Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề bất phương trình Toán 9 ôn thi vào 10

A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt
B. Bài tập ví dụ minh họa biến đổi bất phương trình
C. Bài tập tự rèn luyện bất phương trình dạng đặc biệt

Trong chương trình Toán 9, bất phương trình bậc nhất một ẩn là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đặc biệt là đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tuy nhiên, không phải bất phương trình nào cũng ở dạng cơ bản; nhiều bài toán được đưa về dạng đặc biệt, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi linh hoạt, chính xác và áp dụng đúng quy tắc để giải nhanh gọn. Bài viết này sẽ giới thiệu chi tiết cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập luyện tập, giúp các em học sinh ôn thi hiệu quả, tự tin chinh phục các bài toán khó.

A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt

Cho bất phương trình sau:

$\frac{x + a}{b} + \frac{x + c}{d} < \frac{x + e}{f} + \frac{x + g}{h}$ $\frac{x + a}{b} + \frac{x + c}{d} < \frac{x + e}{f} + \frac{x + g}{h}$

Phương pháp biến đổi

Nếu $a + b = c + d = e + f = g + h = k$ thì ta cộng mỗi phân thức thêm 1.
Nếu $a - b = c - d = e - f = g - h = k$ thì ta cộng mỗi phân thức thêm -1.
Sau đó quy đồng từng phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung đưa về dạng $(x - k)\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h} \right) < 0$ $(x - k)\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h} \right) < 0$

Chú ý:

Cần xem xét $\frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h}$ $\frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h}$ là số âm hay số dương để đưa ra đánh giá về dấu của $x - k$.
Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích hợp.

B. Bài tập ví dụ minh họa biến đổi bất phương trình

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình:

a) $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$ $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$

b) $\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ $\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$ $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$

Cộng thêm 1 mỗi phân thức ta có:

$\frac{x + 2}{6} + 1 + \frac{x + 5}{3} + 1 > \frac{x + 3}{5} + 1 + \frac{x + 6}{2} + 1$ $\frac{x + 2}{6} + 1 + \frac{x + 5}{3} + 1 > \frac{x + 3}{5} + 1 + \frac{x + 6}{2} + 1$

$\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} > \frac{x + 8}{5} + \frac{x + 8}{2}$ $\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} > \frac{x + 8}{5} + \frac{x + 8}{2}$

$\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} - \frac{x + 8}{5} - \frac{x + 8}{2} > 0$ $\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} - \frac{x + 8}{5} - \frac{x + 8}{2} > 0$

$(x + 8)\left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \right) > 0$ $(x + 8)\left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \right) > 0$

$x + 8 < 0$ vì $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} > 0$ $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} > 0$

Suy ra $x < - 8$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x < - 8$.

b) Ta có:

$\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ $\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$

Cộng thêm -1 mỗi phân thức, ta được:

$\frac{x - 2}{1007} - 1 + \frac{x - 1}{1008} - 1 < \frac{2x - 1}{2017} - 1 + \frac{2x - 3}{2015} - 1$ $\frac{x - 2}{1007} - 1 + \frac{x - 1}{1008} - 1 < \frac{2x - 1}{2017} - 1 + \frac{2x - 3}{2015} - 1$

$\frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} < \frac{2x - 2018}{2017} + \frac{2x - 2018}{2015}$ $\frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} < \frac{2x - 2018}{2017} + \frac{2x - 2018}{2015}$

$\frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$ $\frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$

$(2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2015} \right) < 0$ $(2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2015} \right) < 0$

$2x - 2018 < 0$ vì $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2015} > 0$ $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2015} > 0$

Suy ra $x < 1009$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x < 1009$.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm của các bất phương trình sau:

a) $\frac{x + 1987}{2002} + \frac{x + 1988}{2003} > \frac{x + 1989}{2004} + \frac{x + 1990}{2005}$ $\frac{x + 1987}{2002} + \frac{x + 1988}{2003} > \frac{x + 1989}{2004} + \frac{x + 1990}{2005}$

b) $\frac{x - 1}{99} + \frac{x - 3}{97} + \frac{x - 5}{95} < \frac{x - 2}{98} + \frac{x - 4}{96} + \frac{x - 6}{94}$ $\frac{x - 1}{99} + \frac{x - 3}{97} + \frac{x - 5}{95} < \frac{x - 2}{98} + \frac{x - 4}{96} + \frac{x - 6}{94}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\frac{x + 1987}{2002} + \frac{x + 1988}{2003} > \frac{x + 1989}{2004} + \frac{x + 1990}{2005}$ $\frac{x + 1987}{2002} + \frac{x + 1988}{2003} > \frac{x + 1989}{2004} + \frac{x + 1990}{2005}$

Cộng thêm -1 mỗi phân thức, ta được:

$\frac{x + 1987}{2002} - 1 + \frac{x + 1988}{2003} - 1 > \frac{x + 1989}{2004} - 1 + \frac{x + 1990}{2005} - 1$ $\frac{x + 1987}{2002} - 1 + \frac{x + 1988}{2003} - 1 > \frac{x + 1989}{2004} - 1 + \frac{x + 1990}{2005} - 1$

$\frac{x - 15}{2002} + \frac{x - 15}{2003} > \frac{x - 15}{2004} + \frac{x - 15}{2005}$ $\frac{x - 15}{2002} + \frac{x - 15}{2003} > \frac{x - 15}{2004} + \frac{x - 15}{2005}$

$(x - 15)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2003} - \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} \right) > 0$ $(x - 15)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2003} - \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} \right) > 0$

$x - 15 > 0$ vì $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2003} - \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} > 0$ $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2003} - \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} > 0$

Suy ra $x > 15$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x > 15$.

b) Ta có:

$\frac{x - 1}{99} + \frac{x - 3}{97} + \frac{x - 5}{95} < \frac{x - 2}{98} + \frac{x - 4}{96} + \frac{x - 6}{94}$ $\frac{x - 1}{99} + \frac{x - 3}{97} + \frac{x - 5}{95} < \frac{x - 2}{98} + \frac{x - 4}{96} + \frac{x - 6}{94}$

Cộng thêm -1 mỗi phân thức, ta được:

$\frac{x - 1}{99} - 1 + \frac{x - 3}{97} - 1 + \frac{x - 5}{95} - 1 < \frac{x - 2}{98} - 1 + \frac{x - 4}{96} - 1 + \frac{x - 6}{94} - 1$ $\frac{x - 1}{99} - 1 + \frac{x - 3}{97} - 1 + \frac{x - 5}{95} - 1 < \frac{x - 2}{98} - 1 + \frac{x - 4}{96} - 1 + \frac{x - 6}{94} - 1$

$\frac{x - 100}{99} + \frac{x - 100}{97} + \frac{x - 100}{95} < \frac{x - 100}{98} + \frac{x - 100}{96} + \frac{x - 100}{94}$ $\frac{x - 100}{99} + \frac{x - 100}{97} + \frac{x - 100}{95} < \frac{x - 100}{98} + \frac{x - 100}{96} + \frac{x - 100}{94}$

$\frac{x - 100}{99} + \frac{x - 100}{97} + \frac{x - 100}{95} - \frac{x - 100}{98} - \frac{x - 100}{96} - \frac{x - 100}{94} < 0$ $\frac{x - 100}{99} + \frac{x - 100}{97} + \frac{x - 100}{95} - \frac{x - 100}{98} - \frac{x - 100}{96} - \frac{x - 100}{94} < 0$

$(x - 100)\left( \frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94} \right) < 0$ $(x - 100)\left( \frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94} \right) < 0$

$x - 100 > 0$ vì $\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94} < 0$ $\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94} < 0$

Suy ra $x > 100$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x > 100$.

C. Bài tập tự rèn luyện bất phương trình dạng đặc biệt

Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{x - 1987}{2002} + \frac{x - 1988}{2003} > \frac{x - 1989}{2004} + \frac{x - 1990}{2005}$ $\frac{x - 1987}{2002} + \frac{x - 1988}{2003} > \frac{x - 1989}{2004} + \frac{x - 1990}{2005}$

b) $\frac{x + 1}{99} + \frac{x + 3}{97} + \frac{x + 5}{95} < \frac{x + 2}{98} + \frac{x + 4}{96} + \frac{x + 6}{94}$ $\frac{x + 1}{99} + \frac{x + 3}{97} + \frac{x + 5}{95} < \frac{x + 2}{98} + \frac{x + 4}{96} + \frac{x + 6}{94}$

Bài tập 2. Giải các bất phương trình ẩn x sau:

a) $\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}$ $\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}$

b) $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$ $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$

c) $\frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - bc}{b + c} + \frac{x - ac}{a + c} > a + b + c$ $\frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - bc}{b + c} + \frac{x - ac}{a + c} > a + b + c$ với $a;b;c > 0$

Bài tập 3. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt:

a) $\frac{x + 1}{35} + \frac{x + 3}{33} \geq \frac{x + 5}{31} + \frac{x + 7}{29}$ $\frac{x + 1}{35} + \frac{x + 3}{33} \geq \frac{x + 5}{31} + \frac{x + 7}{29}$ b) $\frac{x - 85}{15} + \frac{x - 74}{13} + \frac{x - 67}{11} \leq 6$ $\frac{x - 85}{15} + \frac{x - 74}{13} + \frac{x - 67}{11} \leq 6$

c) $\frac{x - 1}{13} - \frac{2x - 13}{15} < \frac{3x - 15}{27} - \frac{4x - 27}{29}$ $\frac{x - 1}{13} - \frac{2x - 13}{15} < \frac{3x - 15}{27} - \frac{4x - 27}{29}$ d) $\frac{x + 1}{65} + \frac{x + 3}{63} - \frac{x + 5}{61} - \frac{x + 7}{59} < 0$ $\frac{x + 1}{65} + \frac{x + 3}{63} - \frac{x + 5}{61} - \frac{x + 7}{59} < 0$

e) $\frac{x + 29}{31} - \frac{x + 27}{33} \leq \frac{x + 17}{43} - \frac{x + 15}{45}$ $\frac{x + 29}{31} - \frac{x + 27}{33} \leq \frac{x + 17}{43} - \frac{x + 15}{45}$ f) $\frac{x + 6}{1999} + \frac{x + 8}{1997} \geq \frac{x + 10}{1995} + \frac{x + 12}{1993}$ $\frac{x + 6}{1999} + \frac{x + 8}{1997} \geq \frac{x + 10}{1995} + \frac{x + 12}{1993}$

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

------------------------------------------------------------------

FAQ – Cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt là gì?

Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt là những bài toán không xuất hiện trực tiếp dưới dạng ax + b > 0, mà cần thực hiện thêm các bước như rút gọn, quy đồng, khử mẫu, khai triển hoặc chuyển vế trước khi đưa về dạng cơ bản để giải.

2. Làm thế nào để biến đổi bất phương trình về dạng bậc nhất một ẩn?

Quy trình thực hiện thường gồm:

Xác định điều kiện xác định (nếu có mẫu hoặc căn thức).
Khử ngoặc và thu gọn các hạng tử đồng dạng.
Quy đồng mẫu thức khi cần.
Chuyển các hạng tử chứa ẩn về cùng một vế.
Thu gọn để đưa bất phương trình về dạng bậc nhất.
Giải bất phương trình và đối chiếu với điều kiện ban đầu.

Thực hiện đúng trình tự sẽ giúp lời giải rõ ràng và hạn chế sai sót.

3. Khi nhân hoặc chia hai vế của bất phương trình với một số âm cần lưu ý điều gì?

Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất phương trình với một số âm, bắt buộc phải đổi chiều dấu bất phương trình.

Đây là quy tắc quan trọng nhất của chuyên đề và cũng là lỗi mà học sinh thường mắc trong các bài kiểm tra và đề thi vào lớp 10.

4. Những dạng đặc biệt của bất phương trình bậc nhất một ẩn thường gặp là gì?

Một số dạng phổ biến gồm:

Bất phương trình chứa phân thức.
Bất phương trình có dấu ngoặc.
Bất phương trình chứa tham số.
Bất phương trình có nhiều mẫu số.
Bất phương trình kết hợp nhiều phép biến đổi đại số.

Mỗi dạng sẽ có phương pháp xử lý riêng nhưng đều hướng tới việc đưa về bất phương trình bậc nhất cơ bản.

5. Vì sao phải đặt điều kiện xác định trước khi biến đổi bất phương trình?

Nếu bất phương trình chứa mẫu số hoặc căn thức, việc đặt điều kiện xác định giúp loại bỏ các giá trị không hợp lệ của ẩn. Bỏ qua bước này có thể dẫn đến nghiệm sai hoặc kết luận không chính xác.

6. Những lỗi thường gặp khi giải bất phương trình bậc nhất dạng đặc biệt là gì?

Các lỗi học sinh thường gặp gồm:

Quên đổi chiều dấu khi nhân hoặc chia với số âm.
Không đặt điều kiện xác định.
Quy đồng mẫu sai.
Chuyển vế nhầm dấu.
Kết luận nghiệm mà chưa kiểm tra điều kiện.

Việc trình bày theo từng bước sẽ giúp hạn chế những lỗi này.

7. Dạng toán này thường xuất hiện trong các kỳ thi nào?

Chuyên đề Cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt thường xuất hiện trong:

Đề kiểm tra giữa học kỳ.
Đề kiểm tra cuối học kỳ.
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10.
Đề ôn luyện học sinh khá, giỏi.
Các chuyên đề đại số lớp 9.

Đây là dạng toán có mức độ từ nhận biết đến vận dụng.

---------------------------------------

Nắm vững cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt không chỉ giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học logic, mà còn là nền tảng để giải quyết các dạng toán phức tạp hơn trong chương trình phổ thông và các kỳ thi quan trọng. Để học tốt chuyên đề này, học sinh cần ghi nhớ quy tắc giải, luyện tập nhiều dạng bài khác nhau và kết hợp phương pháp biến đổi nhanh gọn với cách trình bày chặt chẽ, rõ ràng.

Việc học và luyện tập theo chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 sẽ giúp các em tự tin hơn, nâng cao kỹ năng giải toán và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: