Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn là một nội dung quan trọng, giúp học sinh nắm vững mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng. Bài viết này hướng dẫn chi tiết các cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, cung cấp lý thuyết trọng tâm, dấu hiệu nhận biết, phương pháp giải nhanh và bài tập có đáp án chi tiết, giúp học sinh rèn kỹ năng lập luận hình học và chuẩn bị hiệu quả cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán.

A. Cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn

B. Ví dụ minh họa chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Nối A với (O).

Xét và có:

OA cạnh chung, AC = AB (gt), OC = OB (= R)

Do đó (c.c.c)

Chứng tỏ hay AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC2 (5² = 3² + 4²)

Theo định lí Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A hay (1)

Lại có AB = 3 nên điểm A thuộc đường tròn (B; 3) (2)

Từ (1); (2) => AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; 3).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn (O) nên M thuộc , ta có: KM = KI = KO hay (*).

Xét tam giác IMO có K là trung điểm của IO nên KM là đường trung tuyến và (*) nên tam giác IMO vuông tại M hay

Mặt khác

Từ (1) và (2) Đường thẳng IM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.

C. Bài tập vận dụng chứng minh tiếp tuyến đường tròn có đáp án

Bài tập 1. Cho là một điểm thuộc đường tròn , là một điểm thuộc tiếp tuyến của tại ( khác ). Đường tròn tâm bán kính cắt tại ( khác ). Chứng minh rằng là một tiếp tuyến của .

Bài tập 2. Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A Chứng minh rằng AC la tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài tập 3. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến tại B với đường tròn (O), trên tiếp tuyến lấy P. Qua A kẻ đường thẳng song song với OP cắt (O) tại Q. Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài tập 4. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Bài tập 5. Cho đường tròn (O) đi qua ba điểm A,B và C của một tam giác cân tại A. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (O).

Bài tập 6. Trong hình vẽ AB = 9, BC = 12,AC = 15 và BC là đường kính của đuờng tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn(O).

Bài tập 7. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của ;

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Bài tập 8. Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (P; PA).

Đáp án bài tập vận dụng

Bài tập 1.

Hình vẽ minh họa:

Ta có là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm nên hay .

Đường tròn tâm bán kính cắt tại nên và .

Xét và có:

chung,

( là bán kính đường tròn )

MA = MB =R ( R là bán kính đường tròn (M))

Do đó hay

Mà là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ

----------------------------------------------------------

Qua chuyên đề chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, học sinh đã được củng cố kiến thức cơ bản, công thức và phương pháp chứng minh hiệu quả. Hãy luyện tập thêm các dạng bài liên quan như tính độ dài tiếp tuyến, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, và hai tiếp tuyến cắt nhau để nắm chắc toàn bộ chuyên đề đường tròn Toán 9.