Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá
Giải phương trình chứa căn
Giải phương trình vô tỉ bằng cách sử dụng bất đẳng thức là chuyên đề ôn thi vào lớp 10 hay, hướng dẫn các em học sinh cách giải phương trình chứa căn, kèm bài tập vận dụng cho các em tham khảo và luyện tập.
Dạng 1. Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải phương trình : 
\(\sqrt{x} -
\sqrt{x + 1} = \sqrt{x - 3}\)
Hướng dẫn giải
ĐK : \(\left\{ \begin{matrix}
x \geq 0 \\
x + 1 \geq 0 \\
x - 3 \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq 3\)
Khi đó ta có : \(\sqrt{x} < \sqrt{x +
1}\) => Giá trị của vế trái nhận giá trị âm.
Mà \(\sqrt{x - 3} \geq 0\)=> giá trị vế phải lại không âm. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm
Dạng 2. Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau tại cùng một giá trị.
Khi đó phương trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn.
Ví dụ: Giải phương trình : \(\sqrt{x^{2} +
2x + 2} + \sqrt{3x^{2} + 6x + 7} = 2 - 2x - x^{2}\)
Hướng dẫn giải
Ta có : \(\sqrt{x^{2} + 2x + 2} = \sqrt{(x
+ 1)^{2} + 1} \geq \sqrt{1}\).
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = -1
\(\sqrt{3x^{2} + 6x + 7} = \sqrt{3(x +
1)^{2} + 4} \geq \sqrt{4}\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = -1
=> Giá trị vế trái \(\geq \sqrt{1} +
\sqrt{4} = 3\)
Dấu “=” xảy ra\(\Leftrightarrow\)x = -1
Mà 2- 2x- x2 =-(x2 +2x+1)+3 =- (x+1)2 +3\(\leq 3\).
Dấu “=” xảy ra\(\Leftrightarrow\)x = -1
Vì thế x = -1 là nghiệm của phương trình đã cho
Dạng 3. Sử dụng dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức
Ví dụ: Giải phương trình : \(\frac{4}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x - 2} =
4\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x > 2.
Ta có \(\frac{4}{\sqrt{x - 2}} >
0;\sqrt{x - 2} > 0\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:
\(\frac{4}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x - 2}
\geq 2\sqrt{\frac{4}{\sqrt{x - 2}}.\sqrt{x - 2}}\)
Áp dụng \(a + b \geq 2\sqrt{a.b};\forall
a;b \geq 0\).
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow a =
b\)
Ta có \(\frac{4}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x -
2} = 4\)
\(\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x - 2}} =
\sqrt{x - 2}\)
\(\Leftrightarrow \left( \sqrt{x - 2}
\right)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 6(tm)\)
Vậy nghiệm của phương trình là x=6
Bài tập giải phương trình vô tỉ bằng bất đẳng thức
Bài toán 1: Giải phương trình \(\sqrt{x -
2} + \sqrt{10 - x} = x^{2} - 12x + 40\)
Bổ đề: Với \(a \geq 0;b \geq 0\) \(a + b = \sqrt{(a + b)^{2}} \leq \sqrt{(a +
b)^{2} + (a - b)^{2}} \Rightarrow a + b \leq \sqrt{2\left( a^{2} + b^{2}
\right)}\)
Bài toán 2: Giải phương trình: \(\sqrt{x^{2} + x - 1} + \sqrt{x - x^{2} + 1} =
x^{2} - x + 2\)
Bài toán 3: Giải phương trình: \(\sqrt{2x -
3} + \sqrt{5 - 2x} = 3x^{2} - 12x + 14\) (1)
Bài toán 4: Giải phương trình: \(x^{2} - 2x
+ 3 = \sqrt{2x^{2} - x} + \sqrt{1 + 3x - 3x^{2}}\). (1)
Bài toán 5: Giải phương trình \(\sqrt{x -
2} + \sqrt{10 - x} = x^{2} - 12x + 40\)
Bổ đề: Với \(a \geq 0;b \geq 0\)
\(a + b = \sqrt{(a + b)^{2}} \leq \sqrt{(a +
b)^{2} + (a - b)^{2}}\)
\(\Rightarrow a + b \leq \sqrt{2\left( a^{2} + b^{2}
\right)}\)
Bài toán 6: Giải phương trình: \(\sqrt{x^{2} + x - 1} + \sqrt{x - x^{2} + 1} =
x^{2} - x + 2\)
Bài toán 7: Giải phương trình: \(\sqrt{2x -
3} + \sqrt{5 - 2x} = 3x^{2} - 12x + 14\) (1)
Bài toán 8: Giải phương trình: \(x^{2} - 2x
+ 3 = \sqrt{2x^{2} - x} + \sqrt{1 + 3x - 3x^{2}}\). (1)
--------------------------------------
Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!
