x^{4} < x^{3} < x^{2} < x < 1$ $0 < x < 1 \Rightarrow 0 < \ldots < x^{4} < x^{3} < x^{2} < x < 1$

+) Với $x > 1$, ta có: $1 < x < x^{2} < x^{3} < x^{4} < \cdots$ $1 < x < x^{2} < x^{3} < x^{4} < \cdots$

Ví dụ. Cho $2x + 1 < 2y + 1$. So sánh $x$ và $y$?

Gợi ý: Dùng phép biến đổi tương đương.

Hướng dẫn giải

Ta có $2x + 1 < 2y + 1 \Leftrightarrow 2x + 1 - 1 < 2y + 1 - 1$ $2x + 1 < 2y + 1 \Leftrightarrow 2x + 1 - 1 < 2y + 1 - 1$

$\Leftrightarrow 2x < 2y$ $\Leftrightarrow 2x < 2y$

$\Leftrightarrow 2x \cdot \frac{1}{2} < 2y \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < y$ $\Leftrightarrow 2x \cdot \frac{1}{2} < 2y \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < y$.

Ví dụ. Cho $a > b > 0$. Chứng minh $a^{2} > b^{2}$ $a^{2} > b^{2}$.

Gợi ý: Áp dụng tính chất: $c > 0$ và $a > 0 \Rightarrow ac > bc$ $a > 0 \Rightarrow ac > bc$ và tính chất bắc cầu.

Hướng dẫn giải

Ta có $a > b$ và $a > 0 \Rightarrow a.a > ab$ $a > 0 \Rightarrow a.a > ab$ hay $a^{2} > ab$ $a^{2} > ab$

Tương tự: $a > b$ và $b > 0 \Rightarrow ab > bb$ $b > 0 \Rightarrow ab > bb$ hay $ab > b^{2}$ $ab > b^{2}$

Vậy $a^{2} > ab$ $a^{2} > ab$ và $ab > b^{2} \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ $ab > b^{2} \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ (đpcm)

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có: $a > b > 0 \Rightarrow a^{3} > b^{3};a^{4} > b^{4};\ v.v...$ $a > b > 0 \Rightarrow a^{3} > b^{3};a^{4} > b^{4};\ v.v...$

Ví dụ. Cho $a,b,c,d$ là các số dương $a > b$ và $c > d$. Chứng minh rằng $ac > bd$.

Gợi ý: Ta có thể viết: Nếu $a > b > 0$ và $c > d > 0$ thì $ac > bd$: Nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều với điều kiện các vế đều dương.

Hướng dẫn giải

Ta có $a > b$ và $c > 0 \Rightarrow ac > bc$ $c > 0 \Rightarrow ac > bc$ (1)

Lai có $c > d$ và $b > 0 \Rightarrow bc > bd$ $b > 0 \Rightarrow bc > bd$ (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, ta có: $ac > bd$ (đpcm).

Nhận xét: Nếu $0 < a < b$ và $0 < c < d$ thì $ac < bd$ (chứng minh tương tự).

Ví dụ. a) Cho $a > 0$ và $b > 0$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$.

b) Cho $0 < a < b$ và $c > 0$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$.

Gợi ý: Có thể biến đổi tương đương.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2$ vì $a > 0$ và $b > 0 \Rightarrow ab > 0$ $b > 0 \Rightarrow ab > 0$ nên ta có:

$\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2 \Leftrightarrow ab\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2.ab$ $\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2 \Leftrightarrow ab\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2.ab$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2ab$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2ab$

$\Leftrightarrow a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow (a - b)^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow (a - b)^{2} \geq 0$ (luôn đúng)

b) Ta có: $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} \Leftrightarrow \frac{a}{b}(b + c) < \frac{a + c}{b + c}(b + c)$ $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} \Leftrightarrow \frac{a}{b}(b + c) < \frac{a + c}{b + c}(b + c)$

$\Leftrightarrow \frac{a(b + c)}{b} \cdot b < (a + c)b$ $\Leftrightarrow \frac{a(b + c)}{b} \cdot b < (a + c)b$

$\Leftrightarrow a(b + c) < (a + c)b$ $\Leftrightarrow a(b + c) < (a + c)b$

$\Leftrightarrow ac < bc$ $\Leftrightarrow ac < bc$ (vì $c > 0$)

$\Leftrightarrow a < b$ $\Leftrightarrow a < b$ (luôn đúng, theo giả thiết $0 < a < b$ )

Nhận xét: Ta có thể làm nhanh hơn, bằng cách "nhân chéo”.

Ta có: $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} \Leftrightarrow a(b + c) < b(a + c)$ $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} \Leftrightarrow a(b + c) < b(a + c)$ $(vi\grave{}\ b > 0;b + c > 0)$ $(vi\grave{}\ b > 0;b + c > 0)$

$\Leftrightarrow ab + ac < ab + bc$ $\Leftrightarrow ab + ac < ab + bc$

$\Leftrightarrow ac < bc$ $\Leftrightarrow ac < bc$

$\Leftrightarrow a < b.$ $\Leftrightarrow a < b.$

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án hướng dẫn chi tiết

Bài toán 1. a) Cho $a < b$. Chứng minh $2 - 3a > 1 - 3\ b$ $2 - 3a > 1 - 3\ b$.

b) Cho $a > b$. Chứng minh $2(1 - a) < 2(1 - b)$.

Bài toán 2. Cho $a < b$ và $c < d \Rightarrow a + c < b + d$ $c < d \Rightarrow a + c < b + d$.

Bài tập 3. a) Cho $a > b > 0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a} < \frac{1}{\ b}$ $\frac{1}{a} < \frac{1}{\ b}$.
b) Cho $a > 0;b > 0$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a} + \frac{1}{\ b} \geq \frac{4}{a + b}$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{\ b} \geq \frac{4}{a + b}$.

Gợi ý: Có thể biến đổi tương đương.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-------------------------------------

FAQ

Câu 1. Khi nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm cần lưu ý điều gì?

Khi nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, cần đổi chiều bất đẳng thức. Ví dụ, từ $3<5$ , nhân cả hai vế với $-2$ , ta được $-6>-10$ .

Đây là lỗi học sinh lớp 9 thường dễ mắc khi biến đổi bất đẳng thức. Vì vậy, trước mỗi phép nhân, hãy xác định rõ số nhân là số dương, số âm hay bằng 0.

Câu 2. Nhân hai vế của bất đẳng thức với 0 có được không?

Có thể nhân hai vế với 0, nhưng kết quả không còn giữ được chiều bất đẳng thức nghiêm. Chẳng hạn, từ $2<4$ , nhân cả hai vế với 0 thu được $0=0$ .

Vì vậy, nếu muốn suy ra một bất đẳng thức tương đương hoặc giữ được thông tin so sánh ban đầu, cần phân biệt trường hợp nhân với số dương, số âm và số 0.

Câu 3. Chuyên đề Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Toán 9 gồm những dạng bài nào?

Các dạng bài thường gặp gồm:

So sánh hai biểu thức bằng tính chất bất đẳng thức.
Nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương hoặc số âm.
Biến đổi bất đẳng thức để chứng minh một kết luận.
Vận dụng tính chất bất đẳng thức vào bài toán đại số.

Khi luyện tập, học sinh nên bắt đầu từ bài nhận biết quy tắc, sau đó chuyển sang bài biến đổi và chứng minh để nâng cao khả năng vận dụng.

Câu 4. Làm thế nào để học tốt chuyên đề bất đẳng thức Toán 9?

Học sinh nên nắm chắc quy tắc giữ nguyên hoặc đổi chiều bất đẳng thức, hiểu điều kiện của số nhân và luyện tập nhiều ví dụ có lời giải. Sau mỗi bài, hãy tự kiểm tra xem chiều bất đẳng thức đã được xử lý đúng chưa và các phép biến đổi có thỏa mãn điều kiện đề bài hay không.

Một phương pháp hiệu quả là tự làm bài trước, chỉ xem đáp án sau khi hoàn thành, rồi ghi lại những lỗi sai thường gặp để tránh lặp lại trong các bài tiếp theo.

Câu 5. Vì sao nên luyện bài tập Toán 9 có đáp án chi tiết?

Bài tập có đáp án chi tiết giúp học sinh không chỉ kiểm tra kết quả mà còn hiểu trình tự lập luận, cách vận dụng tính chất và nguyên nhân dẫn đến sai sót. Tuy nhiên, đáp án chỉ thực sự phát huy hiệu quả khi học sinh chủ động làm bài trước và dùng lời giải để đối chiếu, bổ sung kiến thức còn thiếu.

----------------------------------

Qua hệ thống bài tập Toán 9 về liên hệ giữa thứ tự và phép nhân có đáp án chi tiết, học sinh có thể củng cố kiến thức về bất đẳng thức, hiểu rõ cách vận dụng các tính chất khi nhân hai vế với một số dương hoặc một số âm. Đây là nội dung quan trọng giúp các em rèn luyện tư duy logic, nâng cao kỹ năng biến đổi biểu thức và chuẩn bị tốt cho những dạng toán liên quan trong chương trình Toán 9.

Để học tốt chuyên đề bất đẳng thức và tính chất, các em nên tự giải từng bài trước khi tham khảo đáp án, sau đó đối chiếu các bước lập luận và xác định nguyên nhân nếu có sai sót. Đặc biệt, cần ghi nhớ quy tắc giữ nguyên chiều bất đẳng thức khi nhân với số dương và đổi chiều khi nhân với số âm. Việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài từ cơ bản đến vận dụng sẽ giúp học sinh hiểu bản chất kiến thức, hạn chế nhầm lẫn và trình bày lời giải chính xác hơn. Hãy lưu lại tài liệu bài tập Toán 9 có đáp án này để ôn tập khi cần, đồng thời kết hợp với các chuyên đề liên quan nhằm xây dựng nền tảng đại số vững chắc và nâng cao kết quả học tập.

Tải về

Chọn file muốn tải về: