Tìm vị trí điểm M để tam giác có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất
Bài tập Toán 9: Tìm M để diện tích tam giác lớn nhất, nhỏ nhất
Trong hình học phẳng, việc tìm vị trí điểm M sao cho tam giác có diện tích lớn nhất hoặc nhỏ nhất là dạng bài toán thường gặp trong chương trình Toán THCS và các kỳ thi. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ bản chất bài toán, cách phân tích hình học, và áp dụng công thức diện tích hiệu quả để xác định vị trí tối ưu của điểm M. Cùng khám phá phương pháp giải nhanh và bài tập minh họa chi tiết!
A. Công thức tính diện tích cần nhớ
Diện tích tam giác
\(S = \frac{1}{2}a.h\)- \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ab\sin C =
\frac{1}{2}bc\sin A\)
- \(S = \sqrt{p(p -
a)(p - b)(p - c)}\) với \(p = \frac{a +
b + c}{2}\)
- \(a = 2R\sin A\), \(b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\)…
Diện tích hình chữ nhật
\(S =
ab\)
Diện tích hình thang
\(S = \frac{1}{2}(a +
b)h\)
Diện tích hình vuông
\(S =
a^{2}\)
B. Các công thức bất đẳng thức
Ở cấp THCS, các em học sinh được làm quen với bất đẳng thức Cauchy dạng 2 số hoặc 3 số. Để giải quyết tốt các bài toán hình học: Ta cần nắm chắc một số kết quả quan trọng sau:
Cho các số thực dương \(a,b\)
\(a + b \geq 2\sqrt{ab} \Leftrightarrow ab
\leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^{2} \Leftrightarrow (a + b)^{2} \geq
4ab\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a =
b\)
- \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq
\frac{4}{a + b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\); \(\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} \geq
\frac{(x + y)^{2}}{a + b}\)
- \(a^{2} + ab + b^{2} = \frac{3}{4}(a +
b)^{2} + \frac{1}{4}(a - b)^{2} \geq \frac{3}{4}(a + b)^{2}\)
- \(a^{2} - ab + b^{2} = \frac{1}{4}(a +
b)^{2} + \frac{3}{4}(a - b)^{2} \geq \frac{1}{4}(a + b)^{2}\)
Cho các số thực dương \(a,b,c\):
\(a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}
\Leftrightarrow abc \leq \left( \frac{a + b + c}{3}
\right)^{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b =
c\)
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
\geq \frac{9}{a + b + c} \geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} +
c^{2}}}\)
\(ab + bc + ca \leq \frac{(a + b +
c)^{2}}{3} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}\)
\(\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} +
\frac{z^{2}}{c} \geq \frac{(x + y + z)^{2}}{a + b + c}\)
C. Bài tập tìm điểm M để diện tích tam giác lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1: Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,CA = b,AB = c\). \(M\) là một điểm thuộc miền trong \(\Delta ABC\). Gọi \(E,F,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,CA,AB\). Xác định vị trí điểm \(M\) để tích \(ME.MF.MK\) đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có:
\(2S_{ABC} = 2\left( S_{MBC} + S_{MCA} +
S_{MAB} \right)\).
\(= a.ME + b.MF + c.MK\)
Do đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si
với bộ 3 số \(a.ME,b.MF,c.MK\).
Ta có:
\(a.b.c.ME.MF.MK = (a.ME).(b.MF).(c.MK)
\leq \frac{1}{27}(a.ME + b.MF + c.MK)^{3} = 8S_{ABC}^{3}\)
\(\Rightarrow ME.MF.MK \leq
\frac{8S_{ABC}^{3}}{abc}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a.ME = b.MF
= c.MK\)
\(\Leftrightarrow S_{MBC} = S_{MCA} =
S_{MAB} \Leftrightarrow M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Vậy \(\max(ME.MF.MK) =
\frac{8S_{ABC}^{3}}{abc}\) khi \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Bài 2: Cho tam giác \(ABC\) cân đỉnh \(A\). Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\). Đường tròn \((O)\) tiếp xúc với \(AB\) ở \(E\) tiếp xúc với \(AC\) ở \(F\). Điểm \(H\) chạy trên cung nhỏ \(\widehat{E F}\) tiếp tuyến của đường tròn tại \(H\) cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(M,N\). Xác định vị trí của điểm \(H\) để diện tích tam giác \(AMN\) đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy \(OM,ON\) lần lượt là phân giác \(\widehat{EOM},\widehat{FOH}\).
Từ đó ta có:
\(\widehat{MON} =
\frac{180^{0} - \widehat{BAC}}{2} = \widehat{ABC} \Rightarrow \Delta
MBO\sim\Delta OCN\) (g - g)\(\Rightarrow
\frac{MB}{OC} = \frac{BO}{CN} \Rightarrow BM.CN = OB.OC =
\frac{BC^{2}}{4} = const\) (1)
Ta lại có \(S_{AMN} = S_{ABC} -
S_{BMNC}\) nên \(S_{AMN}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(S_{BMNC}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((O)\), ta có:
\(S_{BMNC} = S_{BOM} + S_{MON} +
S_{NOC}\)
\(= \frac{1}{2}R(BM + MN + NC)\)
\(=\frac{1}{2}R\left\lbrack BE + CF + 2(EM + FN) \right\rbrack\) vì \((MN = EM + FN)\) \(= R(BE + EM + FN)\) vì \((BE = CF)\)
\(=
R(BE + BM + CN - 2BE) = R(BM + CN - BE)\) (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, từ (1) và (2) suy ra:
\(S_{BMNC} \geq R\left( \sqrt{BM.CN} - BE \right) =
R\left( \frac{BC}{2} - BE \right)\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(BM = CN
\Leftrightarrow MN//BC\) khi và chỉ khi \(H\) là giao điểm của đường trung trực của \(BC\) với đường tròn \((O)\).
Vậy diện tích tam giác \(AMN\) đạt giá trị lớn nhất khi \(H\) là giao của đường trung trực của \(BC\) với đường tròn \((O)\).
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài 1: Cho tam giác \(ABC\) trên trung tuyến \(AD\) lấy điểm \(I\) cố định. Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) lần lượt cắt cạnh \(AB,AC\) tại \(M,N\). Tìm vị trí của đường thẳng \(d\) để diện tích tam giác \(AMN\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho góc nhọn \(xOy\) và điểm \(I\) cố định nằm ở trong các góc đó. Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và cắt \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(M,N\). Xác định đường thẳng \(d\) để diện tích tam giác \(OMN\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Cho ba điểm \(A,I,B\) thẳng hàng theo thứ tự. Gọi \(d_{1},d_{2}\) là hai nửa đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A,B\) và nằm về cùng một phía đối với đường thẳng \(AB\). Góc vuông \(\widehat{xIy}\) quay xung quanh đỉnh \(I\) sao cho hai cạnh của góc tương ứng cắt \(d_{1}\) ở \(M\)cắt \(d_{2}\) ở \(N\). Tìm vị trí của \(M,N\) để diện tích tam giác \(IMN\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
----------------------------------------
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ cách tìm vị trí điểm M sao cho tam giác đạt diện tích lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để ghi nhớ phương pháp giải và phát triển tư duy hình học. Đừng quên theo dõi website để cập nhật thêm nhiều kiến thức Toán THCS hữu ích khác!
