VnDoc.com

Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu)

Chuyên đề Bất đẳng thức có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu

A. Công thức Bất đẳng thức Svac-xơ
- a. Dạng tổng quát
- b. Dạng cụ thể
B. Bài tập minh họa áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ
- C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu) là một trong những bất đẳng thức cơ bản và quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, đặc biệt hữu ích trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tối ưu hóa biểu thức. Với tính chất đơn giản nhưng hiệu quả, Svac-xơ thường được áp dụng trong các kỳ thi học sinh giỏi, toán olympic và các bài toán nâng cao. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết về bất đẳng thức Svac-xơ, cách chứng minh và các ví dụ minh họa thực tế.

A. Công thức Bất đẳng thức Svac-xơ

a. Dạng tổng quát

Cho dãy số thực $\left( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right)$ $\left( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right)$ và $\left( b_{1},b_{2},...,b_{n} > 0 \right)$ $\left( b_{1},b_{2},...,b_{n} > 0 \right)$ thì ta luôn có:

$\frac{{a_{1}}^{2}}{b_{1}} + \frac{{a_{2}}^{2}}{b_{2}} + ... + \frac{{a_{n}}^{2}}{b_{n}} \geq \frac{\left( a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \right)^{2}}{b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}}$ $\frac{{a_{1}}^{2}}{b_{1}} + \frac{{a_{2}}^{2}}{b_{2}} + ... + \frac{{a_{n}}^{2}}{b_{n}} \geq \frac{\left( a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \right)^{2}}{b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = ... = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = ... = \frac{a_{n}}{b_{n}}$.

b. Dạng cụ thể

Dạng 1: Cho $x,y > 0$, ta có: $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y}$ $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y}$. Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$.

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

$\left\lbrack \left( \frac{a}{\sqrt{x}} \right)^{2} + \left( \frac{b}{\sqrt{y}} \right)^{2} \right\rbrack\left\lbrack \left( \sqrt{x} \right)^{2} + \left( \sqrt{y} \right)^{2} \right\rbrack \geq (a + b)^{2} \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y}$ $\left\lbrack \left( \frac{a}{\sqrt{x}} \right)^{2} + \left( \frac{b}{\sqrt{y}} \right)^{2} \right\rbrack\left\lbrack \left( \sqrt{x} \right)^{2} + \left( \sqrt{y} \right)^{2} \right\rbrack \geq (a + b)^{2} \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$

Ta cũng có thể biến đổi tương đương như sau:

Ta có: $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y}$ $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y}$

$\Leftrightarrow \left( a^{2}y + b^{2}x \right)(x + y) \geq (a + b)^{2}xy \Leftrightarrow (ay - bx)^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow \left( a^{2}y + b^{2}x \right)(x + y) \geq (a + b)^{2}xy \Leftrightarrow (ay - bx)^{2} \geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$

Dạng 2: Cho $x,y,z > 0,$ ta có: $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{x + y + z}$ $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{x + y + z}$. Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{x} =\frac{b}{y} =\frac{c}{z}$ $\frac{a}{x} =\frac{b}{y} =\frac{c}{z}$

Chứng minh

Hoàn toàn tương tự ta có:

$\left( {\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y}} \right) + \frac{{{c^2}}}{z} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}} + \frac{{{c^2}}}{z} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}$ $\left( {\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y}} \right) + \frac{{{c^2}}}{z} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}} + \frac{{{c^2}}}{z} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$

Chú ý: Bất đẳng thức Svac-xơ là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và khi áp dụng cần lưu ý các mẫu phải là những số dương.

B. Bài tập minh họa áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ

Bài 1. Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$.

Hướng dẫn giải

Sử dụng bất đẳng thức Svac-xơ, ta có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1^{2}}{a} + \frac{1^{2}}{b} \geq \frac{(1 + 1)^{2}}{a + b} = \frac{4}{a + b}$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1^{2}}{a} + \frac{1^{2}}{b} \geq \frac{(1 + 1)^{2}}{a + b} = \frac{4}{a + b}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow a = b$ $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow a = b$

Bài 2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \geq \frac{36}{a + b + c}$ $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \geq \frac{36}{a + b + c}$.

Hướng dẫn giải

Sử dụng bất đẳng thức Svac-xơ, ta có:

$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = \frac{1^{2}}{a} + \frac{2^{2}}{b} + \frac{3^{2}}{c} \geq \frac{(1 + 2 + 3)^{2}}{a + b + c} = \frac{36}{a + b + c}$ $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = \frac{1^{2}}{a} + \frac{2^{2}}{b} + \frac{3^{2}}{c} \geq \frac{(1 + 2 + 3)^{2}}{a + b + c} = \frac{36}{a + b + c}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}$ $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}$.

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$ $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$.

Bài tập 2. Cho $a,b > 0$ và $\frac{2017}{a} + \frac{2018}{b} = 1.$ $\frac{2017}{a} + \frac{2018}{b} = 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a + b.$

Bài tập 3. Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b - 1} + \frac{b^{2}}{c - 1} + \frac{c^{2}}{a - 1} \geq 12.$ $\frac{a^{2}}{b - 1} + \frac{b^{2}}{c - 1} + \frac{c^{2}}{a - 1} \geq 12.$

Bài tập 4. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tâm giác tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{4a}{b + c - a} + \frac{4b}{c + a - b} + \frac{4c}{a + b - c}$ $P = \frac{4a}{b + c - a} + \frac{4b}{c + a - b} + \frac{4c}{a + b - c}$.

Bài tập 5. Cho $a,b,c > 0$ và $abc = 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{bc}{a^{2}b + a^{2}c} + \frac{ca}{b^{2}c + b^{2}a} + \frac{ab}{c^{2}a + c^{2}b} \geq \frac{3}{2}.$ $\frac{bc}{a^{2}b + a^{2}c} + \frac{ca}{b^{2}c + b^{2}a} + \frac{ab}{c^{2}a + c^{2}b} \geq \frac{3}{2}.$

Bài tập 6. Cho $a$, $b$, $c > 0$ và $2ab + 6bc + 2ca = 7abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \frac{4ab}{a + 2b} + \frac{9ca}{a + 4c} + \frac{4bc}{b + c}.$ $Q = \frac{4ab}{a + 2b} + \frac{9ca}{a + 4c} + \frac{4bc}{b + c}.$

Đáp án bài tập từ rèn luyện

Bài tập 1.

Sử dụng bất đẳng thức Svac-xơ, ta có:

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = \frac{a^{2}}{ab + ac} + \frac{b^{2}}{bc + ba} + \frac{c^{2}}{ca + cb} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{2(ab + bc + ca)} \geq \frac{3}{2}$ $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = \frac{a^{2}}{ab + ac} + \frac{b^{2}}{bc + ba} + \frac{c^{2}}{ca + cb} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{2(ab + bc + ca)} \geq \frac{3}{2}$

Vì $ab + bc + ca \leq \frac{(a + b + c)^{2}}{3} \Rightarrow \frac{1}{2(ab + bc + ca)} \geq \frac{3}{2(a + b + c)^{2}}$ $ab + bc + ca \leq \frac{(a + b + c)^{2}}{3} \Rightarrow \frac{1}{2(ab + bc + ca)} \geq \frac{3}{2(a + b + c)^{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a = b = c$.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-------------------------------------------------------------------------

Mời bạn đọc tham khảo thêm một vài tài liệu đặc sắc của chúng tôi:

Qua bài viết trên, bạn đã hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Svac-xơ (hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu), cách áp dụng trong các bài toán và ý nghĩa thực tiễn của nó trong giải toán. Để học tốt hơn, bạn hãy thường xuyên luyện tập với các dạng bài có liên quan và vận dụng linh hoạt bất đẳng thức này cùng các bất đẳng thức quen thuộc khác như Cauchy, AM-GM hay Jensen. Nếu thấy bài viết hữu ích, đừng quên chia sẻ và theo dõi để cập nhật thêm nhiều kiến thức toán học nâng cao khác nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: