VnDoc.com

Bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân có đáp án chi tiết

Chuyên đề Bất đẳng thức và tính chất

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Toán 9

A. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
B. Ví dụ minh họa ứng dụng liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án hướng dẫn chi tiết

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề Bất đẳng thức là một trong những phần quan trọng, giúp học sinh rèn luyện khả năng so sánh, lập luận và chứng minh toán học. Một nội dung nền tảng không thể bỏ qua là liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, bởi đây là cơ sở để hiểu sâu hơn về các quy tắc biến đổi bất đẳng thức và giải quyết các bài tập phức tạp.

Bài viết Bài tập Toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân có đáp án chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết, hiểu rõ quy tắc nhân hai vế bất đẳng thức, đồng thời luyện tập với hệ thống bài tập có lời giải chi tiết. Qua đó, các em sẽ tự tin hơn khi vận dụng vào bài kiểm tra và các đề thi quan trọng.

A. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã chọ.

Với ba số $a,b,c$ và $c > 0$, ta có:

Nếu $a < b$ thì $ac < bc$;
Nếu $a \leq b$ $a \leq b$ thì $ac \leq bc$ $ac \leq bc$;
Nếu $a > b$ thì $ac > bc$;
Nếu $a \geq b$ $a \geq b$ thì $ac \geq bc$ $ac \geq bc$.

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số $a,b,c$ và $c < 0$, ta có:

Nếu $a < b$ thì $ac > bc$;
Nếu $a \leq b$ $a \leq b$ thì $ac \geq bc$ $ac \geq bc$;
Nếu $a > b$ thì $ac < bc$;
Nếu $a \geq b$ $a \geq b$ thì $ac \leq bc$ $ac \leq bc$.

B. Ví dụ minh họa ứng dụng liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Ví dụ. Chứng minh rằng:

a) Nếu $a > b$ thì $2a - 3 > 2b - 4$.

b) Nếu $a > 1$ thì $a^{2} - a > 0$ $a^{2} - a > 0$.

c) Nếu $0 < x < 1$ thì $x^{2} < x$ $x^{2} < x$.

Gợi ý:

Áp dụng tính chất: $a < b$ và $c > 0 \Rightarrow ac < bc$ $c > 0 \Rightarrow ac < bc$

$a > b$ và $b > c \Rightarrow a < c$ $b > c \Rightarrow a < c$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $2 > 0$ và $a > b \Rightarrow 2a > 2b$ $a > b \Rightarrow 2a > 2b$ (nhân 2 vế với 2)

$\Rightarrow 2a - 3 > 2b - 3$ $\Rightarrow 2a - 3 > 2b - 3$

Lại có: $- 3 > - 4 \Rightarrow 2b - 3 > 2b - 4$ $- 3 > - 4 \Rightarrow 2b - 3 > 2b - 4$

Vậy $2a - 3 > 2b - 3$ và $2b - 3 > 2b - 4$

$\Rightarrow 2a - 3 > 2b - 4$ $\Rightarrow 2a - 3 > 2b - 4$ (đpcm)

b) Ta có: $a > 1$ và $1 > 0 \Rightarrow a > 0$ $1 > 0 \Rightarrow a > 0$

Vậy $a > 1$ và $a > 0 \Rightarrow a.a > 1.a$ $a > 0 \Rightarrow a.a > 1.a$

$\Rightarrow a^{2} > a$ $\Rightarrow a^{2} > a$

$\Rightarrow a^{2} - a > a - a = 0$ $\Rightarrow a^{2} - a > a - a = 0$

$\Rightarrow a^{2} - a > 0\$ $\Rightarrow a^{2} - a > 0\$(điều phải chứng minh)

c) Từ giả thiết ta có: $x > 0$ và $x < 1$

$\Rightarrow x.x < x$ $\Rightarrow x.x < x$ (nhân hai vế với $x > 0$ )

$\Rightarrow x^{2} < x$ $\Rightarrow x^{2} < x$ (đpcm).

Nhận xét:

+) Với $0 < x < 1$ tương tự ta chứng minh được: $x^{3} < x^{2};x^{4} < x^{3}$ $x^{3} < x^{2};x^{4} < x^{3}$

Vây: $0 < x < 1 \Rightarrow 0 < \ldots < x^{4} < x^{3} < x^{2} < x < 1$ $0 < x < 1 \Rightarrow 0 < \ldots < x^{4} < x^{3} < x^{2} < x < 1$

+) Với $x > 1$, ta có: $1 < x < x^{2} < x^{3} < x^{4} < \cdots$ $1 < x < x^{2} < x^{3} < x^{4} < \cdots$

Ví dụ. Cho $2x + 1 < 2y + 1$. So sánh $x$ và $y$?

Gợi ý: Dùng phép biến đổi tương đương.

Hướng dẫn giải

Ta có $2x + 1 < 2y + 1 \Leftrightarrow 2x + 1 - 1 < 2y + 1 - 1$ $2x + 1 < 2y + 1 \Leftrightarrow 2x + 1 - 1 < 2y + 1 - 1$

$\Leftrightarrow 2x < 2y$ $\Leftrightarrow 2x < 2y$

$\Leftrightarrow 2x \cdot \frac{1}{2} < 2y \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < y$ $\Leftrightarrow 2x \cdot \frac{1}{2} < 2y \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < y$.

Ví dụ. Cho $a > b > 0$. Chứng minh $a^{2} > b^{2}$ $a^{2} > b^{2}$.

Gợi ý: Áp dụng tính chất: $c > 0$ và $a > 0 \Rightarrow ac > bc$ $a > 0 \Rightarrow ac > bc$ và tính chất bắc cầu.

Hướng dẫn giải

Ta có $a > b$ và $a > 0 \Rightarrow a.a > ab$ $a > 0 \Rightarrow a.a > ab$ hay $a^{2} > ab$ $a^{2} > ab$

Tương tự: $a > b$ và $b > 0 \Rightarrow ab > bb$ $b > 0 \Rightarrow ab > bb$ hay $ab > b^{2}$ $ab > b^{2}$

Vậy $a^{2} > ab$ $a^{2} > ab$ và $ab > b^{2} \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ $ab > b^{2} \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ (đpcm)

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

$a > b > 0 \Rightarrow a^{3} > b^{3};a^{4} > b^{4};\ v.v...$ $a > b > 0 \Rightarrow a^{3} > b^{3};a^{4} > b^{4};\ v.v...$

Ví dụ. Cho $a,b,c,d$ là các số dương $a > b$ và $c > d$. Chứng minh rằng $ac > bd$.

(Ta có thể viết: Nếu $a > b > 0$ và $c > d > 0$ thì $ac > bd$: Nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều với điều kiện các vế đều dương).

Hướng dẫn giải

Ta có $a > b$ và $c > 0 \Rightarrow ac > bc$ $c > 0 \Rightarrow ac > bc$ (1)

Lai có $c > d$ và $b > 0 \Rightarrow bc > bd$ $b > 0 \Rightarrow bc > bd$ (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, ta có: $ac > bd$ (đpcm).

Nhận xét: Nếu $0 < a < b$ và $0 < c < d$ thì $ac < bd$ (chứng minh tương tự).

Ví dụ. a) Cho $a > 0$ và $b > 0$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$.

b) Cho $0 < a < b$ và $c > 0$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$.

Gợi ý: Có thể biến đổi tương đương.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2$ vì $a > 0$ và $b > 0 \Rightarrow ab > 0$ $b > 0 \Rightarrow ab > 0$ nên ta có:

$\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2 \Leftrightarrow ab\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2.ab$ $\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2 \Leftrightarrow ab\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2.ab$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2ab$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2ab$

$\Leftrightarrow a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow (a - b)^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow (a - b)^{2} \geq 0$ (luôn đúng)

b) Ta có: $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} \Leftrightarrow \frac{a}{b}(b + c) < \frac{a + c}{b + c}(b + c)$ $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} \Leftrightarrow \frac{a}{b}(b + c) < \frac{a + c}{b + c}(b + c)$

$\Leftrightarrow \frac{a(b + c)}{b} \cdot b < (a + c)b$ $\Leftrightarrow \frac{a(b + c)}{b} \cdot b < (a + c)b$

$\Leftrightarrow a(b + c) < (a + c)b$ $\Leftrightarrow a(b + c) < (a + c)b$

$\Leftrightarrow ac < bc$ $\Leftrightarrow ac < bc$ (vì $c > 0$)

$\Leftrightarrow a < b$ $\Leftrightarrow a < b$ (luôn đúng, theo giả thiết $0 < a < b$ )

Nhận xét: Ta có thể làm nhanh hơn, bằng cách "nhân chéo”.

Ta có: $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} \Leftrightarrow a(b + c) < b(a + c)$ $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} \Leftrightarrow a(b + c) < b(a + c)$ $(vi\grave{}\ b > 0;b + c > 0)$ $(vi\grave{}\ b > 0;b + c > 0)$

$\Leftrightarrow ab + ac < ab + bc$ $\Leftrightarrow ab + ac < ab + bc$

$\Leftrightarrow ac < bc$ $\Leftrightarrow ac < bc$

$\Leftrightarrow a < b.$ $\Leftrightarrow a < b.$

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án hướng dẫn chi tiết

Bài toán 1. a) Cho $a < b$. Chứng minh $2 - 3a > 1 - 3\ b$ $2 - 3a > 1 - 3\ b$.

b) Cho $a > b$. Chứng minh $2(1 - a) < 2(1 - b)$.

Bài toán 2. Cho $a < b$ và $c < d \Rightarrow a + c < b + d$ $c < d \Rightarrow a + c < b + d$.

Bài tập 3. a) Cho $a > b > 0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a} < \frac{1}{\ b}$ $\frac{1}{a} < \frac{1}{\ b}$.
b) Cho $a > 0;b > 0$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a} + \frac{1}{\ b} \geq \frac{4}{a + b}$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{\ b} \geq \frac{4}{a + b}$.

Gợi ý: Có thể biến đổi tương đương.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

-------------------------------------

Dạng bài liên hệ giữa thứ tự và phép nhân không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về bất đẳng thức, mà còn phát triển khả năng tư duy logic và phản xạ nhanh trong giải toán.
Thông qua các bài tập có đáp án chi tiết, học sinh dễ dàng hiểu rõ bản chất của phép nhân trong bất đẳng thức và vận dụng chính xác trong mọi tình huống.

Hy vọng bài viết Bài tập Toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân có đáp án chi tiết sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em nâng cao kỹ năng giải toán, đồng thời học tốt chuyên đề Bất đẳng thức Toán 9.

Tải về

Chọn file muốn tải về: