Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng phương pháp miền giá trị

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 Có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 9: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

A. Bài tập minh họa tìm GTLN GTNN bằng miền giá trị
B. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Đáp án bài tập tự rèn luyện

Trong chương trình Toán 9 , đặc biệt là giai đoạn ôn thi vào lớp 10 , dạng toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) của biểu thức bằng phương pháp miền giá trị là một trong những vấn đề quan trọng và thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh. Đây là dạng bài yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức đại số, hiểu cách biến đổi biểu thức, phân tích điều kiện và ứng dụng linh hoạt kỹ thuật đánh giá giá trị để xác định giá trị miền của từng phần tử trong biểu thức.

Bài viết thuộc chuyên mục Chuyên đề Toán 9 ô thi vào 10 Có đáp án, được biên soạn giúp học sinh hiểu bản chất phương pháp pháp, tránh sai sót thường gặp và biết cách trình bày bài làm mạch câu lạc bộ theo đúng chuẩn đề thi. Với hệ thống kiến thức rõ ràng, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện kèm theo đáp án chi tiết, tài liệu này sẽ hỗ trợ bạn học nhanh – nắm chắc – ứng dụng hiệu quả trong mọi bài toán GTLN, GTNN.

A. Phương pháp tìm cực trị của biểu thức

Trong một số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một hoặc hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức về miền già trị của hàm số để giải.

Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với x ∈ D. Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm. Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số).

Thường đưa đến biểu thức sau: m ≤ y ≤ M

Từ đó ⇒ Min f(x) = m với x ∈ D.

⇒ Max f(x) = M với x ∈ D.

B. Ví dụ minh họa tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng miền giá trị

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) = x² + 4x + 5

Hướng dẫn giải

Gọi y là một giá trị của f(x).

Ta có:

y = x² + 4x + 5 ⇔ x² + 4x + 5 - y = 0 (có nghiệm)

⇔ ∆' = 4 - 5 + y ≥ 0 ⇔ y ≥ 1

Vậy f(x) _Min = 1 ⇔ x = -2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) = - x² + 2x - 7

Hướng dẫn giải

Gọi y là một giá trị của f(x).

Ta có: y = - x² + 2x - 7

⇔ x² - 2x + y + 7 (có nghiệm) ⇔ ∆' = 1 - y - 1 ≥ 0⇔ y ≤ - 6

Vậy f(x)_Max = -6 ⇔ x = 1

C. Bài tập nâng cao tìm GTLN GTNN bằng miền giá trị

Bài tập 1. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x^{2} + y^{2}}{x - y + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có : $P = \frac{(x - y)^{2} + 2xy}{x - y + 1} = \frac{(x - y)^{2} + 8}{x - y + 1}$ .

Ta đặt :

$\Rightarrow P = \frac{t^{2} + 8}{t + 1} \Leftrightarrow t^{2} - Pt + 8 - P = 0$

Điều kiện có nghiệm t : $\Delta_{t} = P^{2} - 4(8 - P) \geq 0$

$\Leftrightarrow P^{2} + 4P - 32 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} P \geq 4 \\ P \leq - 8 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy : $\min P = 4 \Leftrightarrow t = \frac{P}{2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + y \\ xy = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow (x;y) = \left( \sqrt{5} + 1\ ;\ \sqrt{5} - 1 \right)$

Nhận xét: Ngoài cách giải trên, học sinh có thể tham khảo cách giải khác như sau :

Đặt : $t = x - y > 0 \Rightarrow P = \frac{t^{2} + 8}{t + 1}$

$\Leftrightarrow t - 1 + \frac{9}{t + 1} = \left( t + 1 + \frac{9}{t + 1} \right) - 2 \geq 2.3 - 2 = 4$

Hoặc dùng kĩ thuật biến đổi tương đương

Ta đi chứng minh:

$P = \frac{(x - y)^{2} + 8}{x - y + 1} \geq 4$ $\Leftrightarrow \frac{(x - y)^{2} - 4(x - y) + 4}{x - y + 1} \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x - y - 2)^{2}}{x - y + 1} \geq 0(\forall x > y > 0)$

Vậy: $\min P = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y = 2 \\ xy = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow (x;y) = \left( \sqrt{5} + 1\ ;\ \sqrt{5} - 1 \right)$

Bài 2. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có nhận xét : $x,y > 0 \Rightarrow P > 0.$

Ta có : $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3xy(x + y) = 1 - 3xy \Rightarrow P = \frac{1}{1 - 3xy} + \frac{1}{xy}$

Đơn giản ta đặt $t = xy \leq \frac{(x + y)^{4}}{4} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow P = \frac{1}{1 - 3t} + \frac{1}{t} = \frac{1 - 2t}{t - 3t^{2}} \Leftrightarrow 3Pt^{2} - (P + 2)t + 1 = 0$

Để có nghiệm t : $\Leftrightarrow \Delta = (P + 2)^{2} - 12P \geq 0$

$\Leftrightarrow (P + 2)^{2} \geq 12P \Leftrightarrow P \geq 4 + 2\sqrt{3}(P > 0)$

$MinP = 4 + 2\sqrt{3} \Leftrightarrow t = \frac{P + 2}{6P} = \frac{2\left( 3 + \sqrt{3} \right)}{12\left( 2 + \sqrt{3} \right)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 1 \\xy = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{6} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow x,y$

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1. Cho hai số thực x, y khác 0 và thỏa mãn $(x + y)xy = x^{2} + y^{2} - xy$ . Tìm GTLN của biểu thức: $A = \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}}$ .

Bài 2. Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn $\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right) \geq 4$ . Tìm GTNN của biểu thức: $P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x}.$

Bài 3. Cho số thực thỏa mãn $1 \leq x \leq 2$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $T = \frac{3 + x}{x} + \frac{6 - x}{3 - x}$ .

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài 1.

Ta có $(x + y)xy = x^{2} + y^{2} - xy$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} - \frac{1}{x}.\frac{1}{y}$

Đặt $a = \frac{1}{x},b = \frac{1}{y} \Rightarrow a + b = a^{2} - ab + b^{2}$

Khi đó: $A = a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = (a + b)^{2}$ .

$a + b = a^{2} - ab + b^{2}$

$\Leftrightarrow (a + b) = (a + b)^{2} - 3ab \geq (a + b)^{2} - \frac{3}{4}(a + b)^{2} = \frac{(a + b)^{2}}{4}.$

$\Leftrightarrow (a + b)^{2} - 4(a + b) \leq 0$

$\Leftrightarrow 0 \leq (a + b) \leq 4 \Rightarrow A = (a + b)^{2} \leq 16$

Vậy $MaxA = 16 \Leftrightarrow a = b = 2 \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Bài 2.

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 2\sqrt{x} \\ y + 1 \geq 2\sqrt{y} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 \geq 2\left( \sqrt{x} + 1 \right) > 0 \\ y + 3 \geq 2\left( \sqrt{y} + 1 \right) > 0 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow (x + 3) + (y + 3) \geq 2\left\lbrack \left( \sqrt{x} + 1 \right) + \left( \sqrt{y} + 1 \right) \right\rbrack$

$\geq 4\sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right)} \geq 8 \Leftrightarrow x + y \geq 2$

Từ đó: $P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq \frac{(x + y)^{2}}{x + y} = x + y \geq 2$ .

Vậy: $MinP = 2 \Leftrightarrow x = y = 1$ .

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu!

---------------------------------

FAQ

Phương pháp miền giá trị trong Toán 9 là gì?

Phương pháp miền giá trị là cách tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách xác định khoảng giá trị mà biểu thức có thể nhận được dựa trên điều kiện của biến.

Khi nào nên sử dụng phương pháp miền giá trị?

Phương pháp này thường được áp dụng khi bài toán chứa căn thức, phân thức hoặc biểu thức có thể đưa về dạng đơn giản để xác định khoảng giá trị.

Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp miền giá trị có xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 không?

Có. Đây là dạng toán vận dụng thường gặp trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán, đặc biệt ở các câu hỏi phân loại học sinh khá giỏi.

Các bước tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp miền giá trị là gì?

Thông thường gồm:

Xác định điều kiện của biến.
Đặt ẩn phụ (nếu cần).
Tìm miền giá trị của biểu thức.
Suy ra GTLN hoặc GTNN theo yêu cầu đề bài.

Ưu điểm của phương pháp miền giá trị là gì?

Phương pháp này giúp lời giải ngắn gọn, dễ trình bày và tránh được các phép biến đổi phức tạp trong nhiều dạng toán cực trị.

Những lỗi học sinh thường gặp khi giải dạng toán này?

Một số lỗi phổ biến gồm:

Bỏ quên điều kiện xác định.
Xác định sai miền giá trị.
Đặt ẩn phụ không phù hợp.
Không kiểm tra giá trị đạt được của biểu thức.

Làm thế nào để học tốt chuyên đề GTLN, GTNN bằng phương pháp miền giá trị?

Học sinh nên nắm vững lý thuyết, luyện tập các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao và thường xuyên làm đề ôn thi vào lớp 10 để rèn kỹ năng nhận dạng phương pháp giải.

-------------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã được hệ thống lại toàn bộ phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng phương pháp giá trị miền phương pháp , từ cách phân tích cấu trúc biểu thức đến cách đánh giá theo từng phần để xác định chính xác giá trị miền. Đây là một trong những dạng nền tảng toán học giúp học sinh nâng cao tư duy đại số, làm bài kiểm tra tự tin hơn và đạt điểm cao trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10.

Để học tốt hơn, hãy lưu lại tài liệu và tiếp tục khám phá thêm nhiều nội dung khác thuộc Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 Có đáp án như bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, tìm điều kiện xác thực. Nếu bạn cần thêm bài nâng cao tập tin, hãy tổng hợp tệp PDF hoặc muốn được mình biên soạn bộ chuyên đề

Tải về

Chọn file muốn tải về: