Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc
CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN LỚP 9
A. BẤT ĐẲNG THỨC
I. Tóm tắc thuyết bản
1. Chuyển vế thì đổi dấu.
2. Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số dương được BĐT cùng chiều.
3. Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số âm được BĐT ngược chiều.
4. Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức mà hai vế cùng dấu được BĐT
ngược chiều.
5. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều. (Chú ý không có phép biến đổi
trừ từng vế)
6. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
II. Các phương pháp chứng minh BĐT bản.
1. Phương pháp biến đổi tương đương
Từ BĐT đề yêu cầu chứng minh, ta biến đổi đến bất đẳng thức đúng, như vậy
BĐT đã được chứng minh.
Bài 1: Chứng minh
 
2 2
2 2 2 2
1a b c d a c b d
Giải
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2
(2)
a b c d a b c d a c b d
a b c d ac bd
Vậy để chứng minh BĐT(1) ta phải chứng minh BĐT (2)
Nếu VP= ac + bd < 0 thì (2) đúng
Nếu
0ac bd
thì
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 0
a b c d ac bd
a c a d b c b d a c abcd b d ad bc
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc
BĐT cuối luôn đúng vậy ta
 
2 2
2 2 2 2
1a b c d a c b d
2. Phương pháp Sử dụng các bất đẳng thức đã biết
2.1. Sử dụng BĐT suy ra từ BĐT (a-b)
2
0
Đây là một trong các PP thường ra thi tuyển 10
Ví dụ :
a. Từ
2
2 2
1 1 1
0 0 (1)
2 4 4
a a a a a
.
b. Với x > 1 ta có
2
1 1
2
1 1 0 1 2 1 1 0 2 1 0 2 1
2
1
x
x
x x x x x x x
x
x
......(Người ra đề cứ lấy một BĐT bất kỳ , từ đó khai triển , kết hợp vài BĐT
như vậy sẻ có bài toán của đề thi. Vì vậy người học khó chờ cơ hội trúng đề
chỉ cần nắm chắc PP giải, biết lựa chọn BĐT xuất phát đúng ắt sẽ giải được bài).
Ví dụ ta có các bài toán sau.
Bài 2: Cho 3 số a;b;c thỏa mãn a+b+c =
3
2
. Chứng minh a
2
+ b
2
+c
2
3
4
Giải:
2
2 2
1 1 1
0 0 (1)
2 4 4
a a a a a
.
Tương tự ta có:
Lấy (1) +(2)+(3) được:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3 3
4 4 4 4 2 4
a b c a b c a b c a b c
Dấu = khi a=b=c=
1
2
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc
Bài 3: Cho x
1; y
4 . Chứng minh rằng
1 4
3
4
y x x y
xy
Giải:
Ta có :
1 4
3
4
y x x y
xy
4 4
1 3 1 3
(*)
4 4
x y y
y x x
xy xy x y
Ta có :
2
1 1
1 1 0 1 2 1 1 0 2 1 0 2 1
2
x
x x x x x x x
x
(1)
2
4
1
4 2 0 4 2 4.2 4 0 4. 4 0 4 4
4
y
y y y y y y y
y
(2)
Cộng BĐT (1) với BĐT (2) theo vế được
4
1 3
(*)
4
y
x
x y
Vậy
1 4
3
4
y x x y
xy
Dấu “=” khi
2
1 1 0 2x x
2
4 2 0 8y y
2.2 Dùng T CÔ-Si cho hai số không âm
Với x; y không âm ta : x +y
2 xy
.Dấu “=” khi x = y
2.2.1. Kỹ thuật 1 : Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số
với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này nghịch đảo của 1 hạng tử
khác trong biểu thức đã cho.
Chú ý: *
( ) 2. ( ). 2.
( ) ( )
k k
f x f x k
f x f x
*
. ( ) . ( ) . ( ) . ( )
2. . 2.
. ( ) . ( ) . ( ) . ( )
k f x q g x k f x q g x kq
n g x m f x n g x m f x nm
Bài 4: Cho 0 < x < 2. Chứng minh
9 2
7
2
x
B
x x

Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN được VnDoc sưu tầm để giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh chuẩn bị một cách hiệu quả nhất cho Kì thi vào 10 sắp tới. Mời các bạn tham khảo.

Ngoài ra bạn đọc có thể tham khảo thêm các chuyên đề khác trong chương trình ôn thi vào lớp 10 được VnDoc sưu tầm và chọn lọc, bao gồm:

Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh kiểm tra kiến thức cũng như củng cố lại các kiến thức đã được học ở chương trình Toán học lớp 9. Đồng thời đây cũng là tài liệu để các bạn học sinh có thể tham khảo và ôn luyện chuẩn bị cho kì thi vào 10 sắp tới.

Ngoài Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi vào 10 các môn Toán, Văn, Anh,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10 và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Xem thêm đề thi vào lớp 10 các môn Toán, Văn, Tiếng Anh:

Môn Toán Môn Văn Môn Tiếng Anh
Tải đề thi vào lớp 10 môn Toán Tải đề thi vào lớp 10 môn Văn Tải đề thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Đánh giá bài viết
1 2.752
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm