Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc của tam giác vuông
Cách tính cạnh và góc tam giác vuông
Trong chương trình Toán 9, chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông giữ vai trò quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ mối liên hệ giữa cạnh và góc, từ đó vận dụng vào nhiều dạng bài tập. Việc tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, hay tìm cạnh và góc của tam giác vuông, không chỉ củng cố kiến thức lượng giác cơ bản mà còn là kỹ năng cần thiết trong các kỳ kiểm tra và ôn thi vào lớp 10. Bài viết này sẽ cung cấp hệ thống kiến thức, ví dụ minh họa và hướng dẫn giải chi tiết, giúp học sinh học nhanh – hiểu sâu – vận dụng hiệu quả.
A. Công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn
Với 
\(\alpha\) là góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\(\sin\alpha = \frac{canh\ doi}{canh\
huyen}\); \(\cos\alpha = \frac{canh\
ke\ }{canh\ huyen}\);
\(\tan\alpha = \frac{canh\ doi}{canh\
ke}\); \(\cot\alpha = \frac{canh\
ke}{canh\ doi\ }\).
\(\tan\alpha =
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\); \(\cot\alpha =
\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\); \(\tan\alpha.cot\alpha = 1\);
Định lý Pythagore cho tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
B. Bài tập tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc của tam giác
Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB =
5cm,BC = 13cm\).
a) Tính tỉ số lượng giác của góc \(\widehat{ACB}\).
b) Vẽ hai tia phân giác \(BE,CF\) cắt nhau tại \(I\).Tính \(AE,EC,AF, BF\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a. Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có:
\(AC = \sqrt{BC^{2} - BA^{2}} =
\sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12cm\)
Trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có:
\(\sin\widehat{ACB} = \frac{AB}{BC} =
\frac{5}{13}\);\(\cos\widehat{ACB} =
\frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}\)
\(\tan\widehat{ACB} =
\frac{\sin\widehat{ACB}}{\cos\widehat{ACB}} =
\frac{5}{12}\);\(\cot\widehat{ACB} =
\frac{1}{\tan\widehat{ACB}} = \frac{12}{5}\).
b) Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta ABC\) ta có:
\(\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{CE}
\Rightarrow \frac{AE}{5} = \frac{CE}{13} = \frac{AE + CE}{5 + 13} =
\frac{AC}{18} = \frac{2}{3}\)
Vậy\(AE = \frac{10}{3}cm.CE =
\frac{26}{3}cm.\)
\(\frac{AC}{AF} = \frac{CB}{BF}
\Rightarrow \frac{AF}{12} = \frac{BF}{13} = \frac{AF + BF}{12 + 13} =
\frac{AC}{25} = \frac{1}{5}\)
Vậy \(AF = \frac{12}{5}cm;BF =
\frac{13}{5}cm\).
Ví dụ 2: Cho hình vuông \(ABCD\) có \(AD =
\ 12cm\), điểm \(M\) trên \(BC\), điểm \(N\) trên \(AB\)sao cho\(AN =
BM = 5cm\).
a) Tính tỉ số lượng giác của góc \(\widehat{AMB}\)
b) Nối \(DN\) cắt\(AM\) tại\(K\). Chứng minh\(AM = DN\).
c) Chứng minh \(AM\bot DN\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(B\)có: \(AM
= \sqrt{BA^{2} - BM^{2}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13cm\)
Ta có:
\(\sin\widehat{AMB} = \frac{AB}{AM} =
\frac{12}{13}\);\(cos\widehat{AMB} =
\frac{BM}{AM} = \frac{5}{13}\);
\(\tan\widehat{AMB} =\frac{AB}{BM} =\frac{12}{5}\);\(\cot\widehat{AMB} =
\frac{1}{\tan\widehat{AMB}} = \frac{5}{12}\).
b) Xét \(\Delta AMB = \Delta DNA(c.g.c) \Rightarrow AM = DN\).
c) Ta có: \(\tan\widehat{BAM} =
\frac{BM}{AB}\);\(\cot\widehat{AND} =
\frac{AN}{AD}\).
Do \(BM = AN;AB = AD\)
\(\Rightarrow \tan\widehat{BAM} =
\cot\widehat{AND}\) nên trong \(\Delta
AKN\) có: \(\widehat{BAM}\) và \(\widehat{AND}\) phụ nhau.
Suy ra \(\widehat{AKN} =90^0\).
Vậy \(AM\bot DN\).
Ví dụ 3. Cho \(\Delta
ABC\), đường cao \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Biết \(MA = 6cm\),\(AB = 10cm\). Tính tỉ số lượng giác của \(\widehat{A}\).
b) Chứng tỏ rằng \(\widehat{ABM} =
\widehat{ACN}\);\(AH\bot
BC\).
c) Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AH,\ BC\). Chứng tỏ rằng: \(IJ\bot MN\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\sin\widehat{MAB} =
\frac{4}{5}\);\(\cos\widehat{MAB} =
\frac{3}{5}\);\(\tan\widehat{MAB} =
\frac{4}{3}\);\(\cot\widehat{MAB} =
\frac{3}{4}\)
b) Ta có : \(\widehat{ABM} =
\widehat{ACN}\)( cùng phụ với\(\widehat{BAC}\))
Chứng tỏ \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\). Nên \(AH\bot BC\).
c) Ta chứng minh : \(MI = NI =
\frac{AH}{2}\) và \(MJ = NJ =
\frac{BC}{2}\) nên \(I,J\) thuộc trung trực của \(MN\). Vậy \(IJ\bot MN\).
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án
Bài tập 1: Cho \(\alpha\) là một góc nhọn. Hãy giải thích:
a) \(sin\ \alpha < \ tan\ \
\alpha;\) b) \(cos\ \ \alpha < \
\cot\ \alpha\) .
Bài tập 2: Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C.
Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính \(\sin B,\ \ \sin C\) biết rằng:
a) AB = 13 và BH = 5; b) BH = 3 và CH = 4.
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
----------------------------------------------------------------------
Như vậy, việc nắm vững cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, cùng phương pháp tính cạnh và tính góc của tam giác vuông, sẽ giúp học sinh chủ động hơn khi giải toán hình học. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các dạng toán nâng cao hơn trong chương trình THCS cũng như trong đề thi vào lớp 10.
Để học tốt phần này, học sinh nên luyện tập nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, kết hợp ghi nhớ công thức lượng giác và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Chỉ cần kiên trì luyện tập, các em sẽ dễ dàng chinh phục chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông, đạt điểm cao trong học tập và kỳ thi.
