VnDoc.com

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN được VnDoc sưu tầm để giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh chuẩn bị một cách hiệu quả nhất cho Kì thi vào 10 sắp tới. Mời các bạn tham khảo.

Ngoài ra bạn đọc có thể tham khảo thêm các chuyên đề khác trong chương trình ôn thi vào lớp 10 được VnDoc sưu tầm và chọn lọc, bao gồm:

Hàm số đồ thị - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
Rút gọn biểu thức - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức và bài toán
Hệ phương trình - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hình học - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học
Giải bài toán bằng các lập hệ phương trình - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 4: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh kiểm tra kiến thức cũng như củng cố lại các kiến thức đã được học ở chương trình Toán học lớp 9. Đồng thời đây cũng là tài liệu để các bạn học sinh có thể tham khảo và ôn luyện chuẩn bị cho kì thi vào 10 sắp tới.

I. Tóm tắc lý thuyết cơ bản

1. Chuyển vế thì đổi dấu.

2. Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số dương được BĐT cùng chiều.

3. Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số âm được BĐT ngược chiều.

4. Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức mà hai vế cùng dấu được BĐT ngược chiều.

5. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều. (Chú ý không có phép biến đổi trừ từng vế)

6. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

II. Các phương pháp chứng minh BĐT cơ bản.

1. Phương pháp biến đổi tương đương

Từ BĐT đề yêu cầu chứng minh, ta biến đổi đến bất đẳng thức đúng, như vậy BĐT đã được chứng minh.

Bài 1: Chứng minh $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}\ \ \ \ (1)$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}\ \ \ \ (1)$

Giải

$(1) \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + 2\sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq (a + c)^{2} + (b + d)^{2}$ $(1) \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + 2\sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq (a + c)^{2} + (b + d)^{2}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq ac + bd\ \ \ \ (2)$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq ac + bd\ \ \ \ (2)$

Vậy để chứng minh BĐT(1) ta phải chứng minh BĐT (2)

Nếu VP= ac + bd < 0 thì (2) đúng

Nếu $ac + bd \geq 0$ $ac + bd \geq 0$ thì

$(2) \Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right) \geq (ac + bd)^{2}$ $(2) \Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right) \geq (ac + bd)^{2}$

$\ \ \ \ \ \Leftrightarrow a^{2}c^{2} + a^{2}d^{2} + b^{2}c^{2} + b^{2}d^{2} \geq a^{2}c^{2} - 2abcd + b^{2}d^{2}$ $\ \ \ \ \ \Leftrightarrow a^{2}c^{2} + a^{2}d^{2} + b^{2}c^{2} + b^{2}d^{2} \geq a^{2}c^{2} - 2abcd + b^{2}d^{2}$ $\Leftrightarrow (ad - bc)^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow (ad - bc)^{2} \geq 0$

BĐT cuối luôn đúng vậy ta có $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}\ \ \ \ (1)$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}\ \ \ \ (1)$

2. Phương pháp Sử dụng các bất đẳng thức đã biết

2.1. Sử dụng BĐT suy ra từ BĐT (a-b)² $\geq$ $\geq$ 0

Đây là một trong các PP thường ra thi tuyển 10

Ví dụ :

a. Từ $\left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} - a + \frac{1}{4} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + \frac{1}{4} \geq a\ \ \ \ \ \ (1)$ $\left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} - a + \frac{1}{4} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + \frac{1}{4} \geq a\ \ \ \ \ \ (1)$.

b. Với x > 1 ta có $\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1 \geq 0$ $\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1 \geq 0$ $\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x - 1} \geq 0$ $\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x - 1} \geq 0$

$\Leftrightarrow x \geq 2\sqrt{x - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x - 1}}{x} \leq \frac{1}{2} \\ \frac{x}{\sqrt{x - 1}} \geq 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x \geq 2\sqrt{x - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x - 1}}{x} \leq \frac{1}{2} \\ \frac{x}{\sqrt{x - 1}} \geq 2 \\ \end{matrix} \right.$

......(Người ra đề cứ lấy một BĐT bất kỳ , từ đó khai triển , kết hợp vài BĐT như vậy sẻ có bài toán của đề thi. Vì vậy người học khó chờ cơ hội trúng đề mà chỉ cần nắm chắc PP giải, biết lựa chọn BĐT xuất phát đúng ắt sẽ giải được bài). Ví dụ ta có các bài toán sau.

Bài 2: Cho 3 số a; b; c thỏa mãn a+b+c = $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$. Chứng minh a² + b² +c² $\geq$ $\geq$ $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$

Giải:

$\left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} - a + \frac{1}{4} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + \frac{1}{4} \geq a\ \ \ \ \ \ (1)$ $\left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} - a + \frac{1}{4} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + \frac{1}{4} \geq a\ \ \ \ \ \ (1)$.

Tương tự ta có: $b^{2} + \frac{1}{4} \geq b\ \ \ \ \ \ (2);\ \ \ \ \ \ \ \ \ c^{2} + \frac{1}{4} \geq c\ \ \ \ \ \ (3)$ $b^{2} + \frac{1}{4} \geq b\ \ \ \ \ \ (2);\ \ \ \ \ \ \ \ \ c^{2} + \frac{1}{4} \geq c\ \ \ \ \ \ (3)$

Lấy (1) +(2)+(3) được:

$\left( a^{2} + \frac{1}{4} \right) + \left( b^{2} + \frac{1}{4} \right) + \left( c^{2} + \frac{1}{4} \right) \geq a + b + c$ $\left( a^{2} + \frac{1}{4} \right) + \left( b^{2} + \frac{1}{4} \right) + \left( c^{2} + \frac{1}{4} \right) \geq a + b + c$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{3}{4}$

Dấu = khi a=b=c= $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$

Bài 3: Cho x $\geq$ $\geq$ 1; y $\geq$ $\geq$ 4 . Chứng minh rằng $\frac{y\sqrt{x - 1} + x\sqrt{y - 4}}{xy} \leq \frac{3}{4}$ $\frac{y\sqrt{x - 1} + x\sqrt{y - 4}}{xy} \leq \frac{3}{4}$

Giải:

Ta có :

$\frac{y\sqrt{x - 1} + x\sqrt{y - 4}}{xy} \leq \frac{3}{4}$ $\frac{y\sqrt{x - 1} + x\sqrt{y - 4}}{xy} \leq \frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\frac{y\sqrt{x - 1}}{xy} + \frac{x\sqrt{y - 4}}{xy} \leq \frac{3}{4}$ $\frac{y\sqrt{x - 1}}{xy} + \frac{x\sqrt{y - 4}}{xy} \leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x - 1}}{x} + \frac{\sqrt{y - 4}}{y} \leq \frac{3}{4}\ \ \ (*)$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x - 1}}{x} + \frac{\sqrt{y - 4}}{y} \leq \frac{3}{4}\ \ \ (*)$

Ta có :

$\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x - 2\sqrt{x - 1} \geq 0$ $\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x - 2\sqrt{x - 1} \geq 0$

$\Leftrightarrow x \geq 2\sqrt{x - 1} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x - 1}}{x} \leq \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x \geq 2\sqrt{x - 1} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x - 1}}{x} \leq \frac{1}{2}$ (1)

$\left( \sqrt{y - 4} - 2 \right)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow y - 4 - 2\sqrt{y - 4}.2 + 4 \geq 0 \Leftrightarrow y - 4.\sqrt{y - 4} \geq 0$ $\left( \sqrt{y - 4} - 2 \right)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow y - 4 - 2\sqrt{y - 4}.2 + 4 \geq 0 \Leftrightarrow y - 4.\sqrt{y - 4} \geq 0$

$\Leftrightarrow y \geq 4\sqrt{y - 4} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{y - 4}}{y} \leq \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow y \geq 4\sqrt{y - 4} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{y - 4}}{y} \leq \frac{1}{4}$ (2)

Cộng BĐT (1) với BĐT (2) theo vế được $\frac{\sqrt{x - 1}}{x} + \frac{\sqrt{y - 4}}{y} \leq \frac{3}{4}\ \ \ (*)$ $\frac{\sqrt{x - 1}}{x} + \frac{\sqrt{y - 4}}{y} \leq \frac{3}{4}\ \ \ (*)$

Vậy $\frac{y\sqrt{x - 1} + x\sqrt{y - 4}}{xy} \leq \frac{3}{4}$ $\frac{y\sqrt{x - 1} + x\sqrt{y - 4}}{xy} \leq \frac{3}{4}$

Dấu “=” khi $\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2$ $\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2$ và $\left( \sqrt{y - 4} - 2 \right)^{2} = 0 \Leftrightarrow y = 8$ $\left( \sqrt{y - 4} - 2 \right)^{2} = 0 \Leftrightarrow y = 8$

2.2 Dùng BĐT CÔ-Si cho hai số không âm

Với x; y không âm ta có: x +y $\geq$ $\geq$ $2\sqrt{xy}$ $2\sqrt{xy}$.Dấu “=” khi x = y

2.2.1. Kỹ thuật 1 : Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.

* $f(x) + \frac{k}{f(x)} \geq 2\sqrt{f(x).\frac{k}{f(x)}} = 2\sqrt{k}$ $f(x) + \frac{k}{f(x)} \geq 2\sqrt{f(x).\frac{k}{f(x)}} = 2\sqrt{k}$

* $\frac{k.f(x)}{n.g(x)} + \frac{q.(x)}{m.f(x)} \geq 2\sqrt{\frac{k.f(x)}{n.g(x)}.\frac{q.(x)}{m.f(x)}} = 2\sqrt{\frac{kq}{mn}}$ $\frac{k.f(x)}{n.g(x)} + \frac{q.(x)}{m.f(x)} \geq 2\sqrt{\frac{k.f(x)}{n.g(x)}.\frac{q.(x)}{m.f(x)}} = 2\sqrt{\frac{kq}{mn}}$

Bài 4: Cho 0 < x < 1. Chứng minh : $\frac{3}{1 - x} + \frac{4}{x} \geq 4\sqrt{3} + 5$ $\frac{3}{1 - x} + \frac{4}{x} \geq 4\sqrt{3} + 5$

Giải:

$B = \frac{3}{{1 - x}} + \frac{4}{x}$ $B = \frac{3}{{1 - x}} + \frac{4}{x}$

Xét $B' = \frac{3x}{1 - x} + \frac{4(1 - x)}{x}$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ B – B’ = 5

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ B=B’+5= $= \frac{3x}{1 - x} + \frac{4(1 - x)}{x} + 5 \geq 2\sqrt{\frac{3x}{1 - x}\frac{4(1 - x)}{x}} + 5 = 4\sqrt{3} + 5$ $= \frac{3x}{1 - x} + \frac{4(1 - x)}{x} + 5 \geq 2\sqrt{\frac{3x}{1 - x}\frac{4(1 - x)}{x}} + 5 = 4\sqrt{3} + 5$

Dấu bằng $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\frac{3x}{1 - x} = \frac{4(1 - x)}{x}$ $\frac{3x}{1 - x} = \frac{4(1 - x)}{x}$ Giải được $x_{1}^{} = 4 - 2\sqrt{3}\ \ \ \$ $x_{1}^{} = 4 - 2\sqrt{3}\ \ \ \$; $x_{2}^{} = 4 + 2\sqrt{3}$ $x_{2}^{} = 4 + 2\sqrt{3}$

Tài liệu còn dài, mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!

-----------------------------------------

Ngoài Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi vào 10 các môn Toán, Văn, Anh,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10 và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Xem thêm đề thi vào lớp 10 các môn Toán, Văn, Tiếng Anh:

Môn Toán	Môn Văn	Môn Tiếng Anh
Tải đề thi vào lớp 10 môn Toán	Tải đề thi vào lớp 10 môn Văn	Tải đề thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Chia sẻ, đánh giá bài viết

3

8.966

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Đinh Thị Nhàn

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

366,2 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
859,2 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!