Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn được VnDoc biên soạn. Nhằm giúp các em nắm được cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chia căn. Ngoài ra việc thường xuyên rèn luyện kỹ năng giải bài sẽ giúp các em chuẩn bị tốt cho kì thi quan trọng sắp tới và đặc biệt là chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Dưới đây là nội dung chi tiết, các em tham khảo nhé

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: a + b \ge 2\sqrt {ab}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

  • |a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
  • |a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  A = \frac{1}{{x - \sqrt x  + 1}}

Lời giải:

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì x - \sqrt x  + 1 đạt giá trị nhỏ nhất

x - \sqrt x  + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x  + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}

Lại có {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Minx - \sqrt x  + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Vậy MaxA = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Bài 2: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9\sqrt x

Lời giải:

a, A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}} với x > 0, x ≠ 1

= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}

= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}

b,P = A - 9\sqrt x  = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x  = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: \frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 6

\Rightarrow  - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le  - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 =  - 5 \Leftrightarrow P \le  - 5

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(thỏa mãn)

Vậy maxP =  - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}

Bài 3: Cho biểu thức A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

a, A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}với x ≥ 0, x ≠ 4

= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{2\sqrt x  + x + 2\sqrt x  - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{4\sqrt x  - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x  - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{3.\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}

b, Có x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy minA=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a,  A = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}b, B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}c, C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}
d, D = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}e, E = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}

Bài 2: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  - 2}}

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 3: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 4: Cho biểu thức M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 2}} với x ≥ 0b, B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}với x ≥ 0
c, C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}với x > 0d, D = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}với x > 0
Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của VnDoc
Hỏi - ĐápTruy cập ngay: Hỏi - Đáp học tập

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Bài tập GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn được VnDoc biên soạn với hướng dẫn cụ thể chi tiết các dạng toán tìm min, max của biểu thức chứa dấu căn giúp các em dễ dàng so sánh đánh giá kết quả mình làm, việc ôn tập và rèn luyện bài tập sẽ giúp cho các em chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 hiệu quả hơn. Chúc các em học tốt

--------------------

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn được VnDoc chia sẻ trên đây. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các em có thêm tài liệu tham khảo, rèn luyện kỹ năng giải bài tập từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em học tập tốt, dưới đây là một số dạng Toán ôn thi vào lớp 10 các em tham khảo nhé

hay tham khảo thêm các Bộ đề thi thử vào lớp 10 qua các năm được VnDoc tổng hợp, như:

.......................................................................

Ngoài Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Đánh giá bài viết
26 165.517
Sắp xếp theo
    Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm