VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Trong chương trình Toán lớp 9, dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là một chuyên đề rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ cũng như kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là dạng bài giúp học sinh rèn luyện khả năng biến đổi biểu thức, tư duy logic và biết cách áp dụng bất đẳng thức hoặc đánh giá giá trị biểu thức để tìm ra giới hạn cần thiết.

Bài viết này nằm trong chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10, sẽ cung cấp cho bạn hệ thống lý thuyết cơ bản, các phương pháp giải nhanh và chính xác, cùng với loạt bài tập có lời giải chi tiết. Từ đó, giúp học sinh làm quen và thành thạo với dạng bài quan trọng này, tăng khả năng đạt điểm cao trong các bài thi. Hãy cùng tìm hiểu ngay bên dưới!

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$ $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

|a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
|a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0

+ Cách 4: Phương pháp dùng điều kiện xác định

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}$ $A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì $x - \sqrt x + 1$ $x - \sqrt x + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất

Có $x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$ $x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$

Lại có ${\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0$ ${\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Min $x - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ $x - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Vậy Max $A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ $A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Bài 2: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9\sqrt x$ $P = A - 9\sqrt x$.

Hướng dẫn giải

a, $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ với x > 0, x ≠ 1

$= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ $= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

$= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$ $= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$

b, $P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)$ $P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)$ với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6$ $\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6$

$\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P \le - 5$ $\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P \le - 5$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$(thỏa mãn)

Vậy max $P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$ $P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Bài 3: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$ $A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Hướng dẫn giải

a, $A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$ $A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$với x ≥ 0, x ≠ 4

$= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$ $= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$ $= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$ $= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}$ $= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}$

b, Ta có:

$x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2}$ $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}$ $\Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}$

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min $A=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0$ $A=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0$

Bài 4: Cho hai biểu thức: $M = \frac{a + 7}{\sqrt{a}}$ $M = \frac{a + 7}{\sqrt{a}}$ và $N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{2a - \sqrt{a} - 3}{a - 9}$ $N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{2a - \sqrt{a} - 3}{a - 9}$ với $a > 0,a \neq 9$ $a > 0,a \neq 9$.

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = M + \frac{1}{N}$ $H = M + \frac{1}{N}$.

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{2a - \sqrt{a} - 3}{a - 9}$ $N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{2a - \sqrt{a} - 3}{a - 9}$

$N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{\left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right)}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)}$ $N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{\left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right)}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)}$

$N = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - 3 \right) + \left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right) - \left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right)}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)}$ $N = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - 3 \right) + \left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right) - \left( 2\sqrt{a} - 1 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right)}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)}$

$N = \frac{a + 3\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)} = \sqrt{a}$ $N = \frac{a + 3\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 3 \right)\left( \sqrt{a} - 3 \right)} = \sqrt{a}$

b) Với $a > 0,a \neq 9$ $a > 0,a \neq 9$ thì

$H = M + \frac{1}{N} = \frac{a + 7}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} + \frac{7}{\sqrt{a}}$ $H = M + \frac{1}{N} = \frac{a + 7}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} + \frac{7}{\sqrt{a}}$

$\geq 2\sqrt{2\sqrt{a}.\frac{7}{\sqrt{a}}} = 2\sqrt{14}$ $\geq 2\sqrt{2\sqrt{a}.\frac{7}{\sqrt{a}}} = 2\sqrt{14}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là $2\sqrt{14}$ $2\sqrt{14}$ khi $a = \frac{7}{2}$ $a = \frac{7}{2}$.

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A.B$. Biết $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{1 + \sqrt{x}}$ $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{1 + \sqrt{x}}$và $B = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2}$ $B = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2}$ với $x\mathbb{\in Z},x > 0$ $x\mathbb{\in Z},x > 0$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$P = A.B = \frac{\sqrt{x} + 2}{1 + \sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 4}{1 + \sqrt{x}} = 1 + \frac{3}{1 + \sqrt{x}}$ $P = A.B = \frac{\sqrt{x} + 2}{1 + \sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 4}{1 + \sqrt{x}} = 1 + \frac{3}{1 + \sqrt{x}}$

Vì $x > 0;x\mathbb{\in Z \Rightarrow}x \geq 1 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 2$ $x > 0;x\mathbb{\in Z \Rightarrow}x \geq 1 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 2$

$\Rightarrow \frac{3}{1 + \sqrt{x}} \leq \frac{3}{2} \Rightarrow P = 1 + \frac{3}{1 + \sqrt{x}} \leq \frac{5}{2}$ $\Rightarrow \frac{3}{1 + \sqrt{x}} \leq \frac{3}{2} \Rightarrow P = 1 + \frac{3}{1 + \sqrt{x}} \leq \frac{5}{2}$

Vậy GTLN $P = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = 1$ $P = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = 1$.

Bài 6: Cho các biểu thức: $A = \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ $A = \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \frac{x - 5\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ $B = \frac{3}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \frac{x - 5\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ với $x \geq 0,x \neq 9$ $x \geq 0,x \neq 9$.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Với $x > 9$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K = A.B$.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức B ta được: $B = \frac{x}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$ $B = \frac{x}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$

b) Ta có:

$K = A.B = \frac{x}{\sqrt{x} - 3} = \sqrt{x} + 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} + 6$ $K = A.B = \frac{x}{\sqrt{x} - 3} = \sqrt{x} + 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} + 6$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} \geq 6 \Rightarrow \sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} + 6 \geq 12$ $\sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} \geq 6 \Rightarrow \sqrt{x} - 3 + \frac{9}{\sqrt{x} - 3} + 6 \geq 12$

Vậy GTNN $K = 12 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 = \frac{9}{\sqrt{x} - 3} \Leftrightarrow x = 36(tm)$ $K = 12 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 = \frac{9}{\sqrt{x} - 3} \Leftrightarrow x = 36(tm)$.

Bài 7: Cho hai biểu thức: $H = \frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} - 1}$ $H = \frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} - 1}$ và $K = \frac{3b + 3\sqrt{b} - 3}{b + \sqrt{b} - 2} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + 2} - \frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b} - 1}$ $K = \frac{3b + 3\sqrt{b} - 3}{b + \sqrt{b} - 2} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + 2} - \frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b} - 1}$ với $b \geq 0,b \neq 1$ $b \geq 0,b \neq 1$.

a) Thu gọn biểu thức K.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{K}{H}$ $P = \frac{K}{H}$.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn biểu thức K ta được:

$K = \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}$ $K = \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}$

b) Ta có:

$P = \frac{K}{H} = \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}:\frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} - 1}$ $P = \frac{K}{H} = \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}:\frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} - 1}$

$= \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}.\frac{\sqrt{b} - 1}{b + 2\sqrt{b} + 2} = \frac{\sqrt{b} + 1}{b + 2\sqrt{b} + 2}$ $= \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 1}.\frac{\sqrt{b} - 1}{b + 2\sqrt{b} + 2} = \frac{\sqrt{b} + 1}{b + 2\sqrt{b} + 2}$

Xét $\frac{1}{P} = \frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} + 1} = \sqrt{b} + 1 + \frac{1}{\sqrt{b} + 1}$ $\frac{1}{P} = \frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} + 1} = \sqrt{b} + 1 + \frac{1}{\sqrt{b} + 1}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{b} + 1 + \frac{1}{\sqrt{b} + 1} \geq 2 \Rightarrow \frac{1}{P} \geq 2 \Rightarrow P \leq \frac{1}{2}$ $\sqrt{b} + 1 + \frac{1}{\sqrt{b} + 1} \geq 2 \Rightarrow \frac{1}{P} \geq 2 \Rightarrow P \leq \frac{1}{2}$

Vậy GTLN $P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{b} + 1 = \frac{1}{\sqrt{b} + 1} \Leftrightarrow b = 0$ $P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{b} + 1 = \frac{1}{\sqrt{b} + 1} \Leftrightarrow b = 0$.

Bài 8: Cho biểu thức $L = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$ $L = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ $x \geq 0,x \neq 1$.

a) Rút gọn biểu thức L.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $N = \frac{2}{L} + \sqrt{x}$ $N = \frac{2}{L} + \sqrt{x}$.

Hướng dẫn giải

$L \neq 0 \Leftrightarrow \frac{- \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0$ $L \neq 0 \Leftrightarrow \frac{- \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0$

Kết hợp với điều kiện $x \geq 0,x \neq 1$ $x \geq 0,x \neq 1$ ta được: $x > 0,x \neq 1$ $x > 0,x \neq 1$

$N = \frac{2}{L} + \sqrt{x} = \frac{- 2\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}$ $N = \frac{2}{L} + \sqrt{x} = \frac{- 2\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}$

$= \frac{- 2x - 2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} + x = \frac{- x - 2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ $= \frac{- 2x - 2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} + x = \frac{- x - 2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$

$= - \left( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \right) - 2$ $= - \left( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \right) - 2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{2} \Leftrightarrow - \left( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \right) - 2 \leq - 2\sqrt{2} - 2$ $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{2} \Leftrightarrow - \left( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \right) - 2 \leq - 2\sqrt{2} - 2$

$\Rightarrow Q \leq - 2\sqrt{2} - 2$ $\Rightarrow Q \leq - 2\sqrt{2} - 2$

Vậy giá trị lớn nhất $Q = - 2\sqrt{2} - 2 \Leftrightarrow x = 2$ $Q = - 2\sqrt{2} - 2 \Leftrightarrow x = 2$.

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. $A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}$ $A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}$	b. $B = 6\sqrt x - x - 1$ $B = 6\sqrt x - x - 1$
c. $C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}$ $C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}$

Bài 2: Cho biểu thức:

$A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)$ $A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b. Rút gọn biểu thức B.

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 3: Cho biểu thức: $A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}$ $A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}$. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$ $A = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$	b, $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}$ $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}$	c, $C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}$ $C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}$
d, $D = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}$ $D = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}$	e, $E = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}$ $E = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}$

Bài 5: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}$ $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}$ $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 7: Cho biểu thức $M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1$ $M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}$ $A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}$ với x ≥ 0	b, $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$ $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$với x ≥ 0
c, $C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}$ $C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}$với x > 0	d, $D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ $D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$với x > 0

Bài 9. Cho x,y khác 0 thỏa mãn $2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ $2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$. Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 10. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn $2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ $2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của $A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy$ $A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy$

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}$ $A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}$ với x ≥ 0	b, $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$ $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$ với x ≥ 0
c, $C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}$ $C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}$ với x > 0	d, $D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ $D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ với x > 0

------------------------------------------------------------------

Trên đây là toàn bộ nội dung về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn Toán 9, một trong những chuyên đề không thể thiếu trong hành trang ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Khi luyện tập thường xuyên và nắm rõ các phương pháp đánh giá biểu thức, sử dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, AM–GM hoặc biến đổi hợp lý, học sinh sẽ có thể giải nhanh và chính xác mọi dạng bài.

Nếu bạn đang trong quá trình luyện đề, đừng quên kết hợp các kiến thức trong chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10 để có chiến lược học tập hợp lý. Tài liệu sẽ còn cập nhật thêm nhiều bài tập nâng cao, đề thi thử, và mẹo giải nhanh theo hướng ra đề mới nhất.

Hãy lưu lại bài viết, chia sẻ với bạn bè để cùng học tốt hơn và tiếp tục theo dõi các nội dung trong chuyên mục Ôn thi vào lớp 10 môn Toán để không bỏ lỡ bất kỳ dạng bài nào quan trọng nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: