Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá
Giải phương trình chứa căn
Trong chương trình Toán lớp 9, dạng bài phương trình vô tỉ luôn được xem là một thử thách với nhiều học sinh, đặc biệt trong các kỳ thi vào lớp 10. Bên cạnh các phương pháp quen thuộc như bình phương hai vế hay đặt ẩn phụ, thì phương pháp đánh giá được coi là "vũ khí mạnh" giúp giải nhanh – gọn – chính xác nhiều phương trình vô tỉ có cấu trúc phức tạp. Đây cũng là phương pháp xuất hiện thường xuyên trong đề thi tuyển sinh lớp 10 ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Bài viết này sẽ giúp bạn tiếp cận cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá một cách đơn giản, trực quan và dễ hiểu. Thông qua việc phân tích bản chất, đưa ra tiêu chí nhận dạng và trình bày các ví dụ minh họa đặc trưng, bạn sẽ rèn được tư duy đánh giá, so sánh và tìm ra lời giải tối ưu cho từng dạng bài. Với nền tảng này, việc chinh phục dạng bài vô tỉ sẽ trở nên nhẹ nhàng và hiệu quả hơn bao giờ hết.
Dạng 1. Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải phương trình : 
\(\sqrt{x} -
\sqrt{x + 1} = \sqrt{x - 3}\).
Hướng dẫn giải
ĐK : \(\left\{ \begin{matrix}
x \geq 0 \\
x + 1 \geq 0 \\
x - 3 \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq 3\)
Khi đó ta có : \(\sqrt{x} < \sqrt{x +
1}\) => Giá trị của vế trái nhận giá trị âm.
Mà \(\sqrt{x - 3} \geq 0\)=> giá trị vế phải lại không âm. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm
Dạng 2. Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau tại cùng một giá trị.
Khi đó phương trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn.
Ví dụ: Giải phương trình : \(\sqrt{x^{2} +
2x + 2} + \sqrt{3x^{2} + 6x + 7} = 2 - 2x - x^{2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có : \(\sqrt{x^{2} + 2x + 2} = \sqrt{(x
+ 1)^{2} + 1} \geq \sqrt{1}\).
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = -1
\(\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} = \sqrt{3(x +
1)^{2} + 4} \geq \sqrt{4}\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = -1
=> Giá trị vế trái \(\geq \sqrt{1} +
\sqrt{4} = 3\)
Dấu “=” xảy ra\(\Leftrightarrow\)x = -1
Mà 2- 2x- x2 =-(x2 +2x+1)+3 =- (x+1)2 +3\(\leq 3\).
Dấu “=” xảy ra\(\Leftrightarrow\)x = -1
Vì thế x = -1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Dạng 3. Sử dụng dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức
Ví dụ: Giải phương trình : \(\frac{4}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x - 2} =
4\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x > 2.
Ta có \(\frac{4}{\sqrt{x - 2}} >
0;\sqrt{x - 2} > 0\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
\(\frac{4}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x - 2}
\geq 2\sqrt{\frac{4}{\sqrt{x - 2}}.\sqrt{x - 2}}\)
Áp dụng \(a + b \geq 2\sqrt{a.b};\forall
a;b \geq 0\).
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow a =
b\)
Ta có \(\frac{4}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x -
2} = 4\)
\(\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x - 2}} =
\sqrt{x - 2}\)
\(\Leftrightarrow \left( \sqrt{x - 2}
\right)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 6(tm)\)
Vậy nghiệm của phương trình là x=6
Bài tập giải phương trình vô tỉ bằng bất đẳng thức
Bài toán 1: Giải phương trình \(\sqrt{x -
2} + \sqrt{10 - x} = x^{2} - 12x + 40\).
Bổ đề: Với \(a \geq 0;b \geq 0\) \(a + b = \sqrt{(a + b)^{2}} \leq \sqrt{(a +
b)^{2} + (a - b)^{2}} \Rightarrow a + b \leq \sqrt{2\left( a^{2} + b^{2}
\right)}\).
Bài toán 2: Giải phương trình: \(\sqrt{x^{2} + x - 1} + \sqrt{x - x^{2} + 1} =
x^{2} - x + 2\).
Bài toán 3: Giải phương trình: \(\sqrt{2x -
3} + \sqrt{5 - 2x} = 3x^{2} - 12x + 14\) (1).
Bài toán 4: Giải phương trình: \(x^{2} - 2x
+ 3 = \sqrt{2x^{2} - x} + \sqrt{1 + 3x - 3x^{2}}\). (1)
Bài toán 5: Giải phương trình \(\sqrt{x -
2} + \sqrt{10 - x} = x^{2} - 12x + 40\)
Bổ đề: Với \(a \geq 0;b \geq 0\)
\(a + b = \sqrt{(a + b)^{2}} \leq \sqrt{(a +
b)^{2} + (a - b)^{2}}\)
\(\Rightarrow a + b \leq \sqrt{2\left( a^{2} + b^{2}
\right)}\)
Bài toán 6: Giải phương trình: \(\sqrt{x^{2} + x - 1} + \sqrt{x - x^{2} + 1} =
x^{2} - x + 2\).
Bài toán 7: Giải phương trình: \(\sqrt{2x -
3} + \sqrt{5 - 2x} = 3x^{2} - 12x + 14\) (1).
Bài toán 8: Giải phương trình: \(x^{2} - 2x
+ 3 = \sqrt{2x^{2} - x} + \sqrt{1 + 3x - 3x^{2}}\). (1)
--------------------------------------
Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!
Dạng phương trình vô tỉ không còn khó nếu bạn nắm được bản chất của phương pháp đánh giá: biết so sánh, tìm cận trên – cận dưới và khai thác cấu trúc của từng biểu thức. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn hệ thống lý thuyết rõ ràng cùng những ví dụ đặc trưng, giúp quá trình luyện thi vào lớp 10 trở nên chủ động và tự tin hơn.
Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài toán đa dạng để thành thạo kỹ thuật đánh giá và nâng cao tốc độ giải. Hãy lưu lại, chia sẻ bài viết cho bạn bè và sử dụng như một tài liệu ôn luyện quan trọng trong giai đoạn nước rút. Chúc bạn đạt được kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh sắp tới!
