Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng cách đặt biến phụ

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 9

Khác với phương pháp dùng bất đẳng thức hay biến đổi đồng nhất, cách đặt biến phụ giúp đưa bài toán về dạng quen thuộc, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất – nhỏ nhất một cách logic và gọn gàng hơn. Nếu nắm vững kỹ thuật này, học sinh lớp 9 có thể xử lý nhanh nhiều dạng bài tập toán 9 nâng cao và ghi điểm tối đa trong các câu vận dụng.

Bài viết tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng cách đặt biến phụ dưới đây sẽ hệ thống phương pháp đặt biến phụ, phân tích dạng toán thường gặp và chỉ ra những lưu ý quan trọng khi áp dụng.

Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tương đương. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn.

A. Kiến thức cần nhớ

x² ≥ 0 ∀x ∈ |R ⇒ x^2k ≥ 0; ∀ $x\mathbb{\in R}$ , $k\mathbb{\in Z}$ ⇒ - x^2k ≤ 0

Tổng quát: [f (x)]^2k ≥ 0 ∀ $x\mathbb{\in R}$ , $k\mathbb{\in Z}$ ⇒ - [f (x)]^2k ≤ 0

Từ đó suy ra:

[f (x)]^2k + m ≥ m ∀ $x\mathbb{\in R}$ , $k\mathbb{\in Z}$

M - [f (x)]^2k ≤ M

$\sqrt{x}$ ≥ 0; ∀x ≥ 0 ⇒ ( $\sqrt{x}$ )^2k ≥ 0, ∀x≥0; $k\mathbb{\in Z}$

B. Ví dụ minh họa tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 1: Tìm GTNN của C₁ = x⁴ + 6x³ + 13x² + 12x + 12.

Hướng dẫn giải

Ta có:

C₁ = x⁴ + 6x³ + 13x² + 12x + 12

C₁ = (x⁴ + 6x³ + 19x² + 30x + 25) - 6 (x² + 3x + 5) + 17

C₁ = (x² + 3x + 5)² - 6 (x² + 3x + 5) + 17

Đặt: x² + 3x + 5 = a

C₁ = a² - 6a + 17 = a² + 6a + 9 + 8

C₁ = (a - 3)² + 8≥ 8 do (a - 3)² ≥ 0 ∀a.

⇒ C₁min = 8 ⇔ a - 3 = 0 ⇔ a = 3

⇔ x² + 3x + 2 = 0 ⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 2 \end{matrix} \right.$

Vậy C₁min = 8 ⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 2 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 2: Tìm GTNN của $C_{2} = 2.\left( \frac{x^{2}}{y^{2}}\ \ + \ \ \frac{y^{2}}{x^{2}} \right) - 5\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)\ + \ 6$ với x, y > 0.

Hướng dẫn giải

Đặt: $\frac{x}{y}\ \ + \ \ \frac{y}{x} = a \geq 2 \Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}\ \ + \ \ \frac{y^{2}}{x^{2}} = a^{2} - 2$

⇒ C₂ = 2(a² - 2) - 5a + 6 = 2a² - 5a + 2

Ta thấy: a ≥ 2 ⇒ C₂ = 2a² - 5a + 2 ≥ 0

⇒ C₂min = 0 ⇔a = 2 ⇔ x = y > 0

Vậy : C₂min = 0 ⇔ x = y > 0

Ví dụ 3: Tìm GTNN của $C_{3} = \frac{x}{y}\ \ + \ \ \frac{y}{x} - 3\sqrt{\frac{x}{y}}\ - 3\sqrt{\frac{y}{x}} + 2004$ với x, y > 0.

Hướng dẫn giải

Đặt: $\sqrt{\frac{x}{y}}\ + \sqrt{\frac{y}{x}} = a \geq 2$ $\Leftrightarrow \frac{x}{y}\ \ + \ \ \frac{y}{x} = a^{2} - 2$

Khi đó: C₃ = (a² - 2) - 3a + 2004

C₃ = a² - 3a + 2004 = a² - 3a + 2 + 2002 = (a-1) (a-2) + 2000

Do ta có: a ≥ 2 ⇒ a - 1> 0 ; a - 2≥0

⇒ (a-1) (a-2) ≥0

⇒ C₃ = (a-1) (a-2) + 2000 ≥ 2000

⇒ C₃ min = 2000 ⇔ a = 2 ⇔ x = y ; xy > 0

Vậy C₃ min = 2000 ⇔ x = y và xy > 0.

-----------------------------------------------

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng cách đặt biến phụ là một trong những phương pháp quan trọng trong chương trình Toán 9, đặc biệt hữu ích khi xử lý các biểu thức phức tạp trong đề thi vào lớp 10. Khi biết cách lựa chọn biến phụ phù hợp và xác định đúng miền giá trị của biến, học sinh có thể đơn giản hóa bài toán và tìm ra giá trị lớn nhất – nhỏ nhất một cách chính xác.

Tải về

Chọn file muốn tải về: