Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề thi vào lớp 10: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

I. Cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn
II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn
III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn

Chứng minh ba đường thẳng đồng quy là một dạng toán nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài "Chứng minh ba đường thẳng .... đồng quy" và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn

+ Chứng minh một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó

+ Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba

+ Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ b

+ Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác

+ Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các đường thẳng AO và AO’ cắt (O) tại C và D và cắt (O’) tại E và F. Chứng minh rằng AB, CD, EF đồng quy

Lời giải:

Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn

+ Có $\widehat {ADC}$ $\widehat {ADC}$ nhìn đường kính AC nên $\widehat {ADC} = {90^0}$ $\widehat {ADC} = {90^0}$

+ Có $\widehat {AEF}$ $\widehat {AEF}$ nhìn đường kính AF nên $\widehat {AEF} = {90^0}$ $\widehat {AEF} = {90^0}$

+ Có $\widehat {ABC}$ $\widehat {ABC}$ nhìn đường kính AC nên $\widehat {ABC} = {90^0}$ $\widehat {ABC} = {90^0}$

+ Có $\widehat {ABF}$ $\widehat {ABF}$ nhìn đường kính AF nên $\widehat {ABF} = {90^0}$ $\widehat {ABF} = {90^0}$

+ Có $\widehat {ABC} + \widehat {ABF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ $\widehat {ABC} + \widehat {ABF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Suy ra 3 điểm E, B, F thẳng hàng

+ Xét tam giác CAF có các đường cao là AB, CD, EF nên AB, CD, EF đồng quy

Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB (M không trùng với các điểm A và B). Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BD, HK đồng quy.

Lời giải:

Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn

+ Gọi I là giao điểm của AM và DB

+ Có $\widehat {ABD} = \widehat {AMD}\left( { = {{90}^0}} \right)$ $\widehat {ABD} = \widehat {AMD}\left( { = {{90}^0}} \right)$(2 góc nội tiếp đường tròn đường kính AD)

Suy ra AB và DM là hai đường cao của tam giác IAD

K là trực tâm của tam giác nên IK vuông góc với AD (1)

+ Có AC = AB (tam giác ABC đều) nên hai cung AC và AB bằng nhau $\Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {ADB}$ $\Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {ADB}$

Góc $\widehat {AMH}$ $\widehat {AMH}$ kề bù với góc $\widehat {HMI}$ $\widehat {HMI}$ nên $\widehat {HMI} + \widehat {HDI} = {180^0}$ $\widehat {HMI} + \widehat {HDI} = {180^0}$

Suy ra tứ giác IMHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính ID

$\Rightarrow \widehat {IMD} = \widehat {IHD}\left( { = {{90}^0}} \right)$ $\Rightarrow \widehat {IMD} = \widehat {IHD}\left( { = {{90}^0}} \right)$

Suy ra IH vuông góc với AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra I, H, K thẳng hàng

Hay ba điờng thẳng AM, BD và HK đồng quy ra I

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A trên cạnh AC lấy M vẽ đường tròn đường kính MC tâm O. Đường thẳng BM cắt đường tròn O tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn O tại S. Gọi E là giao điểm của BC của đường tròn O. Chứng minh: BA , EM , CD đồng quy

Bài 2: Cho nửa đường tròn O, đường kính AB = R, bán kính OC vuông góc AB. M là một điểm trên cung nhỏ BC, AM cắt CO tại N

a) Chứng minh tứ giác BMN nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh AM.AN = 2R²

c) Kéo dài BN cắt nửa đường tròn tại K.Chứng minh ba đường thẳng AC, BM, ON đồng quy

Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Từ M là điểm trên nửa đường tròn (O) (M không là điểm chính giữa cung AB) vẽ tiếp tuyến lần lượt cắt Ax, By tại điểm C, D.

a) Chứng tỏ AC + BD = CD

b) Chứng minh tam giác COD vuông

c) Tia BM cắt Ax tại P, tia AM cắt By tại Q. Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. 1 điểm D nằm giữa A và B, đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh:

a, Hai tam giác ABC và EBD đồng dạng với nhau

b, Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn

c, AC // FG

d, Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!