Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9
Trong chương trình Đại số Toán 9, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán quan trọng, thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ và đề thi vào lớp 10. Để giải nhanh và chính xác, học sinh cần nắm vững các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như thế, cộng đại số, đồ thị và phương pháp đặt ẩn phụ. Bài viết này tổng hợp đầy đủ lý thuyết, hướng dẫn chi tiết từng phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án, giúp bạn học nhanh – nhớ lâu – làm bài hiệu quả trong chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 có đáp án.
A. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ví dụ: Cho hệ phương trình 
\(\left\{
\begin{matrix}
2x + y = 3 \\
x - y = 6
\end{matrix} \right.\).
Từ phương trình thứ hai \(x - y = 6
\Rightarrow y = x - 6\) rồi thế lên phương trình thứ nhất ta được
\(2x + (x - 6) = 3 \Rightarrow 3x - 6 = 3
\Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\).
Sau khi tìm được \(x = 3\), thay \(x = 3\) trở lại phương trình thứ nhất hoặc thứ hai ta tìm được \(y = -
3\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \((3;\ \ - 3)\).
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Áp dụng: Giải hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
x + 2y = 5 \\
3x + 4y = 5
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(x =
- 2y + 5\).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: \(3( - 2y + 5) + 4y = 5 \Rightarrow - 2y + 15 = 5
\Rightarrow y = 5\).
Từ đó \(x = - 2.\ 5 + 5 = - 5\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \((
- 5;\ \ 5)\).
Áp dụng: Giải hệ phương trình sau \(\left\{
\begin{matrix}
3x - y = 5 \\
x + 2y = 4
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(3x
- y = 5 \Rightarrow y = 3x - 5\).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: \(x + 2(3x - 5) = 4
\Rightarrow 7x - 10 = 4 \Rightarrow x = 2\).
Từ đó \(y = 3.\ 2 - 5 = 1\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \((2;\ \ 1)\).
B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ: Cho hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
2x + 2y = 9 \\
2x - 3y = 4
\end{matrix} \right.\)
Nhận thấy hệ số của \(x\) trong hai phương trình bằng nhau (trừ nhau sẽ bằng \(0\)).
Trừ theo vế hai phương trình, ta được \((2x
- 2x) + (2y + 3y) = 9 - 4 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y =
1\)
Thế \(y = 1\) vào phương trình thứ nhất ta được \(2x + 2.\ 1 = 9 \Rightarrow x =
\frac{7}{2}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( \frac{7}{2};\ \ 1 \right)\).
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ấn.
- Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Áp dụng: Giải hệ phương trình sau \(\left\{
\begin{matrix}
- 4x + 3y = 0 \\
4x - 5y = - 8
\end{matrix} \right.\)?
Hướng dẫn giải
Cộng từng vế của hai phương trình, ta được \(( - 4x + 4x) + (3y - 5y) = 0 - 8 \Rightarrow - 2y
= - 8 \Rightarrow y = 4\)
Thế \(y = 4\) vào phương trình thứ nhất ta được \(- 4x + 3.\ 4 = 0 \Rightarrow x
= 3\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \((3;\ \ 4)\)
Áp dụng: Giải hệ phương trình sau \(\left\{
\begin{matrix}
4x + 3y = 6 \\
- 5x + 2y = 4
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(3\), ta được: \(\left\{ \begin{matrix}
8x + 6y = 12 \\
- 15x + 6y = 12
\end{matrix} \right.\)
Trừ từng vế của hai phương trình, ta được \((8x + 15x) = 0 \Rightarrow x = 0\)
Thế \(x = 0\) vào phương trình thứ nhất, ta được \(4.\ 0 + 3y = 6 \Rightarrow y =
2\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \((0;\ \ 2)\).
C. Bài tập vận dụng giải hệ phương trình có đáp án chi tiết
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
| 1)\(\left\{ \begin{matrix}
x - y = 3 \\
3x - 4y = 2
\end{matrix} \right.\) |
2) \(\left\{ \begin{matrix}
3x - y = 6 \\
2x + 3y = 4
\end{matrix} \right.\) |
3) \(\left\{ \begin{matrix}
2x - y = 5 \\
3x + y = 10
\end{matrix} \right.\) |
| 4) \(\left\{ \begin{matrix}
x - 3y = 2 \\
- 2x + 5y = 1
\end{matrix} \right.\) |
5) \(\left\{ \begin{matrix}
x - 2y = 3 \\
x + y = 6
\end{matrix} \right.\) |
6) \(\left\{ \begin{matrix}
3x + y = 1 \\
x - 2y = 5
\end{matrix} \right.\) |
| 7) \(\left\{ \begin{matrix}
x + 2y = 4 \\
- 3x + y = 7
\end{matrix} \right.\) |
8) \(\left\{ \begin{matrix}
x + 3y = - 2 \\
5x - 4y = 11
\end{matrix} \right.\) |
9) \(\left\{ \begin{matrix}
2x + y = 4 \\
5x - 4y = 3
\end{matrix} \right.\) |
| 10) \(\left\{ \begin{matrix}
x + y = 5 \\
2x - y = 1
\end{matrix} \right.\) |
11) \(\left\{ \begin{matrix}
x + 2y = 3 \\
4x + 5y = 6
\end{matrix} \right.\) |
12) \(\left\{ \begin{matrix}
4x + y = 2 \\
8x + 2y = 1
\end{matrix} \right.\) |
| 13) \(\left\{ \begin{matrix}
3x + y = 2 \\
3x + 2y = 1
\end{matrix} \right.\) |
14)\(\left\{ \begin{matrix}
2x - y = 5 \\
x + 3y = - 1
\end{matrix} \right.\) |
15)\(\left\{ \begin{matrix}
4x - 3y = 1 \\
- x + 3y = 2
\end{matrix} \right.\) |
| 16)\(\left\{\begin{matrix}3x + y = 3 \\2x - 5y = 19\end{matrix} \right.\) |
17)\(\left\{\begin{matrix}x - 2y = 8 \\5x + 2y = 4\end{matrix} \right.\) |
18)\(\left\{ \begin{matrix}
2x + y = 4 \\
4x + 3y = 6
\end{matrix} \right.\) |
| 19)\(\left\{ \begin{matrix}
x + 3y = 3 \\
7x - 3y = 5
\end{matrix} \right.\) |
20) \(\left\{ \begin{matrix}
x + 4y = 11 \\
5x - 7y = 1
\end{matrix} \right.\) |
21) \(\left\{ \begin{matrix}
2x - y = 0 \\
- 3x + 2y = 0
\end{matrix} \right.\) |
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
| 1) \(\left\{ \begin{matrix}2x + 2y = 3\\3x - 2y = 2\end{matrix} \right.\) |
2)\(\left\{ \begin{matrix}
4x - 3y - 15 = 0 \\
4x + y = 19
\end{matrix} \right.\) |
3)\(\left\{ \begin{matrix}2x + 2y = 3 \\3x - 2y =2\end{matrix} \right.\) |
| 4)\(\left\{ \begin{matrix}
3x - 4y = 17 \\
5x + 2y = 11
\end{matrix} \right.\) |
5)\(\left\{ \begin{matrix}4x -3y = 21 \\2x - 5y = 21\end{matrix} \right.\) |
6)\(\left\{ \begin{matrix}
2x + 5y = 8 \\
2x - 3y = 0
\end{matrix} \right.\) |
| 7)\(\left\{ \begin{matrix}
7x + 4y = 2 \\
5x - 2y = 16
\end{matrix} \right.\) |
8)\(\left\{ \begin{matrix}2x+ 3y = - 2 \\3x - 2y = - 3\end{matrix} \right.\) |
9)\(\left\{ \begin{matrix}
3x - 2y = 6 \\
5x - 8y = 3
\end{matrix} \right.\) |
| 10)\(\left\{ \begin{matrix}
5x + 7y = 17 \\
x - 5y = - 3
\end{matrix} \right.\) |
11)\(\left\{ \begin{matrix}
2x - 3y = - 5 \\
3x + 4y = 18
\end{matrix} \right.\) |
12)\(\left\{ \begin{matrix}
- 5x + 2y = 4 \\
6x - 3y = - 7
\end{matrix} \right.\) |
| 13)\(\left\{ \begin{matrix}3x + 4y = 5 \\6x +7y = 8\end{matrix} \right.\) |
14)\(\left\{ \begin{matrix}
5x - 6y = 4 \\
2x - 5y = - 1
\end{matrix} \right.\) |
15)\(\left\{ \begin{matrix}
2x - 5y = - 3 \\
5x + 4y = - 2
\end{matrix} \right.\) |
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
| 1) \(\left\{ \begin{matrix}
0,5x - 0,5y = 0,5 \\
1,2x - 1,2y = 1,2
\end{matrix} \right.\) |
2)\(\left\{ \begin{matrix}
2x - 3y = 11 \\
- 0,8x + 1,2y = 1
\end{matrix} \right.\) |
| 3)\(\left\{ \begin{matrix}
4x - 3y = 6 \\
0,4x + 0,2y = 0,8
\end{matrix} \right.\) |
4)\(\left\{ \begin{matrix}
3x = - 2(y - 5) \\
5x + 3y = - 5
\end{matrix} \right.\) |
| 5)\(\left\{ \begin{matrix}
5(x + 2) = 2(y + 7) \\
3(x + y) = 17 - x
\end{matrix} \right.\) |
6)\(\left\{ \begin{matrix}
3(x + 1) - y = 6 - 2y \\
2x - y = 7
\end{matrix} \right.\) |
| 7)\(\left\{ \begin{matrix}2(x + y) = 3x - y + 7 \\3(x- 2y) = x + y + 8\end{matrix} \right.\) |
8)\(\left\{ \begin{matrix}
- x + 2y = - 4(x - 1) \\
5x + 3y = - (x + y) + 8
\end{matrix} \right.\) |
| 9)\(\left\{ \begin{matrix}
6(x + y) = 8 + 2x - 3y \\
5(y - x) = 5 + 3x + 2y
\end{matrix} \right.\) |
10)\(\left\{ \begin{matrix}
2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\
(x + y) + 2(x - y) = 5
\end{matrix} \right.\) |
| 11)\(\left\{ \begin{matrix}
2(x + 1) + 3(x + y) = 15 \\
4(x - 1) - (x + 2y) = 0
\end{matrix} \right.\) |
12) \(\left\{ \begin{matrix}
3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4 \\
4(x + 1) - (x + 2y) = 9
\end{matrix} \right.\) |
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau (phương pháp đặt ẩn phụ)
| 1) \(\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x - 2} + \frac{1}{y + 1} = 3 \\\frac{4}{x - 2} - \frac{3}{y + 1} = 1\end{matrix} \right.\) |
2)\(\left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y - 1} = 2 \\
\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{y - 1} = 1
\end{matrix} \right.\) |
| 3) \(\left\{ \begin{matrix}\frac{1}{x -1} - \frac{2}{y + 3} = 7 \\\frac{3}{x - 1} + \frac{4}{y + 3} = 1\end{matrix} \right.\) |
4) \(\left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{x - 3} - \frac{4}{y + 1} = 5 \\
\frac{3}{x - 3} + \frac{4}{y + 1} = - 1
\end{matrix} \right.\) |
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
-----------------------------------------------------
Trên đây là tổng hợp các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn phổ biến và hiệu quả nhất trong Toán 9, kèm ví dụ minh họa và bài tập có đáp án chi tiết. Việc thành thạo các phương pháp như thế, cộng đại số và vẽ đồ thị sẽ giúp bạn tự tin chinh phục mọi dạng bài trong kỳ thi vào lớp 10.
