VnDoc.com

Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

Bổ trợ kiến thức Toán lớp 9 cơ bản

Bài trước

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

A. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
B. Ví dụ hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc
C. Bài tập trắc nghiệm hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc
D. Bài tập tự luận hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc
E. Bài tập tự luyện tìm m để đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện

Trong chương trình Toán lớp 9, kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các chuyên đề nâng cao như hệ phương trình, hình học tọa độ và đồ thị hàm số. Việc xác định điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau hay vuông góc không chỉ giúp học sinh làm tốt các bài tập cơ bản mà còn rèn luyện tư duy phân tích mối quan hệ hình học một cách logic.

Bài viết Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc được xây dựng nhằm hệ thống hóa kiến thức trọng tâm, trình bày rõ ràng các điều kiện cần và đủ, giúp học sinh lớp 9 nắm chắc bản chất và vận dụng linh hoạt trong quá trình học tập.

A. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng và (d'):y = a'x +
b' với $a;a' \neq 0$ .

Hai đường thẳng trùng nhau khi nào?

$(d) \equiv (d') \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b = b' \\ \end{matrix} \right.$

Hai đường thẳng song song với nhau khi nào?

$(d)//(d') \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.$

Hai đường thẳng cắt nhau khi nào?

$(d) \times (d') \Leftrightarrow a \neq a'$

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi nào?

$(d)\bot(d') \Leftrightarrow a.a' = - 1$

B. Ví dụ hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

Ví dụ: Tìm các đường thẳng song song, vuông góc và cắt nhau:

a) y = 2x + 1	b) $y = - 3x + 2 + \sqrt{2}$
c) $y = 2x - 2 + \sqrt{7}$	d) $y = 3 - \sqrt{2} + 2x$
e) $y = \frac{1}{3}x + 5$	f) $y = - \frac{1}{2}x + 100$

Hướng dẫn giải

Các đường thẳng song song với nhau là:

$y = 2x + 1;y = 3 - \sqrt{2} + 2x;y = 2x - 2 + \sqrt{7}$

Đường thẳng $y = - \frac{1}{2}x + 100$ vuông góc với các đường thẳng:

$y = 2x + 1;y = 3 - \sqrt{2} + 2x;y = 2x - 2 + \sqrt{7}$

Đường thẳng $y = - 3x + 2 + \sqrt{2}$ vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 5$ .

Ta có:

Đường thẳng y = 2x + 1 cắt các đường thẳng:

$y = - 3x + 2 + \sqrt{2};y = \frac{1}{3}x + 5;y = - \frac{1}{2}x + 100$ .

Đường thẳng $y = - 3x + 2 + \sqrt{2}$ cắt các đường thẳng:

$y = 2x - 2 + \sqrt{7};y = 3 - \sqrt{2} + 2x;y = \frac{1}{3}x + 5;y = - \frac{1}{2}x + 100$ .

Đường thẳng $y = 2x - 2 + \sqrt{7}$ cắt các đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 5;y = - \frac{1}{2}x + 100$ .

Ví dụ: Cho hàm số y = (m + 2)x - 2 (d):

a) Tìm m để (d) song song với $\left(d_{1} \right)$ : y = 2x + 3.

b) Tìm m để (d) vuông góc với $\left(d_{2} \right)$ : y = -3x - 2.

c) Tìm m để (d) cắt nhau với $\left( d_{3}\right)$ : y = -x + 3.

Hướng dẫn giải

a) Để (d) song song với $\left( d_{1}\right)$ : y = 2x + 3 thì:

$\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 2 = 2 \\ - 2 \neq 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 0$ .

Vậy m = 0 thì hai đường thẳng song song.

b) Để (d) vuông góc với $\left( d_{2}\right)$ : y = -3x - 2 thì

a'.a = -1 ⇔ (m + 2).(-3) = -1 $\Leftrightarrow m = - \frac{5}{3}$

c) Để (d) cắt nhau với $\left( d_{3}\right)$ y = -x + 3 thì

⇔ a ≠ a' ⇔ m + 2 ≠ -1 ⇔ m ≠ - 3.

Vậy m ≠ - 3 thì hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ: Cho hàm số y = (3 - 3m)x + 5m - 2 (d):

a) Tìm m để (d) là hàm số bậc nhất.

b) Tìm m để (d) là hàm số nghịch biến.

c) Tìm m để (d) song song với $\left(d_{1} \right)$ : y = -2x - 4.

d) Tìm m để (d) vuông góc với $\left( d_{2} \right):y = 1 - \frac{1}{2}x$ .

e) Tìm m để (d) cắt nhau với $\left( d_{3} \right):y = - \frac{2}{3}x + 1$ .

Hướng dẫn giải

a) Để (d) là hàm số bậc nhất thì 3 - 3m ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.

b) Để (d) là hàm số nghịch biến thì 3 - 3m < 0 ⇔ m > 1.

c) Để (d) song song với $\left( d_{1}\right)$ : y = -2x - 4 thì

$\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 - 3m = - 2 \\ 5m - 2 \neq - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \frac{5}{3} \\m \neq - \frac{2}{5} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m = \frac{5}{3}$

d) Để (d) vuông góc với $\left( d_{2} \right):y = 1 - \frac{1}{2}x$ thì

$a.a' = - 1 \Leftrightarrow (3 - 3m).\left( - \frac{1}{2} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$

e) Để (d) cắt nhau với $\left( d_{3} \right):y = - \frac{2}{3}x + 1$ thì

$\Leftrightarrow a \neq a' \Leftrightarrow 3 - 3m \neq - \frac{2}{3} \Leftrightarrow m \neq \frac{11}{9}$ .

Ví dụ: Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4:

a) Song song b) Vuông góc.

Hướng dẫn giải:

a) y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 song song

⇔ m + 1 = 2m – 1⇔ m = 2.

Vậy m = 2.

b) y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 vuông góc

⇔ (m + 1)(2m – 1) = -1⇔ 2m² + m – 1 = -1

⇔ 2m² + m = 0⇔ m(2m + 1) = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ 2m + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ m = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

Ví dụ: a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 và đi qua A(2; -1).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b.

(d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 ⇒ a = 2.

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 ⇒ b = 4.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x + 4.

b) Gọi đường thẳng cần tìm là (d’): y = kx + m

(d) vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 ⇔ k. 1/3 = -1 ⇔ k = -3.

(d) đi qua A(2; -1) ⇔ -1 = 2k + m = 2.(-3) + m ⇔ m = 5.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = -3x + 5.

C. Bài tập trắc nghiệm hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

Bài 1: Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 và y = 2x – 1 :

A. Song song B. Vuông góc C. Cắt nhau D. Trùng nhau.

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 2: Đường thẳng y = 2x + 1 vuông góc với đường thẳng nào dưới đây ?

A. y = 2x + 3 B. y = -2x + 3 C. y = 1/2x D. y= -1/2x

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 3: Đường thẳng y = (2m – 3)x + 1 và đường thẳng y = -x + 3 song song nhau thì giá trị của m là :

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 4: Hai đường thẳng y = (m – 2)x + 3 và y = mx – 1 vuông góc với nhau thì giá trị của m là :

A. m = 0 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 3.

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 5: Hàm số có đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua điểm A(-1 ; 2) là :

A. y = 2x + 4 B. y = -2x. C. y = -1/2x + 3/2 D. y = -1/2x - 3/2 .

Lời giải:

Đáp án: C

D. Bài tập tự luận hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

Bài 1: Tính góc tạo bởi hai đường thẳng y = -3x + 1 và y = 1/3x.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d₁) : y = -3x + 1 có hệ số góc k₁ = -3

Đường thẳng (d₂) : y = 1/3x có hệ số góc k₂ = 1/3 .

Ta có : k₁. k₂ = -1

⇒ (d₁) ⊥ (d₂).

Hay góc tạo bởi (d₁) và (d₂) là 90^o.

Bài 2: Cho hai đường thẳng (d₁) y = (2 – m²)x + m – 5 và (d₂) y = mx + 3m – 7.

a) Tìm m để d₁ // d₂.

b) Có giá trị nào của m để d₁ và d₂ trùng nhau không ?

Hướng dẫn giải:

a) d₁ // d₂

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2 - {m^2} = m \hfill \\ m - 5 \ne 3m - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} + m - 2 = 0 \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇔ m = -2.

b) d₁ và d₂ trùng nhau

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2 - {m^2} = m \hfill \\ m - 5 = 3m - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ⇔ m = 1.

Bài 3: Cho đường thẳng (d) : y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d’ đi qua M(-1 ; 2) và vuông góc với d.

Hướng dẫn giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là y = kx + m

(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.(-2) = -1 ⇔ k = 1/2 .

(d’) đi qua M(-1; 2) ⇔ 2 = k.(-1) + m hay m = 2 + k = 5/2 .

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 1/2x + 5/2 .

Bài 4: Cho đường thẳng (d) : y = 2x + 1 và điểm M(1 ; 1). Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng (d).

Hướng dẫn giải:

+ Tìm đường thẳng d’: y = kx + m qua M và vuông góc với d:

(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.2 = -1 ⇔ k = -1/2 .

(d’) đi qua M(1; 1) ⇔ ⇔ m = 1/2 .

Vậy d’: y = -1/2x + 1/2 .

+ Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d’.

Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình:

2x +1 = -1/2x + 1/2 ⇔ x = -1/5 ⇒ y = 3/5 .

Vậy hình chiếu của M trên d là H (-1/5; 3/5).

E. Bài tập tự luyện tìm m để đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện

Bài 1: Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = (5 - k).x + (4 - m). Tìm m, k để đồ thị của hai hàm số

a, Trùng nhau b, Song song với nhau c, Cắt nhau

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Tìm m để đồ thị hàm số:

a, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân

b, Cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên Oy

c, Cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên Ox

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 1)x + 2 và (d2): y = 2x + 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấu

Bài 4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = (m - 2)x + m + 3 và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 và y = 2x - 1 đồng quy

Bài 5: Cho hàm số y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2l - 3. Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là:

a, Hai đường thẳng cắt nhau

b, Hai đường thẳng song song với nhau

c, Hai đường thẳng trùng nhau

Bài 6: Cho hàm số y = mx + 4 và y = (2m - 3)x - 2. Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a, Hai đường thẳng song song với nhau

b, Hai đường thẳng cắt nhau

c, Hai đường thẳng trùng nhau

d, Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung

Bài 7: Cho hai hàm số y = 2x + m - 3 và y = 5x + 5 - 3m. Tìm m để đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Bài 8: Cho hai hàm số y = (m - 1)x + 3 và y = (3 - m)x + 1

a, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm só là hai đường thẳng song song với nhau

b, Với giá trị nào của m thì đồ thị của 2 hàm số là hai đường thẳng cắt nhau

Bài 9: Cho hàm số y = mx - 2 (m khác 0). Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Bài 10: Cho hàm số y = x + m. Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng x - y + 3 = 0.

-----------------------------------------------------------------

Qua việc tìm hiểu điều kiện xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện hơn về mối liên hệ giữa đại số và hình học trong chương trình Toán lớp 9. Khi nắm vững các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc vuông góc, việc giải bài tập trở nên rõ ràng, chính xác và ít sai sót hơn.

Hy vọng bài viết sẽ là tài liệu bổ trợ hữu ích, giúp học sinh củng cố kiến thức cơ bản, đồng thời tạo nền tảng vững chắc để tiếp tục học tốt các chuyên đề hình học và toán học nâng cao ở các lớp trên.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Công chúa béo

24

173.744

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!