Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng cách biến đổi đồng nhất

Ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp biến đổi đồng nhất để tìm GTNN lớp 9

Không giống các phương pháp sử dụng bất đẳng thức nâng cao, cách biến đổi đồng nhất tập trung vào việc đưa biểu thức về dạng quen thuộc như bình phương hoàn chỉnh hoặc tổng các số không âm. Nếu nắm vững kỹ thuật này, bạn có thể xử lý nhanh và chính xác nhiều dạng bài tập toán 9 liên quan đến GTLN – GTNN.

Bài viết dưới đây sẽ hệ thống phương pháp, phân tích dạng toán thường gặp và cung cấp hướng tiếp cận tối ưu cho học sinh lớp 9 đang chuẩn bị cho kỳ thi vào 10.

A. Cách biến đổi đồng nhất

Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số. Từ đó:

1. Để tìm Max f(x, y,...) trên miền |D ta chỉ ra:

$\left\{ \begin{matrix} f(x,y...) \leq M \\ \exists\ (x_{0},y_{0}....) \in \ |R \end{matrix} \right.$ sao cho f(x₀, y₀,...) = M

2. Để tìm Min f(x, y,...) trên miền |D ta chỉ ra :

$\left\{ \begin{matrix} f(x,y...) \geq m \\ \exists\ (x_{0},y_{0}....) \in \ |R \end{matrix} \right.$ sao cho f(x₀, y₀,...) = m

B. Ví dụ minh họa tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A₄ = $\frac{2x^{2} - 10x - 1}{x^{2} - 2x + 1}\ \ \ (x \neq 1)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

A₄ = $\frac{2x^{2} - 10x - 1}{x^{2} - 2x + 1}\ \ = \frac{2(x^{2} - 2x + 1) - 6(x - 1) - 9}{(x - 1)^{2}}\ \ = \ \ 2 - \frac{6}{x - 1} - \frac{9}{(x - 1)^{2}}$

= - $\left( \frac{3}{x - 1} + 1 \right)^{2} + 3 \leq 3\$ vì - $\left( \frac{3}{x - 1} + 1 \right)^{2} \leq \ 0\ \ \forall x$

⇒ A₄ Max = 3 ⇔ $\frac{3}{x - 1} + 1 = 0$ ⇔ x = -2

Vậy A₄ Max = 3 ⇔ x = -2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A₅ = $\frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} - \sqrt{y}$ với x, y > 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

A₅= $\frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} - \sqrt{y}$ = $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y} - x\sqrt{y} - y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}} =$ $\frac{x(\sqrt{x} - \sqrt{y}) - y(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{xy}}$

A₅ = $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}).(x - y)}{\sqrt{xy}}$ = $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}.(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{xy}}$ ≥0, ∀x, y > 0

⇒ A₅ min = 0 ⇔ $\sqrt{x} - \sqrt{y}\ \ = \ \ 0$ ⇔ x = y

Vậy A₅ min = 0 ⇔ x = y > 0

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của A₇ = xy + yz + zx - x ² - y² - z²

Hướng dẫn giải

Ta có:

A₇ = xy + yz + zx - x² - y² - z² = - $\frac{1}{2}$ (2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2xz)

A₇ = - $\frac{1}{2}$ {(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²} ≤ 0, ∀x,y,z

⇒ A₇ Max = 0 ⇔ x=y = z

Vậy : A₇ Max = 0 ⇔ x = y = z

Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức: $y = \frac{1}{x^{2} + x + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có thể viết: $y = \frac{1}{x^{2} + x + 1} = \frac{1}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}}$

Vì $\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ . Do đó ta có: $y \leq \frac{4}{3}$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ .

Vậy GTLN của $y = \frac{4}{3}$ tại $x = - \frac{1}{2}$

Nhận xét: Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất được áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thường gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt được mục đích.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

--------------------------------------------

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng cách biến đổi đồng nhất không chỉ giúp học sinh lớp 9 củng cố kiến thức đại số mà còn là công cụ quan trọng trong quá trình ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án. Khi thành thạo kỹ thuật đưa biểu thức về dạng bình phương hoặc tổng các số không âm, bạn sẽ chủ động giải quyết nhanh nhiều bài toán vận dụng và nâng cao.

Tải về

Chọn file muốn tải về: