VnDoc.com

Bất đẳng thức Cô si

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Bất đẳng thức Cauchy

I. Bất đẳng thức Cauchy (Cô si)
II. Bài tập bất đẳng thức Co-si lớp 9
III. Bài tập bất đẳng thức lớp 9

Bất đẳng thức Cô si được VnDoc đăng tải sau đây bao gồm một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy, kèm theo đó là các bài tập cơ bản và nâng cao về bất đẳng thức Cô si, cho các em ôn tập, chuẩn bị kĩ lưỡng cho kì thi quan trọng sắp tới.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

1. Phát biểu bất đẳng thức Côsi

Bất đẳng thức Cô si của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

+ Nghĩa là:

Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$ $\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:

$\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}$ $\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n}$ ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n}$

2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b không âm

+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. Với a, b > 0, ta chứng minh:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$ $\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \end{array}$

Suy ra bất đẳng thức luôn đúng với mọi a, b không âm

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

Hệ quả 1:

Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

Hệ quả 2:

Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

II. Bài tập bất đẳng thức Co-si lớp 9

Bài 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x + \frac{7}{x}$ $A = x + \frac{7}{x}$ với x > 0.

b) Cho $a \geq 3$ $a \geq 3$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = a + \frac{1}{a}$ $P = a + \frac{1}{a}$ .

c) Cho $a \geq 2$ $a \geq 2$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = a^{2} + \frac{1}{a}$ $P = a^{2} + \frac{1}{a}$ .

d) Cho $a \geq 2$ $a \geq 2$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{a^{2}} + a$ $P = \frac{1}{a^{2}} + a$ .

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:

$x + \frac{7}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{7}{x}} = 2\sqrt 7$ $x + \frac{7}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{7}{x}} = 2\sqrt 7$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{7}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$ $x = \frac{7}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$(do x > 0)

Vậy min $A = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$ $A = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$.

b) Phân tích

Sai lầm: Nếu vội vàng, ta dẫn đến lời giải sau:

Sử dụng đẳng thức AM-GM cho 2 số dương, ta được:

$P = a + \frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}} = 2$ $P = a + \frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}} = 2$

Đẳng thức xảy ra khi $a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 1 < 3$ $a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 1 < 3$

Vậy không có a thỏa nãm nên lời giải trên là sai.

Từ đó việc dự đoán dấu =” xảy ra (tức chọn điểm rơi) là vô cùng quan trọng.

Lời giải đúng: Chọn điểm rơi tại $a = 3$ .

Với $a = 3 \Rightarrow a \neq \frac{1}{a}$ $a = 3 \Rightarrow a \neq \frac{1}{a}$ nên để sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta phải thêm hệ số $k > 0$ như sau: $P = \left( \frac{1}{a} + ka \right) + (a - ka)$ $P = \left( \frac{1}{a} + ka \right) + (a - ka)$

Tìm k dựa trên dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{a} = ka \\ a = 3 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow 3k = \frac{1}{3} \Leftrightarrow k = \frac{1}{9}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{a} = ka \\ a = 3 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow 3k = \frac{1}{3} \Leftrightarrow k = \frac{1}{9}$ .

Với hướng phân tích như trên, ta có lời giải chi tiết:

$P = \frac{1}{a} + \frac{a}{9} + \frac{8a}{9} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{a}{9}} + \frac{8.3}{9} = \frac{10}{3}$ $P = \frac{1}{a} + \frac{a}{9} + \frac{8a}{9} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{a}{9}} + \frac{8.3}{9} = \frac{10}{3}$

$\Rightarrow MinP = \frac{10}{3} \Leftrightarrow a = 3$ $\Rightarrow MinP = \frac{10}{3} \Leftrightarrow a = 3$

Ngoài cách phân tích trên, ta còn có nhiều hướng tư duy khác:

Hướng 2:

Ta có: $P = \left( a + \frac{9}{a} \right) - \frac{10}{3} \geq 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$ $P = \left( a + \frac{9}{a} \right) - \frac{10}{3} \geq 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$

$\Rightarrow \min P = \frac{10}{3} \Leftrightarrow a = 3$ $\Rightarrow \min P = \frac{10}{3} \Leftrightarrow a = 3$

Hướng 3:

$P - \frac{10}{3} = a + \frac{1}{a} - \frac{10}{3} = \frac{3a^{2} - 10a + 3}{3a}$ $P - \frac{10}{3} = a + \frac{1}{a} - \frac{10}{3} = \frac{3a^{2} - 10a + 3}{3a}$

$= \frac{3(a - 3)^{2} + 8(a - 3)}{3a} \geq 0 \Rightarrow P \geq \frac{10}{3}$ $= \frac{3(a - 3)^{2} + 8(a - 3)}{3a} \geq 0 \Rightarrow P \geq \frac{10}{3}$

Đẳng thức xảy ra tại $a = 3$

c) Hướng 1: Ta dễ thấy điẻm rơi đạt tại $a = 2$

Khi đó: $P = a^{2} + \frac{1}{a} = \left( a^{2} + \frac{8}{a} + \frac{8}{a} \right) - \frac{15}{a} \geq 3\sqrt[3]{64} - \frac{15}{2} = \frac{9}{2}$ $P = a^{2} + \frac{1}{a} = \left( a^{2} + \frac{8}{a} + \frac{8}{a} \right) - \frac{15}{a} \geq 3\sqrt[3]{64} - \frac{15}{2} = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow \min P = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 2$ $\Rightarrow \min P = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 2$

Hướng 2:

Ta có:

$P = a^{2} + \frac{1}{a} = \left( \frac{1}{2a} + \frac{1}{2a} + \frac{a^{2}}{16} \right) + \frac{15}{16}a^{2}$ $P = a^{2} + \frac{1}{a} = \left( \frac{1}{2a} + \frac{1}{2a} + \frac{a^{2}}{16} \right) + \frac{15}{16}a^{2}$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}} + \frac{15}{16}.4 = \frac{3}{4} + \frac{15}{4} = \frac{9}{2}$ $\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}} + \frac{15}{16}.4 = \frac{3}{4} + \frac{15}{4} = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow \min P = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 2$ $\Rightarrow \min P = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 2$

Hướng 3:

$P - \frac{9}{2} = a^{2} + \frac{1}{a} - \frac{9}{2} = \frac{2a^{3} - 9a + 2}{2a}$ $P - \frac{9}{2} = a^{2} + \frac{1}{a} - \frac{9}{2} = \frac{2a^{3} - 9a + 2}{2a}$

$= \frac{(a - 2)\left( 2a^{2} + 4a - 1 \right)}{2a} \geq 0(\forall a \geq 2) \Rightarrow P \geq \frac{9}{2}$ $= \frac{(a - 2)\left( 2a^{2} + 4a - 1 \right)}{2a} \geq 0(\forall a \geq 2) \Rightarrow P \geq \frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra tại $a = 2$

Hướng 4:

$P = (a - 2)^{2} + \left( 4a + \frac{16}{a} \right) - \frac{15}{a} - 4 \geq 0 + 2\sqrt{64} - \frac{15}{2} - 4 = \frac{9}{2}$ $P = (a - 2)^{2} + \left( 4a + \frac{16}{a} \right) - \frac{15}{a} - 4 \geq 0 + 2\sqrt{64} - \frac{15}{2} - 4 = \frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra tại $a = 2$

d) Hướng 1: Ta dễ thấy điẻm rơi đạt tại $a = 2$

Ta có: $P = \frac{1}{a^{2}} + \frac{a}{8} + \frac{a}{8} + \frac{3a}{4} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}} + \frac{3}{4}.2 = \frac{9}{4}$ $P = \frac{1}{a^{2}} + \frac{a}{8} + \frac{a}{8} + \frac{3a}{4} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}} + \frac{3}{4}.2 = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow \min P = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = 2$ $\Rightarrow \min P = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = 2$

Hướng 2:

Ta có: $P = \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{4}{a^{2}} \right) - \frac{3}{a^{2}} \geq 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ $P = \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{4}{a^{2}} \right) - \frac{3}{a^{2}} \geq 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow MinP = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = 2$ $\Rightarrow MinP = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = 2$

Hướng 3:

Xét hiệu:

$P - \frac{9}{4} = \frac{1}{a^{2}} + a - \frac{9}{4} = \frac{4a^{3} - 9a^{2} + 4}{4a^{2}}$ $P - \frac{9}{4} = \frac{1}{a^{2}} + a - \frac{9}{4} = \frac{4a^{3} - 9a^{2} + 4}{4a^{2}}$

$= \frac{(a - 2)\left( 4a^{2} - a - 2 \right)}{4a^{2}} \geq 0\ (\forall a \geq 2) \Rightarrow P \geq \frac{9}{4}.$ $= \frac{(a - 2)\left( 4a^{2} - a - 2 \right)}{4a^{2}} \geq 0\ (\forall a \geq 2) \Rightarrow P \geq \frac{9}{4}.$

Dấu bằng xảy ra tại $a = 2.$

Hướng 4:

Ta có: $P = \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{a} + \frac{a}{4} \right) + \frac{3a}{4} - \frac{1}{4} \geq 0 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.$ $P = \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{a} + \frac{a}{4} \right) + \frac{3a}{4} - \frac{1}{4} \geq 0 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.$

Đẳng thức xảy ra khi $a = 2.$

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt x + \sqrt y$ $A = \sqrt x + \sqrt y$.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \sqrt {xy} \ge 4$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \sqrt {xy} \ge 4$

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$\sqrt x + \sqrt y \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } = 2\sqrt 4 = 4$ $\sqrt x + \sqrt y \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } = 2\sqrt 4 = 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4$ $\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4$

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}$ $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}$

Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}.\frac{1}{{2a}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{3}{2}$ $\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}.\frac{1}{{2a}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{3}{2}$

Tương tự ta có $\frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} \ge \frac{3}{2}$ $\frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} \ge \frac{3}{2}$ và $\frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge \frac{3}{2}$ $\frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge \frac{3}{2}$

Cộng vế với vế ta có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge 3.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ $\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge 3.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{4} + \frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} \ge \frac{9}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{4} + \frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} \ge \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{2} + \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{9}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{2} + \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 4: Cho $x;y$ là các số thực dương và thỏa mãn $x + y \leq 1$ $x + y \leq 1$. Tìm GTNN của biểu thức: $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}.$ $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $1 \geq x + y \geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow 0 < xy \leq \frac{1}{4}.$ $1 \geq x + y \geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow 0 < xy \leq \frac{1}{4}.$

Từ đó: $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} \geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} = 2\sqrt{\frac{1 + x^{2}y^{2}}{xy}} = 2\sqrt{\frac{1}{xy} + xy}$ $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} \geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} = 2\sqrt{\frac{1 + x^{2}y^{2}}{xy}} = 2\sqrt{\frac{1}{xy} + xy}$

Đặt: $t = xy\left( 0 < t \leq \frac{1}{4} \right) \Rightarrow P \geq 2\sqrt{t + \frac{1}{t}} = 2\sqrt{\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t}} \geq 2.\frac{\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17}.$ $t = xy\left( 0 < t \leq \frac{1}{4} \right) \Rightarrow P \geq 2\sqrt{t + \frac{1}{t}} = 2\sqrt{\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t}} \geq 2.\frac{\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17}.$

Vì: $\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t} \geq 2\sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{15}{4} = \frac{17}{4} \Rightarrow \sqrt{\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$ $\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t} \geq 2\sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{15}{4} = \frac{17}{4} \Rightarrow \sqrt{\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $t = \frac{1}{4} \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}.$ $t = \frac{1}{4} \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}.$

Vậy $MinP = \sqrt{17} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$ $MinP = \sqrt{17} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$

Bài 5: Cho $x;y$ là các số thực dương và thỏa mãn $\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right) \geq 4$ $\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right) \geq 4$. Tìm GTNN của biểu thức: $P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x}.$ $P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x}.$

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại $x = y = 1$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 2\sqrt{x} \\ y + 1 \geq 2\sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 \geq 2\left( \sqrt{x} + 1 \right) > 0 \\ y + 3 \geq 2\left( \sqrt{y} + 1 \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 2\sqrt{x} \\ y + 1 \geq 2\sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 \geq 2\left( \sqrt{x} + 1 \right) > 0 \\ y + 3 \geq 2\left( \sqrt{y} + 1 \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow (x + 3) + (y + 3) \geq 2\left\lbrack \left( \sqrt{x} + 1 \right) + \left( \sqrt{y} + 1 \right) \right\rbrack \geq 4\sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right)} \geq 8 \Leftrightarrow x + y \geq 2$ $\Rightarrow (x + 3) + (y + 3) \geq 2\left\lbrack \left( \sqrt{x} + 1 \right) + \left( \sqrt{y} + 1 \right) \right\rbrack \geq 4\sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right)} \geq 8 \Leftrightarrow x + y \geq 2$

Từ đó: $P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq \frac{(x + y)^{2}}{x + y} = x + y \geq 2$ $P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq \frac{(x + y)^{2}}{x + y} = x + y \geq 2$. Vậy: $MinP = 2 \Leftrightarrow x = y = 1$ $MinP = 2 \Leftrightarrow x = y = 1$.

Bài 6: Cho $a,b$ là các số thực dương và thỏa mãn $(1 + a)(1 + b) = \frac{9}{4}$ $(1 + a)(1 + b) = \frac{9}{4}$. Tìm GTNN của biểu thức: $P = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}}$ $P = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}}$.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh rằng: $\sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \sqrt{4 + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}},\ \forall a,b$ $\sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \sqrt{4 + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}},\ \forall a,b$

Thật vậy, bình phương hai vế ta được:

$a^{4} + b^{4} + 2 + 2\sqrt{\left( 1 + a^{4} \right)\left( 1 + b^{4} \right)} \geq a^{4} + b^{4} + 2a^{2}b^{2} + 4$ $a^{4} + b^{4} + 2 + 2\sqrt{\left( 1 + a^{4} \right)\left( 1 + b^{4} \right)} \geq a^{4} + b^{4} + 2a^{2}b^{2} + 4$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left( 1 + a^{4} \right)\left( 1 + b^{4} \right)} \geq a^{2}b^{2} + 1 \Leftrightarrow a^{4}b^{4} + a^{4} + b^{4} + 1 \geq a^{4}b^{4} + 2a^{2}b^{2} + 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{\left( 1 + a^{4} \right)\left( 1 + b^{4} \right)} \geq a^{2}b^{2} + 1 \Leftrightarrow a^{4}b^{4} + a^{4} + b^{4} + 1 \geq a^{4}b^{4} + 2a^{2}b^{2} + 1$

$\Leftrightarrow \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} \geq 0,\forall a,b$ $\Leftrightarrow \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} \geq 0,\forall a,b$

Mà $\frac{9}{4} = (1 + a)(1 + b) = ab + a + b + 1 \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + a^{2} + \frac{1}{4} + b^{2} + \frac{1}{4} + 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ $\frac{9}{4} = (1 + a)(1 + b) = ab + a + b + 1 \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + a^{2} + \frac{1}{4} + b^{2} + \frac{1}{4} + 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$

Từ đó $\sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \sqrt{4 + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}} \geq \sqrt{4 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ $\sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \sqrt{4 + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}} \geq \sqrt{4 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$.

Bài 7: Cho $a$,$b$,$c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c$ $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c$.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{a^{3}}{bc} + b + c \geq 3a \\ \dfrac{b^{3}}{ca} + c + a \geq 3b \\ \dfrac{c^{3}}{ab} + a + b \geq 3c. \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{a^{3}}{bc} + b + c \geq 3a \\ \dfrac{b^{3}}{ca} + c + a \geq 3b \\ \dfrac{c^{3}}{ab} + a + b \geq 3c. \\ \end{matrix} \right.$. Cộng vế được: $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c.$ $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a = b = c.$

Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số dương.

Ta có: $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4a.$ $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4a.$

Tương tự ta có: $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4b$ $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4b$, $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4c$ $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4c$

Cộng vế được: $4\left( \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \right) \geq 4(a + b + c) \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c$ $4\left( \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \right) \geq 4(a + b + c) \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c$.

Cách 3:

Ta có: $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} = \frac{a^{4}}{abc} + \frac{b^{4}}{abc} + \frac{c^{4}}{abc} \geq \frac{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}{3abc}$ $\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} = \frac{a^{4}}{abc} + \frac{b^{4}}{abc} + \frac{c^{4}}{abc} \geq \frac{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}{3abc}$.

Ta cần chứng minh:

$\frac{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}{3abc} \geq a + b + c \Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2} \geq 3abc(a + b + c)$ $\frac{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}{3abc} \geq a + b + c \Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2} \geq 3abc(a + b + c)$.

Thật vậy: $\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2} \geq (ab + bc + ca)^{2} \geq 3abc(a + b + c)$ $\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2} \geq (ab + bc + ca)^{2} \geq 3abc(a + b + c)$.

Cách 4: Dùng biến đổi tương đương.

Ta có: $\frac{a^{4}}{abc} + \frac{b^{4}}{abc} + \frac{c^{4}}{abc} \geq a + b + c \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq abc(a + b + c)$ $\frac{a^{4}}{abc} + \frac{b^{4}}{abc} + \frac{c^{4}}{abc} \geq a + b + c \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq abc(a + b + c)$.

$\Leftrightarrow \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} + \left( b^{2} - c^{2} \right)^{2} + \left( c^{2} - a^{2} \right)^{2} + (ab - bc)^{2} + (bc - ca)^{2} + (ca - ab)^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} + \left( b^{2} - c^{2} \right)^{2} + \left( c^{2} - a^{2} \right)^{2} + (ab - bc)^{2} + (bc - ca)^{2} + (ca - ab)^{2} \geq 0$.

Bài 8: Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq 6$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq 6$

Ta dễ dàng chứng minh được: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}$.

Hướng dẫn giải

Thật vậy: $\frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}} = \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$ $\frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}} = \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$.

Tương tự: $\frac{b}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}$ $\frac{b}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}$, $\frac{c}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} \geq \frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}$ $\frac{c}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} \geq \frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}$.

Cộng vế ta được:

$3\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq 3\left( \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} \right) \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}$ $3\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq 3\left( \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} \right) \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}$.

Từ đó: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq 2\sqrt{9} = 6$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq 2\sqrt{9} = 6$.

Đẳng thức xảy ra khi: $a = b = c$.

Vậy: $MinP = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ $MinP = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$.

Bài 8: Giải phương trình: $\frac{2^{x}}{4^{x} + 1} + \frac{4^{x}}{2^{x} + 1} + \frac{2^{x}}{2^{x} + 4^{x}} = \frac{3}{2}$ $\frac{2^{x}}{4^{x} + 1} + \frac{4^{x}}{2^{x} + 1} + \frac{2^{x}}{2^{x} + 4^{x}} = \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Nếu đặt t =2^x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt $\left\{ \begin{matrix} a = 2^{x} \\ b = 4^{x} \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ ,a,b > 0\$ $\left\{ \begin{matrix} a = 2^{x} \\ b = 4^{x} \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ ,a,b > 0\$

Khi đó phương trình có dạng: $\frac{a}{b + 1} + \frac{b}{a + 1} + \frac{1}{a + b} = \frac{3}{2}$ $\frac{a}{b + 1} + \frac{b}{a + 1} + \frac{1}{a + b} = \frac{3}{2}$

Vế trái của phương trình:

$VT = \left( \frac{a}{b + 1} + 1 \right) + \left( \frac{b}{a + 1} + 1 \right) + \left( \frac{1}{a + b} + 1 \right) - 3$ $VT = \left( \frac{a}{b + 1} + 1 \right) + \left( \frac{b}{a + 1} + 1 \right) + \left( \frac{1}{a + b} + 1 \right) - 3$

$= \left( \frac{a + b + 1}{b + 1} \right) + \left( \frac{a + b + 1}{a + 1} \right) + \left( \frac{a + b + 1}{a + b} \right) - 3$ $= \left( \frac{a + b + 1}{b + 1} \right) + \left( \frac{a + b + 1}{a + 1} \right) + \left( \frac{a + b + 1}{a + b} \right) - 3$

$= (a + b + 1)\left( \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + b} \right) - 3$ $= (a + b + 1)\left( \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + b} \right) - 3$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack (b + 1) + (a + 1) + (a + b) \right\rbrack\left( \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + b} \right) - 3$ $= \frac{1}{2}\left\lbrack (b + 1) + (a + 1) + (a + b) \right\rbrack\left( \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + b} \right) - 3$

$\geq \frac{1}{2}3\ \sqrt[3]{(a + 1)(b + 1)(a + b)}.\frac{3}{\sqrt[3]{(a + 1)(b + 1)(a + b)}} - 3 = \frac{3}{2}$ $\geq \frac{1}{2}3\ \sqrt[3]{(a + 1)(b + 1)(a + b)}.\frac{3}{\sqrt[3]{(a + 1)(b + 1)(a + b)}} - 3 = \frac{3}{2}$

Vậy phương trình tương đương với:

$a + 1 = b + 1 = a + b \Leftrightarrow a = b = 1 \Leftrightarrow 2^{x} = 4^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ $a + 1 = b + 1 = a + b \Leftrightarrow a = b = 1 \Leftrightarrow 2^{x} = 4^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$.

Bài 9: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1}$ $P = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1}$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

P = 3 - ( $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1}$ $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1}$) = 3 – Q.

Theo BĐT Côsi, nếu a, b, c > 0 thì

$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

$\Rightarrow (a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9$ $\Rightarrow (a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9$

$\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}$ $\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}$

Suy ra Q = $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} \geq \frac{9}{4}$ $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} \geq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ - Q $\leq - \frac{9}{4}$ $\leq - \frac{9}{4}$ nên P = 3 – Q $\leq$ $\leq$ 3- $\frac{9}{4}$ $\frac{9}{4}$= $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$

Vậy max P = $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$ .khi x = y = z = $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$.

Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2} + bc} + \frac{1}{b^{2} + ac} + \frac{1}{c^{2} + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc}$ $\frac{1}{a^{2} + bc} + \frac{1}{b^{2} + ac} + \frac{1}{c^{2} + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc}$

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

$a^{2} + + bc \geq 2a\sqrt{bc}$ $a^{2} + + bc \geq 2a\sqrt{bc}$ $\Rightarrow \frac{2}{a^{2} + + bc} \leq \frac{1}{a\sqrt{bc}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} \right)$ $\Rightarrow \frac{2}{a^{2} + + bc} \leq \frac{1}{a\sqrt{bc}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} \right)$

Tương tự:

$\frac{2}{b^{2} + + ac} \leq \frac{1}{b\sqrt{ac}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ab} \right)$ $\frac{2}{b^{2} + + ac} \leq \frac{1}{b\sqrt{ac}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ab} \right)$

$\Rightarrow \frac{2}{c^{2} + + ab} \leq \frac{1}{c\sqrt{ab}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} \right)$ $\Rightarrow \frac{2}{c^{2} + + ab} \leq \frac{1}{c\sqrt{ab}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} \right)$

$\Rightarrow \frac{2}{a^{2} + bc} + \frac{2}{b^{2} + + ac} + \frac{2}{c^{2} + + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc}$ $\Rightarrow \frac{2}{a^{2} + bc} + \frac{2}{b^{2} + + ac} + \frac{2}{c^{2} + + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc}$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Bài 11: CMR trong tam giác ABC: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{c + a - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{c + a - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ (*)

Hướng dẫn giải

Theo bất đẳng thức Côsi :

$\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{c + a - b} + \frac{c}{a + b - c}$ $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{c + a - b} + \frac{c}{a + b - c}$ $\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)}}(1)$ $\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)}}(1)$

Cũng theo bất đẳng thức Côsi:

$\sqrt{(b + c - a)(c + a - b)} \leq \frac{1}{2}(b + c - a + c + a - b) = c\ \ \ (2)$ $\sqrt{(b + c - a)(c + a - b)} \leq \frac{1}{2}(b + c - a + c + a - b) = c\ \ \ (2)$

Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được

$(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) \leq abc$ $(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) \leq abc$

$\rightarrow \frac{abc}{(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)} \geq 1\ \ \ (3)$ $\rightarrow \frac{abc}{(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)} \geq 1\ \ \ (3)$

Từ (1), (3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều.

Bài 12: Cho $\left\{ \begin{matrix} 0 < a \leq b \leq c \\ 0 < x,y,z \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 0 < a \leq b \leq c \\ 0 < x,y,z \\ \end{matrix} \right.$. Chứng minh rằng:

$(ax + by + cz)\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq \frac{(a + c)^{2}}{4ac}(x + y + z)^{2}$ $(ax + by + cz)\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq \frac{(a + c)^{2}}{4ac}(x + y + z)^{2}$

Giải:

Đặt $f(x) = x^{2} - (a + c)x + ac = 0$ $f(x) = x^{2} - (a + c)x + ac = 0$ có 2 nghiệm a, c

Mà: $a \leq b \leq c \Rightarrow f(b) \leq 0 \Leftrightarrow b^{2} - (a + c)b + ac \leq 0$ $a \leq b \leq c \Rightarrow f(b) \leq 0 \Leftrightarrow b^{2} - (a + c)b + ac \leq 0$

$\Leftrightarrow b + \frac{ac}{b} \leq a + c$ $\Leftrightarrow b + \frac{ac}{b} \leq a + c$ $\Leftrightarrow yb + ac\frac{y}{b} \leq (a + c)y$ $\Leftrightarrow yb + ac\frac{y}{b} \leq (a + c)y$

$\Rightarrow \left( xa + ac\frac{x}{a} \right) + (yb + ac\frac{y}{b}) + (zc + ac\frac{z}{c})$ $\Rightarrow \left( xa + ac\frac{x}{a} \right) + (yb + ac\frac{y}{b}) + (zc + ac\frac{z}{c})$ $\leq (a + c)x + (a + c)y + (a + c)z$ $\leq (a + c)x + (a + c)y + (a + c)z$

$\Rightarrow xa + yb + zc + ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq (a + c)(x + y + z)$ $\Rightarrow xa + yb + zc + ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq (a + c)(x + y + z)$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\Rightarrow 2\sqrt{(xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right)} \leq (a + c)(x + y + z)$ $\Rightarrow 2\sqrt{(xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right)} \leq (a + c)(x + y + z)$

$\Leftrightarrow 4(xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq (a + c)^{2}(x + y + z)^{2}$ $\Leftrightarrow 4(xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq (a + c)^{2}(x + y + z)^{2}$

$\Leftrightarrow (xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq \frac{(a + c)^{2}}{4ac}(x + y + z)^{2}(đpcm)$ $\Leftrightarrow (xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq \frac{(a + c)^{2}}{4ac}(x + y + z)^{2}(đpcm)$

Bài 13: Cho x, y, z > 0 và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z}$ $P = \frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z}$

Hướng dẫn giải

Ta có

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y};\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{y + z}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y};\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{y + z}$

$\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{x + y} + \frac{4}{y + z} \geq \frac{16}{x + 2y + z}$ $\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{x + y} + \frac{4}{y + z} \geq \frac{16}{x + 2y + z}$

$\Rightarrow \frac{1}{x + 2y + z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} \right)$ $\Rightarrow \frac{1}{x + 2y + z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} \right)$; $\frac{1}{2x + y + z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)$ $\frac{1}{2x + y + z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)$; $\frac{1}{x + y + 2z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{2}{z} \right)$ $\frac{1}{x + y + 2z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{2}{z} \right)$

$S \leq \frac{1}{16}\left( \frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{4}{z} \right) = 1$ $S \leq \frac{1}{16}\left( \frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{4}{z} \right) = 1$

Bài 14: Chứng minh rằng với mọi $x \in R$ $x \in R$, ta có $\left( \frac{12}{5} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} + \left( \frac{20}{3} \right)^{x} \geq 3^{x} + 4^{x} + 5^{x}$ $\left( \frac{12}{5} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} + \left( \frac{20}{3} \right)^{x} \geq 3^{x} + 4^{x} + 5^{x}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left( \frac{12}{5} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} \geq 2\sqrt{\left( \frac{12}{5} \right)^{x}.\left( \frac{15}{4} \right)^{x}} = 2.3^{x}$ $\left( \frac{12}{5} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} \geq 2\sqrt{\left( \frac{12}{5} \right)^{x}.\left( \frac{15}{4} \right)^{x}} = 2.3^{x}$

Tương tự: $\left( \frac{20}{3} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} \geq 2.5^{x}$ $\left( \frac{20}{3} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} \geq 2.5^{x}$; $\left( \frac{20}{3} \right)^{x} + \left( \frac{12}{5} \right)^{x} \geq 2.4^{x}$ $\left( \frac{20}{3} \right)^{x} + \left( \frac{12}{5} \right)^{x} \geq 2.4^{x}$

Cộng các vế tương ứng => điều phải chứng minh.

Bài 15: Cho $x,y > 0$và thỏa mãn $x + y \leq 1.$ $x + y \leq 1.$ Tìm GTNN của $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + 4xy.$ $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + 4xy.$

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: $x = y = \frac{1}{2}.$ $x = y = \frac{1}{2}.$

$P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + 4xy$ $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + 4xy$

$= \left( \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy} \right) + \left( 4xy + \frac{1}{4xy} \right) + \frac{1}{4xy}$ $= \left( \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy} \right) + \left( 4xy + \frac{1}{4xy} \right) + \frac{1}{4xy}$

$\geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + 2 + \frac{1}{(x + y)^{2}} \geq 7.$ $\geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + 2 + \frac{1}{(x + y)^{2}} \geq 7.$

Vậy: $MinP = 7 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$ $MinP = 7 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$

III. Bài tập bất đẳng thức lớp 9

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x}$ $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x}$với x > 0

(gợi ý: biến đổi $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x} = \frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + \frac{{36}}{x}$ $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x} = \frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + \frac{{36}}{x}$ rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, $C = \frac{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}}{x}$ $C = \frac{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}}{x}$ với x > 0

c, $D = \frac{x}{3} + \frac{3}{{x - 2}}$ $D = \frac{x}{3} + \frac{3}{{x - 2}}$với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + \frac{1}{y} + \frac{4}{{x - y}}$ $P = x + \frac{1}{y} + \frac{4}{{x - y}}$ với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi $P = x - y + \frac{4}{{x - y}} + y + \frac{1}{y}$ $P = x - y + \frac{4}{{x - y}} + y + \frac{1}{y}$)

Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:

$\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$ $\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c} \ge 6$ $\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c} \ge 6$

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)

Bài 5. Cho $x,y > 0$và thỏa mãn $x + y \leq 1.$ $x + y \leq 1.$ Tìm GTNN của $P = \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}.$ $P = \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}.$

Bài 6. Cho $x,\ y > 0$ $x,\ y > 0$ và thỏa mãn $x + y \leq 4$ $x + y \leq 4$. Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{35}{xy} + 2xy$ $P = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{35}{xy} + 2xy$.

Bài 7. Cho $a,\ b > 0$ $a,\ b > 0$ và thỏa mãn $a + b \leq 4$ $a + b \leq 4$. Tìm GTNN của biểu thức $S = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{25}{ab} + ab$ $S = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{25}{ab} + ab$.

Bài 8. Cho $x,\ y > 0$ $x,\ y > 0$ và thỏa mãn $(x + y - 1)^{2} = xy$ $(x + y - 1)^{2} = xy$. Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{\sqrt{xy}}{x + y}$ $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{\sqrt{xy}}{x + y}$.

Bài 9. Cho $x,\ y > 0$ $x,\ y > 0$ và thỏa mãn $xy + 4 \leq 2y$ $xy + 4 \leq 2y$. Tìm GTNN của biểu thức $A = \frac{x^{2} + 2y^{2}}{xy}$ $A = \frac{x^{2} + 2y^{2}}{xy}$.

Bài 10. Cho $a,\ b > 0$ $a,\ b > 0$ và thỏa mãn $ab + 4 \leq 2b$ $ab + 4 \leq 2b$. Tìm GTLN của biểu thức $B = \frac{ab}{a^{2} + 2b^{2}}$ $B = \frac{ab}{a^{2} + 2b^{2}}$.

Bài 11. Cho $x,\ y > 0$ $x,\ y > 0$ và thỏa mãn $xy + 1 \leq x$ $xy + 1 \leq x$. Tìm GTLN của biểu thức $Q = \frac{x + y}{\sqrt{3x^{2} - xy + y^{2}}}$ $Q = \frac{x + y}{\sqrt{3x^{2} - xy + y^{2}}}$.

-----------------------------------------------------------------

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

Tải về

Chọn file muốn tải về: