Tìm x hoặc x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên có đáp án

Tìm x hoặc x nguyên để biểu thức nguyên - Có đáp án

Trong chương trình Toán 9 ôn thi vào 10, chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là một dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh lớp 10. Dạng bài này không chỉ giúp học sinh củng cố kỹ năng biến đổi biểu thức, mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và phân tích điều kiện của ẩn.

Bài viết Tìm x hoặc x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên có đáp án dưới đây tổng hợp phương pháp giải chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án giúp học sinh dễ hiểu, dễ áp dụng và làm quen với nhiều dạng bài nâng cao.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Cách tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên

• Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng \(A = f(x) + \frac{k}{g(x)}\) trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.
• Bước 2: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên
• Bước 3: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên
• Bước 4: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x
• Bước 5: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận

2. Cách tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

• Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng \(A = f(x) + \frac{k}{g(x)}\) trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.
• Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì \(\frac{k}{g(x)}\) nguyên hay \(k \vdots g(x)\) nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k.
• Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x
• Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán.

B. Ví dụ minh họa tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

a) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được \(A = \frac{\sqrt{16} + 1}{\sqrt{16} - 3} = \frac{5}{1} = 5\)

b) Ta có \(B = \left( \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 9} \right):\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}\)

\(= \frac{2\left( \sqrt{x} - 3 \right) - \left( \sqrt{x} - 5 \right)}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 3 \right)}.\mathbf{\ }\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{\sqrt{x} - 3}\)

c) Ta có \(A - B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{1}{\sqrt{x} - 3} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}\)

\(= \frac{\sqrt{x} - 3 + 3}{\sqrt{x} - 3} = 1 + \frac{3}{\sqrt{x} - 3}\)

Xét \(A - B = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

Xét \(A - B \neq 0\). Để \(A - B\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{3}{\sqrt{x} - 3}\) nhận giá trị nguyên hay \(\sqrt{x} - 3 \in U(3) = \left\{\pm 1;\mathbf{\ \ } \pm 3 \right\}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{4;\mathbf{\ \ }2;\mathbf{\ \ }6;\mathbf{\ \ }0 \right\}\)\(\Rightarrow x\in \left\{ 16;\mathbf{\ \ }4;\mathbf{\ \ }36;\mathbf{\ \ }0\right\}\) (thỏa mãn)

Hướng dẫn giải

a) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được \(A = \frac{16}{\sqrt{16} + 1} = \frac{16}{5}\).

b) Học sinh tự chứng minh \(B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}\).

c) Ta có \(P = A.\mathbf{\ }B = \frac{x}{\sqrt{x} + 1}.\mathbf{\ }\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}\)

\(= \frac{x}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}\).

Xét \(P = 0 \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x} - 1} = 0 \Rightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

Xét \(P \neq 0\). Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(\sqrt{x}\mathbb{\in Z \Rightarrow}x\) là số chính phương và \(\sqrt{x} - 1 \in U(1)\)

Với \(\sqrt{x} - 1 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\) (thỏa mãn)

Với \(\sqrt{x} - 1 = - 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

Hướng dẫn giải

a) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được \(A = \frac{4 - 8}{\sqrt{4} + 3} = \frac{- 4}{5}\)

b) Học sinh tự chứng minh \(B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}\)

c) Ta có \(A:B = \frac{x - 8}{\sqrt{x} + 3}:\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 8}{\sqrt{x} + 1}\)

\(= \frac{x - 1 - 7}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1 - \frac{7}{\sqrt{x} + 1}\)

Xét \(M = \frac{A}{B} = 0 \Rightarrow x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\) (thỏa mãn)

Xét \(M \neq 0\) để \(M\) nhận giá trị nguyên thì \(\sqrt{x}\mathbb{\in Z}\) và \(\sqrt{x} + 1 \in U(7) = \left\{ \pm 1;\mathbf{\ \ } \pm 7 \right\}\)

Với \(x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 9 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 1\) nên

TH1: \(\sqrt{x} + 1 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

TH2: \(\sqrt{x} + 1 = 7 \Rightarrow \sqrt{x} = 6 \Rightarrow x = 36\) (thỏa mãn)

C. Bài tập vận dụng tìm x hoặc x nguyên để biểu thức  nguyên

Bài 1: Cho biểu thức \(A = \frac{x - 6}{x + 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\) và \(B = \frac{1}{\sqrt{x} + 3}\) với \(x > 0\).

a) Tính giá trị của \(B\) khi \(x = 4\).

b) Chứng minh \(P = A + B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}}\).

c) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P\) có giá trị nguyên.

Bài 2: Cho biểu thức \(A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x}\) và \(B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}\) với \(x \geq 0,x \neq 9\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 36\).

b) Rút gọn \(A\).

c) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P = A.\mathbf{\ }B\) là số nguyên.

Bài 3: Cho các biểu thức \(A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} + 6}{x - 4}\) và \(B = \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\)

a) Tìm giá trị của \(B\) khi \(x = \frac{4}{9}\).

b) Rút gọn biểu thức \(A\).

c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(B\) nhận giá trị nguyên.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S = A - B\).

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

--------------------------------------------------

Qua bài viết Tìm x hoặc x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên có đáp án, hy vọng bạn đã nắm rõ cách tư duy, lập luận và vận dụng công thức để tìm ra giá trị của x chính xác nhất.
Để học tốt chuyên đề này, hãy thường xuyên luyện tập các bài tập tìm x trong căn thức hoặc phân thức có đáp án chi tiết.

👉 Truy cập chuyên mục Toán 9 ôn thi vào 10 để xem thêm nhiều chuyên đề trọng tâm và đề luyện tập có hướng dẫn giải chi tiết!