Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Tiếp tuyến của đường tròn Toán 9
Trong chương trình Hình học 9, chuyên đề chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn là một nội dung quan trọng, giúp học sinh nắm vững mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng. Bài viết này hướng dẫn chi tiết các cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, cung cấp lý thuyết trọng tâm, dấu hiệu nhận biết, phương pháp giải nhanh và bài tập có đáp án chi tiết, giúp học sinh rèn kỹ năng lập luận hình học và chuẩn bị hiệu quả cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán.
A. Cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn 
\((O)\) cắt nhau tại điểm \(P\) thì:
- Điểm \(P\) cách đểu hai tiếp điểm.
- \(PO\) là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- \(OP\) là tia phân giác của góc tạo bời hai bán kính qua hai tiếp điểm.
B. Ví dụ minh họa chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Ví dụ 1. Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \((O;R)\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) ( \(B\) là tiếp điểm). Lấy một điểm \(C\) trên đường tròn sao cho \(AC = AB\). Chứng minh rằng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Nối \(A\) với \((O)\).
Xét \(\Delta ACO\) và \(\Delta ABO\) có:
\(OA\) cạnh chung, \(AC = AB\) (gt), \(OC = OB\ \ ( = R)\)
Do đó \(\Delta ACO = \Delta ABO\) (c.c.c) \(\Rightarrow \widehat{ACO} =
\widehat{ABO} = 90^{0}\)
Chứng tỏ \(AC\bot OC\) hay \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).
Ví dụ 2. Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3;AC = 4\) và \(BC = 5\). Chứng minh rằng đường thẳng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((B;3)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác \(ABC\), ta có:
\(BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}\) (\(5^{2} = 3^{2} + 4^{2}\))
Theo định lí Pythagore đảo, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) hay \(AB\bot
AC\) \((1)\)
Lại có \(AB = 3\) nên điểm \(A\) thuộc đường tròn \((B;\ \ 3)\) \((2)\)
Từ \((1);(2)\) \(\Rightarrow AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((B;\ \ 3)\).
Ví dụ 3. Cho đường tròn \((O)\) và điểm \(I\) ở ngoài đường tròn. Gọi \(M\) là giao điểm của đường tròn tâm \(K\) đường kính \(IO\) và đường tròn \((O)\). Chứng minh đường thả̉ng \(IM\) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(M\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
\(M\) là giao điểm của đường tròn tâm \(K\) đường kính \(IO\) và đường tròn \((O)\) nên \(M\) thuộc \(\left( K;\frac{IO}{2} \right)\), ta có: \(KM = KI = KO\) hay \(KM = \frac{IO}{2}\) (*).
Xét tam giác \(IMO\) có \(K\) là trung điểm của \(IO\) nên \(KM\) là đường trung tuyến và (*) nên tam giác \(IMO\) vuông tại \(M\) hay \(IM\bot
OM\) \((1)\)
Mặt khác \(M \in (O)\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(IM\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(M\).
C. Bài tập vận dụng chứng minh tiếp tuyến đường tròn có đáp án
Bài tập 1. Cho \(A\) là một điểm thuộc đường tròn \((O)\), \(M\) là một điểm thuộc tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A\) (\(M\) khác \(A\)). Đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MA\) cắt \((O)\) tại \(B\) (\(B\) khác \(A\)). Chứng minh rằng \(MB\) là một tiếp tuyến của \((O)\).
Bài tập 2. Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A Chứng minh rằng AC la tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài tập 3. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến tại B với đường tròn (O), trên tiếp tuyến lấy P. Qua A kẻ đường thẳng song song với OP cắt (O) tại Q. Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài tập 4. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ
----------------------------------------------------------
Qua chuyên đề chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, học sinh đã được củng cố kiến thức cơ bản, công thức và phương pháp chứng minh hiệu quả. Hãy luyện tập thêm các dạng bài liên quan như tính độ dài tiếp tuyến, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, và hai tiếp tuyến cắt nhau để nắm chắc toàn bộ chuyên đề đường tròn Toán 9.
