Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn là dạng bài tập phổ biến trong các bài thi Toán vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm được cách làm dạng bài tập này, VnDoc gửi tới các bạn tài liệu Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn. Mời các bạn tham khảo để chuẩn bị tốt cho kì thi quan trọng sắp tới và đặc biệt là chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Dưới đây là nội dung chi tiết, các em tham khảo nhé.

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: a + b \ge 2\sqrt {ab}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

  • |a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
  • |a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  A = \frac{1}{{x - \sqrt x  + 1}}

Lời giải:

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì x - \sqrt x  + 1 đạt giá trị nhỏ nhất

x - \sqrt x  + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x  + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}

Lại có {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Minx - \sqrt x  + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Vậy MaxA = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Bài 2: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9\sqrt x

Lời giải:

a, A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}} với x > 0, x ≠ 1

= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}

= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}

b,P = A - 9\sqrt x  = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x  = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: \frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 6

\Rightarrow  - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le  - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 =  - 5 \Leftrightarrow P \le  - 5

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(thỏa mãn)

Vậy maxP =  - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}

Bài 3: Cho biểu thức A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

a, A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}với x ≥ 0, x ≠ 4

= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{2\sqrt x  + x + 2\sqrt x  - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{4\sqrt x  - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x  - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{3.\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}

b, Có x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy minA=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. A = \sqrt 3  - \sqrt {x - 1}

b. B = 6\sqrt x  - x - 1

c. C = \frac{1}{{x - \sqrt x  - 1}}

Bài 2: Cho biểu thức:

A = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 3: Cho biểu thức: A = \frac{{5\sqrt x  - 3}}{{x + \sqrt x  + 1}}. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a,  A = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}b, B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}c, C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}
d, D = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}e, E = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}

Bài 5: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  - 2}}

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 7: Cho biểu thức M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 2}} với x ≥ 0b, B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}với x ≥ 0
c, C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}với x > 0d, D = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}với x > 0

Bài 9. Cho x,y khác 0 thỏa mãn 2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4. Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 10. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn 2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4 . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 2}} với x ≥ 0b, B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} với x ≥ 0
c, C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }} với x > 0d, D = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} với x > 0

...............................

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo các Đề thi học kì 1 lớp 9, Đề thi học kì 2 lớp 9 mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, chuẩn bị tốt vào kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Đánh giá bài viết
86 356.048
1 Bình luận
Sắp xếp theo
  • quang phạm văn
    quang phạm văn

    cho mình hỏi phần c bài 5 phần III làm thế nào v ạ

    Thích Phản hồi 20/04/22
    • Nguyễn Thắng
      Nguyễn Thắng

      Bằng √x+4/√x nha bạn

      Thích Phản hồi 30/09/22

Lý thuyết Toán 9

Xem thêm