Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng phương pháp miền giá trị

Trong chương trình Toán 9 , đặc biệt là giai đoạn ôn thi vào lớp 10 , dạng toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) của biểu thức bằng phương pháp miền giá trị là một trong những vấn đề quan trọng và thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh. Đây là dạng bài yêu cầu học sinh nắm chắc kiến ​​thức đại số, hiểu cách biến đổi biểu thức, phân tích điều kiện và ứng dụng linh hoạt kỹ thuật đánh giá giá trị để xác định giá trị miền của từng phần tử trong biểu thức.

Bài viết thuộc chuyên mục Chuyên đề Toán 9 ô thi vào 10 Có đáp án, được biên soạn giúp học sinh hiểu bản chất phương pháp pháp, tránh sai sót thường gặp và biết cách trình bày bài làm mạch câu lạc bộ theo đúng chuẩn đề thi. Với hệ thống kiến ​​thức rõ ràng, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện kèm theo đáp án chi tiết, tài liệu này sẽ hỗ trợ bạn học nhanh – nắm chắc – ứng dụng hiệu quả trong mọi bài toán GTLN, GTNN.

A. Bài tập minh họa tìm GTLN GTNN bằng miền giá trị

Hướng dẫn giải

Ta có : \(P = \frac{(x - y)^{2} + 2xy}{x - y + 1} = \frac{(x - y)^{2} + 8}{x - y + 1}\).

Ta đặt : \(t = x - y > 0\)

\(\Rightarrow P = \frac{t^{2} + 8}{t + 1} \Leftrightarrow t^{2} - Pt + 8 - P = 0\)

Điều kiện có nghiệm t : \(\Delta_{t} = P^{2} - 4(8 - P) \geq 0\)

\(\Leftrightarrow P^{2} + 4P - 32 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} P \geq 4 \\ P \leq - 8 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy : \(\min P = 4 \Leftrightarrow t = \frac{P}{2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + y \\ xy = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow (x;y) = \left( \sqrt{5} + 1\ ;\ \sqrt{5} - 1 \right)\)

Nhận xét: Ngoài cách giải trên, học sinh có thể tham khảo cách giải khác như sau :

Đặt :\(t = x - y > 0 \Rightarrow P = \frac{t^{2} + 8}{t + 1}\)

\(\Leftrightarrow t - 1 + \frac{9}{t + 1} = \left( t + 1 + \frac{9}{t + 1} \right) - 2 \geq 2.3 - 2 = 4\)

Hoặc dùng kĩ thuật biến đổi tương đương

Ta đi chứng minh:

\(P = \frac{(x - y)^{2} + 8}{x - y + 1} \geq 4\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x - y)^{2} - 4(x - y) + 4}{x - y + 1} \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x - y - 2)^{2}}{x - y + 1} \geq 0(\forall x > y > 0)\)

Vậy:\(\min P = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y = 2 \\ xy = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow (x;y) = \left( \sqrt{5} + 1\ ;\ \sqrt{5} - 1 \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có nhận xét :\(x,y > 0 \Rightarrow P > 0.\)

Ta có :\(x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3xy(x + y) = 1 - 3xy \Rightarrow P = \frac{1}{1 - 3xy} + \frac{1}{xy}\)

Đơn giản ta đặt \(t = xy \leq \frac{(x + y)^{4}}{4} = \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P = \frac{1}{1 - 3t} + \frac{1}{t} = \frac{1 - 2t}{t - 3t^{2}} \Leftrightarrow 3Pt^{2} - (P + 2)t + 1 = 0\)

Để có nghiệm t : \(\Leftrightarrow \Delta = (P + 2)^{2} - 12P \geq 0\)

\(\Leftrightarrow (P + 2)^{2} \geq 12P \Leftrightarrow P \geq 4 + 2\sqrt{3}(P > 0)\)

\(MinP = 4 + 2\sqrt{3} \Leftrightarrow t = \frac{P + 2}{6P} = \frac{2\left( 3 + \sqrt{3} \right)}{12\left( 2 + \sqrt{3} \right)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 1 \\xy = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{6} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow x,y\)

B. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1. Cho hai số thực x, y khác 0 và thỏa mãn \((x + y)xy = x^{2} + y^{2} - xy\). Tìm GTLN của biểu thức: \(A = \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}}\).

Bài 2. Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn \(\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right) \geq 4\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x}.\)

Bài 3. Cho số thực \(x\) thỏa mãn \(1 \leq x \leq 2\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(T = \frac{3 + x}{x} + \frac{6 - x}{3 - x}\).

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài 1.

Ta có \((x + y)xy = x^{2} + y^{2} - xy\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} - \frac{1}{x}.\frac{1}{y}\)

Đặt \(a = \frac{1}{x},b = \frac{1}{y} \Rightarrow a + b = a^{2} - ab + b^{2}\)

Khi đó: \(A = a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = (a + b)^{2}\).

\(a + b = a^{2} - ab + b^{2}\)

\(\Leftrightarrow (a + b) = (a + b)^{2} - 3ab \geq (a + b)^{2} - \frac{3}{4}(a + b)^{2} = \frac{(a + b)^{2}}{4}.\)

\(\Leftrightarrow (a + b)^{2} - 4(a + b) \leq 0\)

\(\Leftrightarrow 0 \leq (a + b) \leq 4 \Rightarrow A = (a + b)^{2} \leq 16\)

Vậy \(MaxA = 16 \Leftrightarrow a = b = 2 \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}\).

Bài 2.

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại \(x = y = 1\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 2\sqrt{x} \\ y + 1 \geq 2\sqrt{y} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 \geq 2\left( \sqrt{x} + 1 \right) > 0 \\ y + 3 \geq 2\left( \sqrt{y} + 1 \right) > 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow (x + 3) + (y + 3) \geq 2\left\lbrack \left( \sqrt{x} + 1 \right) + \left( \sqrt{y} + 1 \right) \right\rbrack\)

\(\geq 4\sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right)} \geq 8 \Leftrightarrow x + y \geq 2\)

Từ đó: \(P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq \frac{(x + y)^{2}}{x + y} = x + y \geq 2\).

Vậy: \(MinP = 2 \Leftrightarrow x = y = 1\).

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu!

---------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã được hệ thống lại toàn bộ phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng phương pháp giá trị miền phương pháp , từ cách phân tích cấu trúc biểu thức đến cách đánh giá theo từng phần để xác định chính xác giá trị miền. Đây là một trong những dạng nền tảng toán học giúp học sinh nâng cao tư duy đại số, làm bài kiểm tra tự tin hơn và đạt điểm cao trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10.

Để học tốt hơn, hãy lưu lại tài liệu và tiếp tục khám phá thêm nhiều nội dung khác thuộc Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 Có đáp án như bất đẳng thức, rút ​​gọn biểu thức, tìm điều kiện xác thực. Nếu bạn cần thêm bài nâng cao tập tin, hãy tổng hợp tệp PDF hoặc muốn được mình biên soạn bộ chuyên đề