VnDoc.com

Cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề bất phương trình Toán 9 ôn thi vào 10

A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt
B. Bài tập ví dụ minh họa biến đổi bất phương trình
C. Bài tập tự rèn luyện bất phương trình dạng đặc biệt

Trong chương trình Toán 9, bất phương trình bậc nhất một ẩn là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đặc biệt là đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tuy nhiên, không phải bất phương trình nào cũng ở dạng cơ bản; nhiều bài toán được đưa về dạng đặc biệt, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi linh hoạt, chính xác và áp dụng đúng quy tắc để giải nhanh gọn. Bài viết này sẽ giới thiệu chi tiết cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập luyện tập, giúp các em học sinh ôn thi hiệu quả, tự tin chinh phục các bài toán khó.

A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt

Cho bất phương trình sau:

$\frac{x + a}{b} + \frac{x + c}{d} < \frac{x + e}{f} + \frac{x + g}{h}$ $\frac{x + a}{b} + \frac{x + c}{d} < \frac{x + e}{f} + \frac{x + g}{h}$

Phương pháp biến đổi

Nếu $a + b = c + d = e + f = g + h = k$ thì ta cộng mỗi phân thức thêm 1.
Nếu $a - b = c - d = e - f = g - h = k$ thì ta cộng mỗi phân thức thêm -1.
Sau đó quy đồng từng phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung đưa về dạng $(x - k)\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h} \right) < 0$ $(x - k)\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h} \right) < 0$

Chú ý:

Cần xem xét $\frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h}$ $\frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h}$ là số âm hay số dương để đưa ra đánh giá về dấu của $x - k$.
Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích hợp.

B. Bài tập ví dụ minh họa biến đổi bất phương trình

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình:

a) $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$ $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$

b) $\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ $\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$ $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$

Cộng thêm 1 mỗi phân thức ta có:

$\frac{x + 2}{6} + 1 + \frac{x + 5}{3} + 1 > \frac{x + 3}{5} + 1 + \frac{x + 6}{2} + 1$ $\frac{x + 2}{6} + 1 + \frac{x + 5}{3} + 1 > \frac{x + 3}{5} + 1 + \frac{x + 6}{2} + 1$

$\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} > \frac{x + 8}{5} + \frac{x + 8}{2}$ $\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} > \frac{x + 8}{5} + \frac{x + 8}{2}$

$\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} - \frac{x + 8}{5} - \frac{x + 8}{2} > 0$ $\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} - \frac{x + 8}{5} - \frac{x + 8}{2} > 0$

$(x + 8)\left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \right) > 0$ $(x + 8)\left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \right) > 0$

$x + 8 < 0$ vì $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} > 0$ $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} > 0$

Suy ra $x < - 8$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x < - 8$.

b) Ta có:

$\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ $\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$

Cộng thêm -1 mỗi phân thức, ta được:

$\frac{x - 2}{1007} - 1 + \frac{x - 1}{1008} - 1 < \frac{2x - 1}{2017} - 1 + \frac{2x - 3}{2015} - 1$ $\frac{x - 2}{1007} - 1 + \frac{x - 1}{1008} - 1 < \frac{2x - 1}{2017} - 1 + \frac{2x - 3}{2015} - 1$

$\frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} < \frac{2x - 2018}{2017} + \frac{2x - 2018}{2015}$ $\frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} < \frac{2x - 2018}{2017} + \frac{2x - 2018}{2015}$

$\frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$ $\frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$

$(2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2015} \right) < 0$ $(2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2015} \right) < 0$

$2x - 2018 < 0$ vì $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2015} > 0$ $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2015} > 0$

Suy ra $x < 1009$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x < 1009$.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm của các bất phương trình sau:

a) $\frac{x + 1987}{2002} + \frac{x + 1988}{2003} > \frac{x + 1989}{2004} + \frac{x + 1990}{2005}$ $\frac{x + 1987}{2002} + \frac{x + 1988}{2003} > \frac{x + 1989}{2004} + \frac{x + 1990}{2005}$

b) $\frac{x - 1}{99} + \frac{x - 3}{97} + \frac{x - 5}{95} < \frac{x - 2}{98} + \frac{x - 4}{96} + \frac{x - 6}{94}$ $\frac{x - 1}{99} + \frac{x - 3}{97} + \frac{x - 5}{95} < \frac{x - 2}{98} + \frac{x - 4}{96} + \frac{x - 6}{94}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\frac{x + 1987}{2002} + \frac{x + 1988}{2003} > \frac{x + 1989}{2004} + \frac{x + 1990}{2005}$ $\frac{x + 1987}{2002} + \frac{x + 1988}{2003} > \frac{x + 1989}{2004} + \frac{x + 1990}{2005}$

Cộng thêm -1 mỗi phân thức, ta được:

$\frac{x + 1987}{2002} - 1 + \frac{x + 1988}{2003} - 1 > \frac{x + 1989}{2004} - 1 + \frac{x + 1990}{2005} - 1$ $\frac{x + 1987}{2002} - 1 + \frac{x + 1988}{2003} - 1 > \frac{x + 1989}{2004} - 1 + \frac{x + 1990}{2005} - 1$

$\frac{x - 15}{2002} + \frac{x - 15}{2003} > \frac{x - 15}{2004} + \frac{x - 15}{2005}$ $\frac{x - 15}{2002} + \frac{x - 15}{2003} > \frac{x - 15}{2004} + \frac{x - 15}{2005}$

$(x - 15)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2003} - \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} \right) > 0$ $(x - 15)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2003} - \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} \right) > 0$

