Bất đẳng thức Cô si

Bất đẳng thức Cô si là một dạng toán nâng cao có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 và giúp các bạn học sinh đạt được điểm 9, 10 trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài liên quan đến bất đẳng thức Cauchy để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Cô si của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

+ Nghĩa là:

- Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:

\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

- Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm: 

\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi {x_1} = {x_2} = ... = {x_n}

2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b không âm

+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. Với a, b > 0, ta chứng minh:

\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \end{array}

Suy ra bất đẳng thức luôn đúng với mọi a, b không âm

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

+ Hệ quả 1: nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

+ Hệ quả 2: nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

II. Bài tập về bất đẳng thức Cô si lớp 9

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + \frac{7}{x} với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:

x + \frac{7}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{7}{x}} = 2\sqrt 7

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = \frac{7}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7(do x > 0)

Vậy minA = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = \sqrt x + \sqrt y

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \sqrt {xy} \ge 4

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

\sqrt x + \sqrt y \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } = 2\sqrt 4 = 4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{array}{l} x = y\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}

Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:

\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}.\frac{1}{{2a}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{3}{2}

Tương tự ta có \frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} \ge \frac{3}{2}\frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge \frac{3}{2}

Cộng vế với vế ta có:

\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge 3.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}

\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{4} + \frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} \ge \frac{9}{2}

\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{2} + \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{9}{2}

\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

III. Bài tập về bất đẳng thức Cô si

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x}với x > 0

(gợi ý: biến đổi B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x} = \frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + \frac{{36}}{x} rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, C = \frac{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}}{x} với x > 0

c, D = \frac{x}{3} + \frac{3}{{x - 2}}với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + \frac{1}{y} + \frac{4}{{x - y}} với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi P = x - y + \frac{4}{{x - y}} + y + \frac{1}{y})

Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:

\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c} \ge 6

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Đánh giá bài viết
1 373
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm