Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Bất đẳng thức Toán 9
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá các tính chất cơ bản của bất đẳng thức – một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Bất đẳng thức không chỉ là một phần lý thuyết thú vị mà còn đóng vai trò thiết yếu trong việc giải quyết nhiều bài toán khác nhau. Chúng ta sẽ đi sâu vào các tính chất như tính chất đối xứng, tính chất phản xạ, và tính chất bắc cầu, giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng chúng trong việc giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Nếu bạn đang tìm hiểu về bất đẳng thức trong Toán lớp 9, bài viết này chính là tài liệu hữu ích để bạn nắm vững kiến thức!
A. Bất đẳng thức
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “
\(a > b\)”, “\(a
< b\)”, “\(a \geq b\)”, “\(a \leq b\)” được gọi là những bất đẳng thức.
Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
B. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:
1. \(a > b\) và \(b > c \Rightarrow a > c\) .
2. \(a > b \Leftrightarrow a + c > b
+ c\).
3. Nếu \(c > 0\) thì \(a > b \Leftrightarrow ac > bc\).
4. Nếu \(c < 0\) thì \(a > b \Leftrightarrow ac < bc\).
5. \(a > b\) và \(c > d \Rightarrow a + c > b +
d\).
6. \(a > b \geq 0\) và \(c > d \geq 0 \Rightarrow ac >
bd\).
7. \(a > b \geq 0\) và \(n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow a^{n} >
b^{n}\).
8. \(a > b \geq 0\) \(\Leftrightarrow \sqrt{a} >
\sqrt{b}\).
9. \(a > b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a}
> \sqrt[3]{b}\).
10. \(a \geq 0;b \geq 0 \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a + b} \\
\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \geq \sqrt[3]{a + b} \\
\end{matrix} \right.\).
11. \(a \geq b > 0 \Rightarrow
\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}\).
12. \(a^{2} \geq 0;\forall a\mathbb{\in
R}\). Đẳng thức xảy ra khi \(a =
0\).
13. \(- |a| \leq a \leq |a|\), với mọi \(a\mathbb{\in R}\).
14. Với \(a > 0\) thì \(|x| < a \Leftrightarrow - a < x <
a\).
15. Với \(a > 0\) thì \(|x| > a \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x < - a \\
x > a \\
\end{matrix} \right.\)
16. Với mọi \(a;b\mathbb{\in R}\), ta có \(\left| |a| - |b|
\right|\overset{(1)}{\leq}|a + b|\overset{(2)}{\leq}|a| +
|b|\).
Đẳng thức xảy ra ở (1) khi \(ab \leq
0\); đẳng thức xảy ra ở (2) khi \(ab
\geq 0\).
----------------------------------------------------
Tóm lại, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức là những công cụ quan trọng không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong chương trình Toán lớp 9 mà còn tạo nền tảng vững chắc cho những kiến thức toán học nâng cao sau này. Việc nắm vững và hiểu rõ các tính chất này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán bất đẳng thức một cách hiệu quả và chính xác. Hãy tiếp tục áp dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn để nâng cao khả năng giải toán và đạt kết quả tốt hơn trong các bài kiểm tra!