$x - 15 > 0$ vì $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2003} - \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} > 0$ $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2003} - \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} > 0$

Suy ra $x > 15$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x > 15$.

b) Ta có:

$\frac{x - 1}{99} + \frac{x - 3}{97} + \frac{x - 5}{95} < \frac{x - 2}{98} + \frac{x - 4}{96} + \frac{x - 6}{94}$ $\frac{x - 1}{99} + \frac{x - 3}{97} + \frac{x - 5}{95} < \frac{x - 2}{98} + \frac{x - 4}{96} + \frac{x - 6}{94}$

Cộng thêm -1 mỗi phân thức, ta được:

$\frac{x - 1}{99} - 1 + \frac{x - 3}{97} - 1 + \frac{x - 5}{95} - 1 < \frac{x - 2}{98} - 1 + \frac{x - 4}{96} - 1 + \frac{x - 6}{94} - 1$ $\frac{x - 1}{99} - 1 + \frac{x - 3}{97} - 1 + \frac{x - 5}{95} - 1 < \frac{x - 2}{98} - 1 + \frac{x - 4}{96} - 1 + \frac{x - 6}{94} - 1$

$\frac{x - 100}{99} + \frac{x - 100}{97} + \frac{x - 100}{95} < \frac{x - 100}{98} + \frac{x - 100}{96} + \frac{x - 100}{94}$ $\frac{x - 100}{99} + \frac{x - 100}{97} + \frac{x - 100}{95} < \frac{x - 100}{98} + \frac{x - 100}{96} + \frac{x - 100}{94}$

$\frac{x - 100}{99} + \frac{x - 100}{97} + \frac{x - 100}{95} - \frac{x - 100}{98} - \frac{x - 100}{96} - \frac{x - 100}{94} < 0$ $\frac{x - 100}{99} + \frac{x - 100}{97} + \frac{x - 100}{95} - \frac{x - 100}{98} - \frac{x - 100}{96} - \frac{x - 100}{94} < 0$

$(x - 100)\left( \frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94} \right) < 0$ $(x - 100)\left( \frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94} \right) < 0$

$x - 100 > 0$ vì $\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94} < 0$ $\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94} < 0$

Suy ra $x > 100$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x > 100$.

C. Bài tập tự rèn luyện bất phương trình dạng đặc biệt

Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{x - 1987}{2002} + \frac{x - 1988}{2003} > \frac{x - 1989}{2004} + \frac{x - 1990}{2005}$ $\frac{x - 1987}{2002} + \frac{x - 1988}{2003} > \frac{x - 1989}{2004} + \frac{x - 1990}{2005}$

b) $\frac{x + 1}{99} + \frac{x + 3}{97} + \frac{x + 5}{95} < \frac{x + 2}{98} + \frac{x + 4}{96} + \frac{x + 6}{94}$ $\frac{x + 1}{99} + \frac{x + 3}{97} + \frac{x + 5}{95} < \frac{x + 2}{98} + \frac{x + 4}{96} + \frac{x + 6}{94}$

Bài tập 2. Giải các bất phương trình ẩn x sau:

a) $\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}$ $\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}$

b) $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$ $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$

c) $\frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - bc}{b + c} + \frac{x - ac}{a + c} > a + b + c$ $\frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - bc}{b + c} + \frac{x - ac}{a + c} > a + b + c$ với $a;b;c > 0$

Bài tập 3. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt:

a) $\frac{x + 1}{35} + \frac{x + 3}{33} \geq \frac{x + 5}{31} + \frac{x + 7}{29}$ $\frac{x + 1}{35} + \frac{x + 3}{33} \geq \frac{x + 5}{31} + \frac{x + 7}{29}$ b) $\frac{x - 85}{15} + \frac{x - 74}{13} + \frac{x - 67}{11} \leq 6$ $\frac{x - 85}{15} + \frac{x - 74}{13} + \frac{x - 67}{11} \leq 6$

c) $\frac{x - 1}{13} - \frac{2x - 13}{15} < \frac{3x - 15}{27} - \frac{4x - 27}{29}$ $\frac{x - 1}{13} - \frac{2x - 13}{15} < \frac{3x - 15}{27} - \frac{4x - 27}{29}$ d) $\frac{x + 1}{65} + \frac{x + 3}{63} - \frac{x + 5}{61} - \frac{x + 7}{59} < 0$ $\frac{x + 1}{65} + \frac{x + 3}{63} - \frac{x + 5}{61} - \frac{x + 7}{59} < 0$

e) $\frac{x + 29}{31} - \frac{x + 27}{33} \leq \frac{x + 17}{43} - \frac{x + 15}{45}$ $\frac{x + 29}{31} - \frac{x + 27}{33} \leq \frac{x + 17}{43} - \frac{x + 15}{45}$ f) $\frac{x + 6}{1999} + \frac{x + 8}{1997} \geq \frac{x + 10}{1995} + \frac{x + 12}{1993}$ $\frac{x + 6}{1999} + \frac{x + 8}{1997} \geq \frac{x + 10}{1995} + \frac{x + 12}{1993}$

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

------------------------------------------------------------------

Nắm vững cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt không chỉ giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học logic, mà còn là nền tảng để giải quyết các dạng toán phức tạp hơn trong chương trình phổ thông và các kỳ thi quan trọng. Để học tốt chuyên đề này, học sinh cần ghi nhớ quy tắc giải, luyện tập nhiều dạng bài khác nhau và kết hợp phương pháp biến đổi nhanh gọn với cách trình bày chặt chẽ, rõ ràng.

Việc học và luyện tập theo chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 sẽ giúp các em tự tin hơn, nâng cao kỹ năng giải toán và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: