Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là chuyên đề ôn thi vào lớp 10 hay, hướng dẫn các em học sinh cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn, kèm bài tập vận dụng cho các em tham khảo và luyện tập.

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

• |a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
• |a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0

+ Cách 4: Phương pháp dùng điều kiện xác định

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  $A=\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì $x-\sqrt{x}+1$ đạt giá trị nhỏ nhất

Có $x-\sqrt{x}+1=x-2.\frac{1}{2}.\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$

Lại có ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0\mathrm{\forall }x\ge 0\Rightarrow {\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\mathrm{\forall }x\ge 0$

Dấu “=” xảy ra $\iff \sqrt{x}=\frac{1}{2}\iff x=\frac{1}{4}$

Min$x-\sqrt{x}+1=\frac{3}{4}\iff x=\frac{1}{4}$

Vậy Max$A=\frac{4}{3}\iff x=\frac{1}{4}$

Bài 2: Cho biểu thức $A=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}$

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=A-9\sqrt{x}$

Hướng dẫn giải

a, $A=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}$ với x > 0, x ≠ 1

$=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}$

$=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}+1}=\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

b,$P=A-9\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}-9\sqrt{x}=1-\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\right)$ với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\ge 2.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}.9\sqrt{x}}=6$

$\Rightarrow -\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\right)\le -6\Rightarrow 1-\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\right)\le 1-6=-5\iff P\le -5$

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{1}{\sqrt{x}}=9\sqrt{x}\iff x=\frac{1}{9}$(thỏa mãn)

Vậy max$P=-5\iff x=\frac{1}{9}$

Bài 3: Cho biểu thức $A=\left(\frac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\right)-\frac{6+\sqrt{x}}{4-x}$với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Hướng dẫn giải

a, $A=\left(\frac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\right)-\frac{6+\sqrt{x}}{4-x}$với x ≥ 0, x ≠ 4

$=\frac{\sqrt{x}\left(2+\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}-\frac{6+\sqrt{x}}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}$

$=\frac{2\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}-x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}-\frac{6+\sqrt{x}}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}$

$=\frac{4\sqrt{x}-6-\sqrt{x}}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}=\frac{3\sqrt{x}-6}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}$

$=\frac{3.\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}=\frac{-3}{2+\sqrt{x}}$

b, Có _{$x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 2\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\le \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{x}+2}\ge \frac{-3}{2}$}

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min$A=\frac{-3}{2}\iff x=0$

Bài 4: Cho hai biểu thức: $M=\frac{a+7}{\sqrt{a}}$ và $N=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}+\frac{2\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-3}-\frac{2a-\sqrt{a}-3}{a-9}$ với $a>0,a\ne 9$.

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H=M+\frac{1}{N}$.

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$N=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}+\frac{2\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-3}-\frac{2a-\sqrt{a}-3}{a-9}$

$N=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}+\frac{2\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-3}-\frac{(2\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3)}$

$N=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)+(2\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+3)-(2\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3)}$

$N=\frac{a+3\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3)}=\sqrt{a}$

b) Với $a>0,a\ne 9$ thì

$H=M+\frac{1}{N}=\frac{a+7}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2\sqrt{a}+\frac{7}{\sqrt{a}}$

$\ge 2\sqrt{2\sqrt{a}.\frac{7}{\sqrt{a}}}=2\sqrt{14}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là $2\sqrt{14}$ khi $a=\frac{7}{2}$.

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=A.B$. Biết $A=\frac{\sqrt{x}+2}{1+\sqrt{x}}$và $B=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$ với $x\in \mathbb{Z},x>0$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$P=A.B=\frac{\sqrt{x}+2}{1+\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+4}{1+\sqrt{x}}=1+\frac{3}{1+\sqrt{x}}$

Vì $x>0;x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\ge 1\Rightarrow \sqrt{x}+1\ge 2$

$\Rightarrow \frac{3}{1+\sqrt{x}}\le \frac{3}{2}\Rightarrow P=1+\frac{3}{1+\sqrt{x}}\le \frac{5}{2}$

Vậy GTLN $P=\frac{5}{2}\iff x=1$.

Bài 6: Cho các biểu thức: $A=\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}-3}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}+\frac{x-5\sqrt{x}-3}{x-9}$ với $x\ge 0,x\ne 9$.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Với $x>9$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K=A.B$.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức B ta được:$B=\frac{x}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

b) Ta có:

$K=A.B=\frac{x}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}+3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}-3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}+6$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x}-3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}\ge 6\Rightarrow \sqrt{x}-3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}+6\ge 12$

Vậy GTNN $K=12\iff \sqrt{x}-3=\frac{9}{\sqrt{x}-3}\iff x=36(tm)$.

Bài 7: Cho hai biểu thức: $H=\frac{b+2\sqrt{b}+2}{\sqrt{b}-1}$ và $K=\frac{3b+3\sqrt{b}-3}{b+\sqrt{b}-2}-\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}+2}-\frac{\sqrt{b}-2}{\sqrt{b}-1}$ với $b\ge 0,b\ne 1$.

a) Thu gọn biểu thức K.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{K}{H}$.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn biểu thức K ta được:

$K=\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}-1}$

b) Ta có:

$P=\frac{K}{H}=\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}-1}:\frac{b+2\sqrt{b}+2}{\sqrt{b}-1}$

$=\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}-1}.\frac{\sqrt{b}-1}{b+2\sqrt{b}+2}=\frac{\sqrt{b}+1}{b+2\sqrt{b}+2}$

Xét $\frac{1}{P}=\frac{b+2\sqrt{b}+2}{\sqrt{b}+1}=\sqrt{b}+1+\frac{1}{\sqrt{b}+1}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{b}+1+\frac{1}{\sqrt{b}+1}\ge 2\Rightarrow \frac{1}{P}\ge 2\Rightarrow P\le \frac{1}{2}$

Vậy GTLN $P=\frac{1}{2}\iff \sqrt{b}+1=\frac{1}{\sqrt{b}+1}\iff b=0$.

Bài 8: Cho biểu thức $L=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}$ với $x\ge 0,x\ne 1$.

a) Rút gọn biểu thức L.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $N=\frac{2}{L}+\sqrt{x}$.

Hướng dẫn giải

$L\ne 0\iff \frac{-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\ne 0\iff x\ne 0$

Kết hợp với điều kiện $x\ge 0,x\ne 1$ ta được: $x>0,x\ne 1$

$N=\frac{2}{L}+\sqrt{x}=\frac{-2(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}$

$=\frac{-2x-2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+x=\frac{-x-2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$

$=-(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}})-2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{2}\iff -(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}})-2\le -2\sqrt{2}-2$

$\Rightarrow Q\le -2\sqrt{2}-2$

Vậy giá trị lớn nhất $Q=-2\sqrt{2}-2\iff x=2$.

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

Bài 2: Cho biểu thức:

$A=\frac{4\left(\sqrt{x}+1\right)}{25-x};B=\left(\frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5};\left(x⩾0;x\ne 25\right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 3: Cho biểu thức: $A=\frac{5\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}+1}$. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a,  $A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$	b, $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$	c, $C=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}$
d, $D=\frac{\sqrt{x}}{x+4}$	e, $E=\frac{2\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}$

Bài 5: Cho biểu thức $A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức $A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 7: Cho biểu thức $M=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A=\frac{-3}{\sqrt{x}+2}$ với x ≥ 0	b, $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$với x ≥ 0
c, $C=\frac{x+4}{\sqrt{x}}$với x > 0	d, $D=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$với x > 0

Bài 9. Cho x,y khác 0 thỏa mãn $2x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=4$. Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 10. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn $2x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=4$ . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của $A=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy$

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A=\frac{-3}{\sqrt{x}+2}$ với x ≥ 0	b, $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ với x ≥ 0
c, $C=\frac{x+4}{\sqrt{x}}$ với x > 0	d, $D=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với x > 0