Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Trong chương trình Toán lớp 9, dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là một chuyên đề rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ cũng như kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

|a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
|a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0

+ Cách 4: Phương pháp dùng điều kiện xác định

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì $x - \sqrt x + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất

Có $x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$

Lại có ${\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Min $x - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Vậy Max $A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Bài 2: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9\sqrt x$ .

Hướng dẫn giải

a, $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ với x > 0, x ≠ 1

$= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

$= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$

b, $P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)$ với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6$

$\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P \le - 5$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn)

Vậy max $P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Bài 3: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Hướng dẫn giải

a, $A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

$= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}$

b, Ta có:

$x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}$

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min $A=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0$

Bài 4: Cho hai biểu thức: $M = \frac{a + 7}{\sqrt{a}}$ và $N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{2a - \sqrt{a} - 3}{a - 9}$ với $a > 0,a \neq 9$ .

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = M + \frac{1}{N}$ .

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{2a - \sqrt{a} - 3}{a - 9}$

$N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{\left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right)}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)}$

$N = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - 3 \right) + \left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right) - \left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right)}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)}$

$N = \frac{a + 3\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)} = \sqrt{a}$

b) Với $a > 0,a \neq 9$ thì

$H = M + \frac{1}{N} = \frac{a + 7}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} + \frac{7}{\sqrt{a}}$

$\geq 2\sqrt{2\sqrt{a}.\frac{7}{\sqrt{a}}} = 2\sqrt{14}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là $2\sqrt{14}$ khi $a = \frac{7}{2}$ .

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Biết $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{1 + \sqrt{x}}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2}$ với $x\mathbb{\in Z},x > 0$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$P = A.B = \frac{\sqrt{x} + 2}{1 + \sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 4}{1 + \sqrt{x}} = 1 + \frac{3}{1 + \sqrt{x}}$

Vì $x > 0;x\mathbb{\in Z \Rightarrow}x \geq 1 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 2$

$\Rightarrow \frac{3}{1 + \sqrt{x}} \leq \frac{3}{2} \Rightarrow P = 1 + \frac{3}{1 + \sqrt{x}} \leq \frac{5}{2}$

Vậy GTLN $P = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = 1$ .

Bài 6: Cho các biểu thức: $A = \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \frac{x - 5\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ với $x \geq 0,x \neq 9$ .

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Với Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức B ta được: $B = \frac{x}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$

b) Ta có:

$K = A.B = \frac{x}{\sqrt{x} - 3} = \sqrt{x} + 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} + 6$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} \geq 6 \Rightarrow \sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} + 6 \geq 12$

Vậy GTNN $K = 12 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 = \frac{9}{\sqrt{x} - 3} \Leftrightarrow x = 36(tm)$ .

Bài 7: Cho hai biểu thức: $H = \frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} - 1}$ và $K = \frac{3b + 3\sqrt{b} - 3}{b + \sqrt{b} - 2} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + 2} - \frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b} - 1}$ với $b \geq 0,b \neq 1$ .

a) Thu gọn biểu thức K.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{K}{H}$ .

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn biểu thức K ta được:

$K = \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}$

b) Ta có:

$P = \frac{K}{H} = \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}:\frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} - 1}$

$= \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}.\frac{\sqrt{b} - 1}{b + 2\sqrt{b} + 2} = \frac{\sqrt{b} + 1}{b + 2\sqrt{b} + 2}$

Xét $\frac{1}{P} = \frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} + 1} = \sqrt{b} + 1 + \frac{1}{\sqrt{b} + 1}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{b} + 1 + \frac{1}{\sqrt{b} + 1} \geq 2 \Rightarrow \frac{1}{P} \geq 2 \Rightarrow P \leq \frac{1}{2}$

Vậy GTLN $P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{b} + 1 = \frac{1}{\sqrt{b} + 1} \Leftrightarrow b = 0$ .

Bài 8: Cho biểu thức $L = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ .

a) Rút gọn biểu thức L.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $N = \frac{2}{L} + \sqrt{x}$ .

Hướng dẫn giải

b. $L \neq 0 \Leftrightarrow \frac{- \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0$

Kết hợp với điều kiện $x \geq 0,x \neq 1$ ta được: $x > 0,x \neq 1$

$N = \frac{2}{L} + \sqrt{x} = \frac{- 2\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}$

$= \frac{- 2x - 2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} + x = \frac{- x - 2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$

$= - \left( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \right) - 2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{2} \Leftrightarrow - \left( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \right) - 2 \leq - 2\sqrt{2} - 2$

$\Rightarrow Q \leq - 2\sqrt{2} - 2$

Vậy giá trị lớn nhất $Q = - 2\sqrt{2} - 2 \Leftrightarrow x = 2$ .

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Cho hai biểu thức $P = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} + 15}{x - 9}$ và $Q = \frac{\sqrt{x} - 3}{2}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 9$

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức $M = P.\mathbf{\ }Q$

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 2: Cho hai biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \frac{2x + 3\sqrt{x} + 9}{x - 9} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 9$ .

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Đặt $P = \frac{A}{B}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 3: Cho hai biểu thức $P = \frac{x}{x - 4} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ và $Q = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4,\mathbf{\ \ }x \neq 9$

a. Tính giá trị của biểu thức khi $x = \frac{1}{\sqrt{3} - 2} + \sqrt{3} + 66$ .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Với $x\mathbb{\in N}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $K = Q.\mathbf{\ }(P - 1)$ .

Bài 4: Cho biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{2x - \sqrt{x} - 3}{x - 9}$ với $x > 0,\mathbf{\ }x \neq 9$

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Tìm $x\mathbb{\in N}$ để biểu thức $P = A.\mathbf{\ }B$ đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài 1.

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức ta được $A = \frac{\sqrt{25} - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

a. Ta có $P = \frac{\sqrt{x} + 3 + \sqrt{x} + 15}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} = \frac{2\left( \sqrt{x} + 9 \right)}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$ .

Khi đó $M = P.\mathbf{\ }Q = \frac{2\left( \sqrt{x} + 9 \right)}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}.\mathbf{\ }\frac{\sqrt{x} - 3}{2} = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} + 3}$ .

b. Ta có $M = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} + 3} = 1 + \frac{6}{\sqrt{x} + 3}$ .

Để biểu thức có giá trị lớn nhất thì $\frac{6}{\sqrt{x} + 3}$ là số dương lớn nhất hay $\sqrt{x} + 3$ có giá trị bé nhất.

Mà $\sqrt{x} + 3 \geq 3$ nên $\sqrt{x} + 3$ có giá trị nhỏ nhất bằng . Đạt được khi $\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng $1 + \frac{6}{3} = 3$ . Đạt được khi .

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-----------------------------------------------

FAQ

1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là gì?

Đây là dạng toán yêu cầu xác định giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có chứa căn bậc hai hoặc căn thức. Dạng toán này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số, sử dụng bất đẳng thức và tư duy tối ưu.

2. Muốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn cần thực hiện những bước nào?

Thông thường, học sinh nên thực hiện theo trình tự:

Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Phân tích cấu trúc của biểu thức.
Lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Chứng minh giá trị tìm được là lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: