VnDoc.com

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tính giá trị của biểu thức A tại điểm x = x₀

A. Nhắc lại về cách tính giá trị của biểu thức A tại x = x0
B. Bài tập ví dụ tính giá trị của biểu thức A tại x = x0
C. Bài tập tự luyện tính giá trị của biểu thức A tại x = x0

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức là một dạng toán thường gặp trong các bài thi Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh nắm được các dạng bài về rút gọn biểu thức, từ đó tốt môn Toán lớp 9 hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Nhắc lại về cách tính giá trị của biểu thức A tại x = x₀

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn thức

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn, ta cần ghi nhớ các lý thuyết dưới đây:

• Hàm số $\sqrt A$ $\sqrt A$ xác định ⇔ A ≥ 0

• Hàm phân thức xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.

• Hàm phân thức $\sqrt A$ $\sqrt A$ dưới mẫu xác định ⇔ A > 0

2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: tìm điều kiện xác định để biểu thức chứa căn thức bậc hai có nghĩa.

• Bước 2: dùng các phép biến đổi đơn giản và thu gọn biểu thức.

3. Tính giá trị của biểu thức lớp 9

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần).

• Bước 2: Đối chiều điểm x = x₀ với điều kiện xác định..

• Bước 3: Nếu giá trị x = x₀ thỏa mãn điều kiện thì thay vào biểu thức để tính được giá trị của biểu thức.

• Bước 4: Kết luận.

B. Bài tập ví dụ tính giá trị của biểu thức A tại x = x₀

Bài 1: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới đây có nghĩa:

a) $\sqrt {3 - x}$ $\sqrt {3 - x}$ b) $\frac{1}{{\sqrt x - 1}}$ $\frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

Lời giải chi tiết:

a) Để $\sqrt {3 - x}$ $\sqrt {3 - x}$ có nghĩa ⇔ 3 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3

Vậy với x ≤ 3 thì biểu thức có nghĩa.

b) Để $\frac{1}{{\sqrt x - 1}}$ $\frac{1}{{\sqrt x - 1}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ \sqrt x - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ \sqrt x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ \sqrt x - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ \sqrt x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.$

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì biểu thức có nghĩa.

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) $A = \frac{{x - 3}}{{x + 5}}$ $A = \frac{{x - 3}}{{x + 5}}$ tại x = 7

b) $A = \left( {\frac{{3 - x}}{{x + 3}}.\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^2} - 9}} + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$ $A = \left( {\frac{{3 - x}}{{x + 3}}.\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^2} - 9}} + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$ tại $x = \frac{{ - 1}}{2}$ $x = \frac{{ - 1}}{2}$

c) $A = \frac{{x - 11}}{{\sqrt {x - 2} - 3}}$ $A = \frac{{x - 11}}{{\sqrt {x - 2} - 3}}$ tại $x = 23 - 12\sqrt 3$ $x = 23 - 12\sqrt 3$

Lời giải chi tiết:

a, $A = \frac{{x - 3}}{{x + 5}}$ $A = \frac{{x - 3}}{{x + 5}}$ có điều kiện xác định là x ≠ – 5

Thay x = 7 (thỏa mãn điều kiện) vào A có _{$A = \frac{{7 - 3}}{{7 + 5}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}$}

b, $A = \left( {\frac{{3 - x}}{{x + 3}}.\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^2} - 9}} + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$ $A = \left( {\frac{{3 - x}}{{x + 3}}.\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^2} - 9}} + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$ có điều kiện xác định là x ≠ 0, x ≠ ± 3

$A = \left( {\frac{{3 - x}}{{x + 3}}.\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^2} - 9}} + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$ $A = \left( {\frac{{3 - x}}{{x + 3}}.\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^2} - 9}} + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$

$= \left( {\frac{{3 - x}}{{x + 3}}.\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$ $= \left( {\frac{{3 - x}}{{x + 3}}.\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$

$= \left( { - 1 + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$ $= \left( { - 1 + \frac{x}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$

$= \left( {\frac{{ - x - 3 + x}}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$ $= \left( {\frac{{ - x - 3 + x}}{{x + 3}}} \right):\frac{{3{x^2}}}{{x + 3}}$

$= \frac{{ - 3}}{{x + 3}}.\frac{{x + 3}}{{3{x^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}$ $= \frac{{ - 3}}{{x + 3}}.\frac{{x + 3}}{{3{x^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}$

Thay $x = \frac{{ - 1}}{2}$ $x = \frac{{ - 1}}{2}$(thỏa mãn điều kiện) vào A có: _{$A = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{\frac{1}{4}}} = - 4$}

c,_{$A = \frac{{x - 11}}{{\sqrt {x - 2} - 3}}$} có điều kiện là x ≥ 2 và x ≠ 11

$A = \frac{{x - 11}}{{\sqrt {x - 2} - 3}} = \frac{{\left( {x - 11} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 2} - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right)}}$ $A = \frac{{x - 11}}{{\sqrt {x - 2} - 3}} = \frac{{\left( {x - 11} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 2} - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 11} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right)}}{{x - 11}} = \sqrt {x - 2} + 3$ $= \frac{{\left( {x - 11} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right)}}{{x - 11}} = \sqrt {x - 2} + 3$

Thay $x = 23 - 12\sqrt 3$ $x = 23 - 12\sqrt 3$ (thỏa mãn điều kiện) vào A có: $A = \sqrt {\left( {23 - 12\sqrt 3 } \right) - 2} + 3$ $A = \sqrt {\left( {23 - 12\sqrt 3 } \right) - 2} + 3$

$\begin{array}{l} A = \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } + 3 = \sqrt {12 + 2.2\sqrt 3 .3 + 9} + 3\\ = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 + 3} \right)}^2}} + 3 = 2\sqrt 3 + 3 + 3 = 2\sqrt 3 + 6 \end{array}$ $\begin{array}{l} A = \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } + 3 = \sqrt {12 + 2.2\sqrt 3 .3 + 9} + 3\\ = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 + 3} \right)}^2}} + 3 = 2\sqrt 3 + 3 + 3 = 2\sqrt 3 + 6 \end{array}$

Bài 3: Cho biểu thức $A = \frac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}}$ $A = \frac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}}$ với x ≠ 1. Tính giá trị của A khi x = 8

Lời giải chi tiết:

$A = \frac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}}$ $A = \frac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}}$(điều kiện xác định: x ≠ 1)

Thay x = 8 (thỏa mãn) vào biểu thức A có:

$A = \frac{{8 - \sqrt[3]{8}}}{{8 - 1}} = \frac{{8 - 2}}{7} = \frac{6}{7}$ $A = \frac{{8 - \sqrt[3]{8}}}{{8 - 1}} = \frac{{8 - 2}}{7} = \frac{6}{7}$

Vậy với x = 8 thì $A = \frac{6}{7}$ $A = \frac{6}{7}$.

Bài 4: Cho biểu thức $B = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$ $B = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$

a) Thu gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của B tại $x = 9$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \geq 0,x \neq 1$ $x \geq 0,x \neq 1$

a) $B = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$ $B = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$

$B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x} - 1 \right) + \left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right\rbrack:\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$ $B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x} - 1 \right) + \left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right\rbrack:\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$

$B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right\rbrack:\left( \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} \right)$ $B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right\rbrack:\left( \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} \right)$

$B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x} - x - 1}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack:\left( \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} \right)$ $B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x} - x - 1}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack:\left( \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} \right)$

$B = \frac{- \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{x + 1}{x + 1 + \sqrt{x}}$ $B = \frac{- \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{x + 1}{x + 1 + \sqrt{x}}$

$B = \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$ $B = \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$

b) Ta có: $x = 9$ thỏa mãn điều kiện xác định nên thay $x = 9$ vào biểu thức B thu gọn ta được:

$B = \frac{1 - \sqrt{9}}{9 + \sqrt{9} + 1} = - \frac{2}{13}$ $B = \frac{1 - \sqrt{9}}{9 + \sqrt{9} + 1} = - \frac{2}{13}$

Vậy $B = - \frac{2}{13}$ $B = - \frac{2}{13}$ khi $x = 9$.

Bài 5: Cho biểu thức $H = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}}$ $H = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}}$ với $x > 0$

a) Thu gọn biểu thức H.

b) Tính giá trị của H tại $x = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1}$ $x = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$H = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)}$ $H = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)}$

$H = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right).\left( \sqrt{x} + 1 \right)$ $H = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right).\left( \sqrt{x} + 1 \right)$

$H = \frac{\sqrt{x} + 1 + x}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)}.\left( \sqrt{x} + 1 \right)$ $H = \frac{\sqrt{x} + 1 + x}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)}.\left( \sqrt{x} + 1 \right)$

$H = \frac{\sqrt{x} + 1 + x}{\sqrt{x}}$ $H = \frac{\sqrt{x} + 1 + x}{\sqrt{x}}$

b) Ta có: $x = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1} = \frac{8\sqrt{5} + 8 - 8\sqrt{5} + 8}{5 - 1} = 4$ $x = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1} = \frac{8\sqrt{5} + 8 - 8\sqrt{5} + 8}{5 - 1} = 4$

Thay $x = 4$ vào H thu gọn ta được:

$H = \frac{\sqrt{4} + 1 + 4}{\sqrt{4}} = \frac{7}{2}$ $H = \frac{\sqrt{4} + 1 + 4}{\sqrt{4}} = \frac{7}{2}$

Vậy $H = \frac{7}{2}$ $H = \frac{7}{2}$ khi $x = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1}$ $x = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1}$.

Bài 6: Cho biểu thức: $C = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} + \frac{3}{\sqrt{x} - 2} \right\rbrack:\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$ $C = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} + \frac{3}{\sqrt{x} - 2} \right\rbrack:\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$

a) Rút gọn biểu thức C với $x > 0,x \neq 4$ $x > 0,x \neq 4$

b) Khi $x = 6 - 2\sqrt{5}$ $x = 6 - 2\sqrt{5}$ thì giá trị biểu thức C bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) $C = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} + \frac{3}{\sqrt{x} - 2} \right\rbrack:\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$ $C = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} + \frac{3}{\sqrt{x} - 2} \right\rbrack:\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$

$C = \frac{\sqrt{x} - 4 + 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}:\frac{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right) - x}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$ $C = \frac{\sqrt{x} - 4 + 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}:\frac{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right) - x}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$

$C = \frac{4\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}:\frac{- 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$ $C = \frac{4\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}:\frac{- 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$

$C = \frac{4\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}.\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{- 4}$ $C = \frac{4\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}.\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{- 4}$

$C = 1 - \sqrt{x}$ $C = 1 - \sqrt{x}$

b) Ta có: $x = 6 - 2\sqrt{5} = \left( \sqrt{5} - 1 \right)^{2}$ $x = 6 - 2\sqrt{5} = \left( \sqrt{5} - 1 \right)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{5} - 1$ $\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{5} - 1$

Vì $\sqrt{x} = \sqrt{5} - 1$ $\sqrt{x} = \sqrt{5} - 1$ thỏa mãn điều kiện xác định nên thay vào biểu thức C ta được:

$C = 1 - \sqrt{5} + 1 = - \sqrt{5}$ $C = 1 - \sqrt{5} + 1 = - \sqrt{5}$

Vậy $x = 6 - 2\sqrt{5}$ $x = 6 - 2\sqrt{5}$ thì $C = - \sqrt{5}$ $C = - \sqrt{5}$.

Bài 7. Cho biểu thức: $N = \frac{a}{\sqrt{ab} + b} + \frac{b}{\sqrt{ab} - a} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$ $N = \frac{a}{\sqrt{ab} + b} + \frac{b}{\sqrt{ab} - a} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$

a, Rút gọn biểu thức N.

b, Tính N khi a = $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ , b = $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$

c, Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 5}$ $\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 5}$ thì biểu thức N có giá trị không đổi.

Hướng dẫn giải

a. Thực hiện thu gọn biểu thức đã cho như sau :

$N = \frac{a}{\sqrt{ab} + b} + \frac{b}{\sqrt{ab} - a} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$ $N = \frac{a}{\sqrt{ab} + b} + \frac{b}{\sqrt{ab} - a} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$

$= \frac{a.(\sqrt{ab} - a) + b(\sqrt{ab} + b)}{(\sqrt{ab} + b)(\sqrt{ab} - a)} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$ $= \frac{a.(\sqrt{ab} - a) + b(\sqrt{ab} + b)}{(\sqrt{ab} + b)(\sqrt{ab} - a)} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$

$= \frac{(a + b)\sqrt{ab} + b^{2} - a^{2}}{ab + b\sqrt{ab} - a\sqrt{ab} - ab} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$ $= \frac{(a + b)\sqrt{ab} + b^{2} - a^{2}}{ab + b\sqrt{ab} - a\sqrt{ab} - ab} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$

$= \frac{(a + b)\sqrt{ab} + (b - a)(b + a)}{\sqrt{ab}(b - a)} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$ $= \frac{(a + b)\sqrt{ab} + (b - a)(b + a)}{\sqrt{ab}(b - a)} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$

$= \frac{(a + b)(\sqrt{ab} + b - a)}{\sqrt{ab}(b - a)} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$ $= \frac{(a + b)(\sqrt{ab} + b - a)}{\sqrt{ab}(b - a)} - \frac{a + b}{\sqrt{ab}}$

$= \frac{(a + b)(\sqrt{ab} + b - a) - (b^{2} - a^{2})}{\sqrt{ab}(b - a)}$ $= \frac{(a + b)(\sqrt{ab} + b - a) - (b^{2} - a^{2})}{\sqrt{ab}(b - a)}$

$= \frac{(a + b)\sqrt{ab} + b^{2} - a^{2} - b^{2} + a^{2}}{\sqrt{ab}(b - a)}$ $= \frac{(a + b)\sqrt{ab} + b^{2} - a^{2} - b^{2} + a^{2}}{\sqrt{ab}(b - a)}$

$= \frac{(a + b)\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(b - a)} = \frac{a + b}{b - a}$ $= \frac{(a + b)\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(b - a)} = \frac{a + b}{b - a}$

b, Ta có:

a = $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ = $\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^{2}} = \sqrt{3} + 1$ $\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^{2}} = \sqrt{3} + 1$

b = $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$= $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^{2}} = \sqrt{3} - 1$ $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^{2}} = \sqrt{3} - 1$

N = $\frac{a + b}{b - a}$ $\frac{a + b}{b - a}$= $\frac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1} = \frac{2\sqrt{3}}{- 2} = - \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1} = \frac{2\sqrt{3}}{- 2} = - \sqrt{3}$

c, Áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có:

$\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 5}$ $\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 5}$= $\frac{a + 1 - a}{b + 5 - b} = \frac{1}{5} \Rightarrow b = 5a$ $\frac{a + 1 - a}{b + 5 - b} = \frac{1}{5} \Rightarrow b = 5a$

Thay $b = 5a$ vào N = $\frac{a + b}{b - a}$ $\frac{a + b}{b - a}$ ta được N = $\frac{a + b}{b - a}$ $\frac{a + b}{b - a}$ = $\frac{a + 5a}{5a - a} = \frac{6a}{4a} = \frac{3}{2}$ $\frac{a + 5a}{5a - a} = \frac{6a}{4a} = \frac{3}{2}$.

Vậy N không đổi là N = $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$ khi $\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 5}$ $\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 5}$

Bài 8. Cho biểu thức $M = \left( \frac{a}{a + b} + \frac{a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \right):\left( \frac{a^{2}}{a + b} - \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} + 2ab} \right)$ $M = \left( \frac{a}{a + b} + \frac{a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \right):\left( \frac{a^{2}}{a + b} - \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} + 2ab} \right)$

a, Rút gọn biểu thức M.

b, Tính M khi a = $1 + \sqrt{2}$ $1 + \sqrt{2}$ và b = $1 - \sqrt{2}$ $1 - \sqrt{2}$.

c, Tìm a, b trong trường hợp $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ thì M = 1.

Hướng dẫn giải

a, Điều kiện: a $\neq 0;a \neq \pm b$ $\neq 0;a \neq \pm b$

M = $\left( \frac{a}{a + b} + \frac{a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \right):\left( \frac{a^{2}}{a + b} - \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} + 2ab} \right)$ $\left( \frac{a}{a + b} + \frac{a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \right):\left( \frac{a^{2}}{a + b} - \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} + 2ab} \right)$

= $\left( \frac{a.(b - a) + a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \right):\left( \frac{a^{2}(a + b) - a^{3}}{(a + b)^{2}} \right)$ $\left( \frac{a.(b - a) + a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \right):\left( \frac{a^{2}(a + b) - a^{3}}{(a + b)^{2}} \right)$

= $\frac{ab}{(b - a)(b + a)}.\frac{(a + b)^{2}}{a^{2}b}$ $\frac{ab}{(b - a)(b + a)}.\frac{(a + b)^{2}}{a^{2}b}$= $\frac{a + b}{a.(b - a)}$ $\frac{a + b}{a.(b - a)}$

b, Thay a = $1 + \sqrt{2}$ $1 + \sqrt{2}$ và b = $1 - \sqrt{2}$ $1 - \sqrt{2}$ vào biểu thức M thu gọn ở câu a ta được:

M = $\frac{a + b}{a.(b - a)}$ $\frac{a + b}{a.(b - a)}$ $= \frac{1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}}{(1 +\sqrt{2}).(1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1)}$ $= \frac{1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}}{(1 +\sqrt{2}).(1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1)}$

$= \frac{2}{- 2.(1 + \sqrt{2})}= \frac{1 - \sqrt{2}}{2 - 1} = 1 - \sqrt{2}$ $= \frac{2}{- 2.(1 + \sqrt{2})}= \frac{1 - \sqrt{2}}{2 - 1} = 1 - \sqrt{2}$

c, Ta giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2} \\\dfrac{a + b}{a.(b - a)} = 1\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2} \\\dfrac{a + b}{a.(b - a)} = 1\end{matrix} \right.$

Từ phương trình (1) rút ra b = 2a thay vào phương trình (2) của hệ ta được:

$\frac{a + 2a}{a.(2a - a)}$ $\frac{a + 2a}{a.(2a - a)}$=1 $\Rightarrow \frac{3a}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 3a$ $\Rightarrow \frac{3a}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 3a$

$\Leftrightarrow a(a - 3) = 0 \Leftrightarrow a = 3$ $\Leftrightarrow a(a - 3) = 0 \Leftrightarrow a = 3$ (thỏa mãn) và a = 0 (Loại)

Với a = 3 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$b = 6

Vậy a = 3, b = 6 thì M = 1.

Bài 9: Cho biểu thức: $H = \frac{1}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^{3}} - x}{\sqrt{x} - 1}$ $H = \frac{1}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^{3}} - x}{\sqrt{x} - 1}$

a, Rút gọn biểu thức H.

b, Tính H khi x = $\frac{53}{9 - 2\sqrt{7}}$ $\frac{53}{9 - 2\sqrt{7}}$ .

c, Tìm x khi H = 16.

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện: x >1

H = $\frac{1}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^{3}} - x}{\sqrt{x} - 1}$ $\frac{1}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^{3}} - x}{\sqrt{x} - 1}$

= $\frac{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x - 1} - \sqrt{x} \right).\left( \sqrt{x - 1} + \sqrt{x} \right)} + \frac{x\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x} - 1}$ $\frac{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x - 1} - \sqrt{x} \right).\left( \sqrt{x - 1} + \sqrt{x} \right)} + \frac{x\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x} - 1}$

$= \frac{2\sqrt{x - 1}}{x - 1 - x} + x = x - 2\sqrt{x - 1}$ $= \frac{2\sqrt{x - 1}}{x - 1 - x} + x = x - 2\sqrt{x - 1}$

b. Ta có: x = $\frac{53}{9 - 2\sqrt{7}}$ $\frac{53}{9 - 2\sqrt{7}}$ = $\frac{53.(9 + 2\sqrt{7})}{9^{2} - (2\sqrt{7})^{2}} = \frac{53.(9 + 2\sqrt{7})}{53} = 9 + 2\sqrt{7}$ $\frac{53.(9 + 2\sqrt{7})}{9^{2} - (2\sqrt{7})^{2}} = \frac{53.(9 + 2\sqrt{7})}{53} = 9 + 2\sqrt{7}$

H = x – 2 $\sqrt{x - 1}$ $\sqrt{x - 1}$= 9 + 2 $\sqrt{7} - 2\sqrt{9 + 2\sqrt{7} - 1}$ $\sqrt{7} - 2\sqrt{9 + 2\sqrt{7} - 1}$

$= 9 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(1 + \sqrt{7})^{2}} = 7$ $= 9 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(1 + \sqrt{7})^{2}} = 7$

c. Theo bài ra ta có : H = 16 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ x - 2 $\sqrt{x - 1}$ $\sqrt{x - 1}$= 16

$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ x - 2 $\sqrt{x - 1}$ $\sqrt{x - 1}$- 16 = 0

$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ (x - 1) - 2 $\sqrt{x - 1}$ $\sqrt{x - 1}$- 15 = 0

Đặt: $\sqrt{x - 1}$ $\sqrt{x - 1}$= a; a $\geq$ $\geq$ 0

a² -2a - 15 = 0

${\Delta$ ${\Delta'}_{a}$= 1+15=16 = 4²

a_1/2 = 1 $\pm$ $\pm$4 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$a₁ = 5 và a₂= -3 (loại)

a₁ = 5 $\Rightarrow \sqrt{x - 1}$ $\Rightarrow \sqrt{x - 1}$ = 5 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$x-1 = 25 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$x = 26

C. Bài tập tự luyện tính giá trị của biểu thức A tại x = x₀

Bài 1: Tìm điều kiện xác định để các biểu thức dưới đây có nghĩa:

1) $\sqrt {6 - 3x}$ $\sqrt {6 - 3x}$	2) $\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)x}$ $\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)x}$	3) $\sqrt {{x^2} - 4x + 4}$ $\sqrt {{x^2} - 4x + 4}$
4) $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}$ $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}$	5) $\frac{1}{{\sqrt {1 - x} }}$ $\frac{1}{{\sqrt {1 - x} }}$	6) $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 9} }}$ $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 9} }}$

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

1) $\left( {\frac{1}{{a - \sqrt a }} + \frac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}$ $\left( {\frac{1}{{a - \sqrt a }} + \frac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}$

2) $\left( {\frac{4}{{\sqrt {1 + a} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{4}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)$ $\left( {\frac{4}{{\sqrt {1 + a} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{4}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)$

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

1,_{$A = \frac{1}{{2\left( {1 + \sqrt a } \right)}} + \frac{1}{{2\left( {1 - \sqrt a } \right)}} - \frac{{{a^2} + 2}}{{1 - {a^3}}}$} tại _{$a = \sqrt 2$}

2, $C = \frac{{{a^4} - 4{a^2} + 3}}{{{a^4} - 12{a^2} + 27}}$ $C = \frac{{{a^4} - 4{a^2} + 3}}{{{a^4} - 12{a^2} + 27}}$ tại $a = \sqrt 3 - \sqrt 2$ $a = \sqrt 3 - \sqrt 2$

3, $D = \frac{1}{{\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } }}$ $D = \frac{1}{{\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } }}$ tại x = 3

4, C = A : B tại $x = \frac{{ - 1}}{2}$ $x = \frac{{ - 1}}{2}$ với $A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{4}{{2 - x}} + \frac{3}{{x + 2}}} \right)$ $A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{4}{{2 - x}} + \frac{3}{{x + 2}}} \right)$và $B = x - 2 + \frac{{11 - {x^2}}}{{x + 2}}$ $B = x - 2 + \frac{{11 - {x^2}}}{{x + 2}}$

5, $E = \frac{{\sqrt {2x + 2\sqrt {{x^2} - 4} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4} + x + 2}}$ $E = \frac{{\sqrt {2x + 2\sqrt {{x^2} - 4} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4} + x + 2}}$ tại $x = 2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)$ $x = 2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)$

6, $F = \left( {\frac{3}{{\sqrt {1 + a} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)$ $F = \left( {\frac{3}{{\sqrt {1 + a} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)$ tại $a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$ $a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$

7, $A = \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}}$ $A = \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}}$ tại _{$x = 6 - 2\sqrt 5$}

8, $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$ $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$ tại $x = \frac{{16}}{{25}}$ $x = \frac{{16}}{{25}}$

9, _{$P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - \sqrt x } \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)$}tại _{$x = \frac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$}

10, _{$M = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$}tại _{$x = 7 - 4\sqrt 3$}

Tài liệu còn dài, mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!

---------------------------------------------------------------

Với những kiến thức và ví dụ đã trình bày trong bài viết, chắc hẳn các bạn đã nắm vững cách rút gọn và tính giá trị của biểu thức một cách chính xác và logic hơn. Dạng bài này không chỉ giúp cải thiện kỹ năng biến đổi biểu thức mà còn là nền tảng để học tốt các chuyên đề khó hơn trong chương trình THPT. Để học tốt Toán lớp 9 và đạt kết quả cao trong kỳ thi vào lớp 10, đừng quên luyện tập thêm nhiều đề và theo dõi các bài viết tiếp theo trong chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10. Nếu bạn có câu hỏi hoặc muốn chia sẻ kinh nghiệm học tập, hãy để lại bình luận bên dưới – cùng nhau học tốt hơn mỗi ngày!

Tải về

Chọn file muốn tải về: