Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Thi vào lớp 10 năm 2024 Đề thi vào 10 môn Toán Lớp 9

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là chuyên đề ôn thi vào lớp 10 hay, hướng dẫn các em học sinh cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn, kèm bài tập vận dụng cho các em tham khảo và luyện tập.

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: a + b \ge 2\sqrt {ab}\(a + b \ge 2\sqrt {ab}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

  • |a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
  • |a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\(A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\)

Lời giải:

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì x - \sqrt x + 1\(x - \sqrt x + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất

Có x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\(x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Lại có {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0\({\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0\)

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Minx - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(x - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Vậy MaxA = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Bài 2: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\)

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9\sqrt x\(P = A - 9\sqrt x\)

Lời giải:

a, A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) với x > 0, x ≠ 1

= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\)

= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\(= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)

b,P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\(P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\) với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: \frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6\)

\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P \le - 5\(\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P \le - 5\)

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\(\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)(thỏa mãn)

Vậy maxP = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\(P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Bài 3: Cho biểu thức A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\(A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\)với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

a, A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\(A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\)với x ≥ 0, x ≠ 4

= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}\(= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}\)

b, Có x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy minA=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0\(A=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0\)

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}\(A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}\)

b. B = 6\sqrt x - x - 1\(B = 6\sqrt x - x - 1\)

c. C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}\(C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}\)

Bài 2: Cho biểu thức:

A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)\(A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)\)

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 3: Cho biểu thức: A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\(A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\). Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a,  A = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\(A = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)b, B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}\(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}\)c, C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}\(C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}\)
d, D = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}\(D = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}\)e, E = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\(E = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\)

Bài 5: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}\)

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 7: Cho biểu thức M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\(M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\)

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}\(A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}\) với x ≥ 0b, B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với x ≥ 0
c, C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}\(C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}\)với x > 0d, D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\(D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)với x > 0

Bài 9. Cho x,y khác 0 thỏa mãn 2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\(2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\). Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 10. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn 2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\(2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\) . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\(A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\)

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}\(A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}\) với x ≥ 0b, B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) với x ≥ 0
c, C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}\(C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}\) với x > 0d, D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\(D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với x > 0

Tham khảo thêm

Chia sẻ, đánh giá bài viết
88
385.197 Bài viết đã được lưu
Tìm thêm: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức tìm gtln và gtnn của biểu thức chứa dấu căn đề thi tuyển sinh lớp 10
1 Bình luận
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
  • quang phạm văn
    quang phạm văn

    cho mình hỏi phần c bài 5 phần III làm thế nào v ạ

    Thích Phản hồi 20/04/22
    • Nguyễn Thắng
      Nguyễn Thắng

      Bằng √x+4/√x nha bạn

      Thích Phản hồi 30/09/22
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Lý thuyết Toán 9

Xem thêm