Ứng dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh bất đẳng thức
Nguyên lý Dirichlet Toán 9
Nguyên lý Dirichlet là một công cụ quan trọng trong tư duy giải toán, đặc biệt là trong việc chứng minh bất đẳng thức. Phương pháp này thường xuất hiện trong các bài toán chuyên đề bất đẳng thức nâng cao, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi và Olympic Toán học. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ bản chất của nguyên lý Dirichlet, cách áp dụng nó để xử lý các bài toán bất đẳng thức và đưa ra ví dụ minh họa cụ thể.
A. Nguyên lý Dirichlet cơ bản
Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ (n ∈ N*).
Nguyên lý này tưởng chừng đơn gián nhưng nó có nhiều áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học (số học, hình học tổ hợp …). Cụ thể hơn ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề: Trong ba số thức bất kỳ a, b, c luôn tìm được hai số có tích không âm (cùng dấu).
Đây là một mệnh đề quan trọng bởi khi ta đã tìm ra điểm rơi thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức. Cụ thể nếu điểm rơi đạt tại a = b = c = k thì ta có thể giả sử hai số là a- k và b - k có tích không âm tức là (a-k)(b-k) ≥ 0.
B. Bài tập minh họa ứng dụng nguyên lý Diriclet có hướng dẫn
Bài tập 1. Cho a, b, c, > 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2 (ab + bc + ca).
Hướng dẫn giải
Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: a = b = c = 1.
Theo mệnh đề trên trong 3 số a-1; b-1và c-1 luôn có hai số có tích không âm.
Không mất tính tổng quát ta giả sử: (a-1)(b-1) ≥ 0 ⇔ ab +1 ≥ a + b
⇔ 2c(ab + 1) ≥ 2c( a + b) ⇔ 2abc ≥ 2ac + 2bc - 2c.
Vậy ta cần chứng minh: a2 + b2 + c2 + 1 ≥ 2ab +2c.
Thật vậy: a2 + b2 + c2 + 1 ≥ 2ab +2c ⇔ ( a - b)2 + (c -1)2 ≥ 0 ∀ a,b,c.
Bất đẳng thức sau luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi: a = b = c = 1.
Bài tập 2: Cho a, b, c, > 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc + 3 ≥ (a +1)(b+1)(c+1).
Hướng dẫn giải
Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: a = b = c = 1.
Ta có: (a +1)(b+1)(c+1) = abc + (ab +bc +ca) + (a +b +c ) + 1
Biến đổi tương đương ta được;
2(a2 + b2 + c2) + 2abc + 4 ≥ 2 (a + b + c) + 2(ab + bc + ca).
Theo ví dụ 2.54 ta đã có: a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2 (ab + bc + ca).
Vậy ta cần chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 (a + b + c).
Thật vậy:
a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 (a + b + c) ⇔ (a-1)2 + (b-1)2 + (c-1)2 ≥ 0 ∀ a,b,c.
Bất đẳng thức sau luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi: a = b = c = 1.
Bài tập 3. Cho a, b, c, > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + a +b +c ≥ 2(ab +bc +ca).
Hướng dẫn giải
Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: a = b = c = 1.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a + b + c ≥ ![3\sqrt[3]{abc}](https://i.vdoc.vn/data/image/blank.png){kind=small}
Ta cần chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 (ab + bc + ca).
Ta để ý: a2 + b2 + c2 + 3 = a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 (do abc = 1).
Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c = 1.
Bài tập 4. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 4. Chứng minh rằng: a + b + c
Hướng dẫn giải
Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: a = b = c =1.
Theo mệnh đề trên trong 3 số a – 1, b – 1, và c – 1 luôn có hai số tích không âm.
Không mất tính tổng quát ta giả sử:
Ta cần chứng minh:
Từ giả thiết ta có:
Từ đó có: (1)
Vậy bất đẳng thức (1) luôn đúng nên hoàn tất chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c = l.
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho a, b, c, > 0 và a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ 2.
Bài tập 2. Cho a, b, c, > 0 và thỏa mãn a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chứng minh rằng: a + b + c ≤ 3.
Bài tập 3. Cho a, b, c, > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng:
Bài tập 4. Cho a, b, c > 0 và
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ
--------------------------------------------
Qua bài viết trên, chúng ta đã thấy được sức mạnh của nguyên lý Dirichlet trong việc chứng minh các bất đẳng thức phức tạp. Việc nắm vững cách áp dụng nguyên lý này không chỉ giúp bạn giải quyết tốt các bài toán chuyên sâu, mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và sáng tạo trong Toán học. Hãy luyện tập nhiều ví dụ hơn để thành thạo kỹ thuật này và sẵn sàng chinh phục các kỳ thi Toán học ở mọi cấp độ!
