VnDoc.com

Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án

Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án

Bạn đang tìm kiếm tài liệu bài tập phương trình bậc hai có đáp án giúp luyện tập và nâng cao kỹ năng giải Toán? Tài liệu dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ các dạng phương trình bậc hai lớp 9, bao gồm: phương trình có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm kép, nghiệm nguyên, cũng như các bài toán vận dụng nâng cao.

Với hệ thống bài tập phân loại rõ ràng, bám sát chương trình Toán THCS, kèm theo lời giải chi tiết, dễ hiểu, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận kiến thức và tự kiểm tra kết quả học tập của mình. Đây là tài liệu ôn tập lý tưởng dành cho học sinh lớp 9 chuẩn bị thi học kỳ, ôn thi vào lớp 10 hoặc muốn rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc hai một cách bài bản và hiệu quả. Cùng bắt đầu luyện tập ngay nào!

Các dạng bài tập phương trình bậc hai

Bài tập 1: Giải các phương trình bậc hai sau:

TT	PTBH	TT	PTBH
1	x² - 11x + 30 = 0	41	x² - 16x + 84 = 0
2	x² - 10x + 21 = 0	42	x² + 2x - 8 = 0
3	x² - 12x + 27 = 0	43	5x² + 8x + 4 = 0
4	5x² - 17x + 12 = 0	44	x² – 2(√3 + √2)x + 4√6 = 0
5	3x² - 19x - 22 = 0	45	11x² + 13x - 24 = 0
6	x² - (1+√2)x + √2 = 0	46	x² - 11x + 30 = 0
7	x² - 14x + 33 = 0	47	x² - 13x + 42 = 0
8	6x² - 13x - 48 = 0	48	11x² - 13x - 24 = 0
9	3x² + 5x + 61 = 0	49	x² - 13x + 40 = 0
10	x² - √3x - 2 - √6 = 0	50	3x² + 5x - 1 = 0
11	x² - 24x + 70 = 0	51	5x² + 7x - 1 = 0
12	x² - 6x - 16 = 0	52	3x² - 2√3x - 3 = 0
13	2x² + 3x + 1 = 0	53	x² - 2√2x + 1 = 0
14	x² - 5x + 6 = 0	54	x² - 2(√3-1)x - 2√3 = 0
15	3x² + 2x + 5 = 0	55	11x² + 13x + 24 = 0
16	2x² + 5x - 3 = 0	56	x² + 13x + 42 = 0
17	x² - 7x - 2 = 0	57	11x² - 13x - 24 = 0
18	3x² - 2√3x - 2 = 0	58	2x² - 3x - 5 = 0
19	-x² - 7x - 13 = 0	59	x² - 4x + 4 = 0
20	√2x² – 2(√3-1)x -3√2 = 0	60	x² - 7x + 10 = 0
21	3x² - 2x - 1 = 0	61	4x² + 11x - 3 = 0
22	x² - 8x + 15 = 0	62	3x² + 8x - 3 = 0
23	2x² + 6x + 5 = 0	63	x² + x + 1 = 0
24	5x² + 2x - 3 = 0	64	x² + 16x + 39 = 0
25	x² + 13x + 42 = 0	65	3x² - 8x + 4 = 0
26	x² - 10x + 2 = 0	66	4x² + 21x - 18 = 0
27	x² - 7x + 10 = 0	67	4x² + 20x + 25 = 0
28	5x² + 2x - 7 = 0	68	2x² - 7x + 7 = 0
29	4x² - 5x + 7 = 0	69	-5x² + 3x - 1 = 0
30	x² - 4x + 21 = 0	70	x² - 2√3x - 6 = 0
31	5x² + 2x -3 = 0	71	x² - 9x + 18 = 0
32	4x² + 28x + 49 = 0	72	3x² + 5x + 4 = 0
33	x² - 6x + 48 = 0	73	x² + 5 = 0
34	3x² - 4x + 2 = 0	74	x² - 4 = 0
35	x² - 16x + 84 = 0	75	x² - 2x = 0
36	x² + 2x - 8 = 0	76	x⁴ - 13x² + 36 = 0
37	5x² + 8x + 4 = 0	77	9x⁴ + 6x² + 1 = 0
38	x² – 2(√3 + √2)x + 4√6 = 0	78	2x⁴ + 5x² + 2 = 0
39	x² - 6x + 8 = 0	79	2x⁴ - 7x² - 4 = 0
40	3x² - 4x + 2 = 0	80	x⁴ - 5x² + 4 = 0

Bài 2: Tìm x, y trong các trường hợp sau:

a)	x + y = 17, x.y = 180	e)	x² + y² = 61, x.y = 30
b)	x + y = 25, x.y = 160	f)	x - y = 6, x.y = 40
c)	x + y = 30, x²+ y² = 650	g)	x - y = 5, x.y = 66
d)	x + y = 11 x.y = 28	h)	x² + y² = 25 x.y = 12

Bài tập 3:

a) Phương trình $x^{2} - 2px + 5 = 0$ $x^{2} - 2px + 5 = 0$. Có một nghiệm bằng 2, tìm $p$ và nghiệm thứ hai.

b) Phương trình $x^{2} + 5x + q = 0$ $x^{2} + 5x + q = 0$ có một nghiệm bằng 5, tìm $q$ và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình: $x^{2} - 7x + q = 0$ $x^{2} - 7x + q = 0$, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm $q$ và hai nghiệm của phương trình.

d) Tìm $q$ và hai nghiệm của phương trình: $x^{2} - qx + 50 = 0$ $x^{2} - qx + 50 = 0$, biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Hướng dẫn

a) Thay $x_{1} = 2v$ $x_{1} = 2v$ à phương trình ban đầu ta được:

$4 - 4p + 5 = 0 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$ $4 - 4p + 5 = 0 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$

Từ $x_{1}x_{2} = 5$ $x_{1}x_{2} = 5$ suy ra $x_{2} = \frac{5}{x_{1}} = \frac{5}{2}$ $x_{2} = \frac{5}{x_{1}} = \frac{5}{2}$

b) Thay $x_{1} = 5v$ $x_{1} = 5v$ $x_{1} = 5$ $x_{1} = 5$ và phương trình ban đầu ta được: $25 + 25 + q = 0 \Rightarrow q = - 50$ $25 + 25 + q = 0 \Rightarrow q = - 50$

Từ $x_{1}.x_{2} = - 50$ $x_{1}.x_{2} = - 50$ suy ra $x_{2} = \frac{- 50}{x_{1}} = \frac{- 50}{5} = - 10$ $x_{2} = \frac{- 50}{x_{1}} = \frac{- 50}{5} = - 10$

c) Vì vai trò của $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ bình đẳng nên theo đề bài giả sử $x_{1} - x_{2} = 11$ $x_{1} - x_{2} = 11$ và theo VI-ÉT ta có $x_{1} + x_{2} = 7$ $x_{1} + x_{2} = 7$, ta giải hệ sau: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} = 11 \\ x_{1} + x_{2} = 7 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 9 \\ x_{2} = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} = 11 \\ x_{1} + x_{2} = 7 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 9 \\ x_{2} = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$

Suy ra $q = x_{1}x_{2} = - 18$ $q = x_{1}x_{2} = - 18$

d) Vì vai trò của $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ bình đẳng nên theo đề bài giả sử $x_{1} = 2x_{2}$ $x_{1} = 2x_{2}$ và theo VI-ÉT ta có $x_{1}x_{2} = 50$ $x_{1}x_{2} = 50$.

Suy ra $2x_{2}^{2} = 50 \Leftrightarrow x_{2}^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{2} = - 5 \\ x_{2} = 5 \\ \end{matrix} \right.$ $2x_{2}^{2} = 50 \Leftrightarrow x_{2}^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{2} = - 5 \\ x_{2} = 5 \\ \end{matrix} \right.$

Với $x_{2} = - 5$ $x_{2} = - 5$ th ì $x_{1} = - 10$ $x_{1} = - 10$

Với $x_{2} = 5$ $x_{2} = 5$ th ì $x_{1} = 10$ $x_{1} = 10$

Bài tập 4: Cho $x_{1} = 3$ $x_{1} = 3$; $x_{2} = 2$ $x_{2} = 2$ lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Hướng dẫn:

Theo hệ thức VI-ÉT ta có $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = 5 \\ P = x_{1}.x_{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = 5 \\ P = x_{1}.x_{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.$ vậy $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình có dạng:

$x^{2} - Sx + P = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5x + 6 = 0$ $x^{2} - Sx + P = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5x + 6 = 0$

Bài tập 5: Cho phương trình: $x^{2} - 3x + 2 = 0$ $x^{2} - 3x + 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là $y$ thoả mãn : $y_{1} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}}$ $y_{1} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}}$ và $y_{2} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}}$ $y_{2} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}}$
Hướng dẫn:

Theo hệ thức VI- ÉT ta có:

$S = y_{1} + y_{2} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}} + x_{1} + \frac{1}{x_{2}}$ $S = y_{1} + y_{2} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}} + x_{1} + \frac{1}{x_{2}}$

$= \left( x_{1} + x_{2} \right) + \left( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} \right)$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right) + \left( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} \right)$

$= \left( x_{1} + x_{2} \right) + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right) + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$P = y_{1}y_{2} = \left( x_{2} +\frac{1}{x_{1}} \right)\left( x_{1} + \frac{1}{x_{2}}\right)$ $P = y_{1}y_{2} = \left( x_{2} +\frac{1}{x_{1}} \right)\left( x_{1} + \frac{1}{x_{2}}\right)$

$= x_{1}x_{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x_{1}x_{2}}$ $= x_{1}x_{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x_{1}x_{2}}$

$= 2 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ $= 2 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

Vậy phương trình cần lập có dạng: $y^{2} - Sy + P = 0$ $y^{2} - Sy + P = 0$ hay $y^{2} - \frac{9}{2}y +\frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y^{2} - 9y + 9 = 0$ $y^{2} - \frac{9}{2}y +\frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y^{2} - 9y + 9 = 0$

Bài tập 6: Tìm hai số $a,b$ biết tổng $S = a + b = - 3$ và tích $P = ab = - 4$?

Bài giải:

Vì $a + b = - 3$ và $ab = - 4$ nên $a,b$ là nghiệm của phương trình: $x^{2} + 3x - 4 = 0$ $x^{2} + 3x - 4 = 0$ giải phương trình trên ta được $x_{1} = 1$ $x_{1} = 1$ và $x_{2} = - 4$ $x_{2} = - 4$

Vậy nếu $a = 1$ thì $b = - 4$; nếu $a = - 4$ thì $b = 1$

Bài tập 7. Tìm 2 số a và b biết

a + b = 9 và a₂ + b₂ = 41

a - b = 5 và ab = 36

a₂ + b₂ = 61 và ab = 30

Hướng dẫn:

1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a và b.

Từ $a + b = 9 \Rightarrow (a + b)^{2} =81$ $a + b = 9 \Rightarrow (a + b)^{2} =81$ $\Leftrightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} = 81$ $\Leftrightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} = 81$

$\Leftrightarrow ab =\frac{81 - \left( a^{2} + b^{2} \right)}{2} = 20$ $\Leftrightarrow ab =\frac{81 - \left( a^{2} + b^{2} \right)}{2} = 20$

Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng:

$x^{2} - 9x + 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 5 \\ \end{matrix} \right.$ $x^{2} - 9x + 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 5 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy: nếu $a = 4$ thì $b = 5$; nếu $a = 5$ thì $b = 4$.

2. Đã biết tích: $ab = 36$ do đó cần tìm tổng: $a + b$

Cách 1: Đặt $c = - b$ ta có $:a + c = 5$ và $a.c = - 36$

Suy ra $a,c$ là nghiệm của phương trình: $x^{2} - 5x - 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 4 \\ x_{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.$ $x^{2} - 5x - 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 4 \\ x_{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.$

Do đó

Nếu $a = - 4$ thì $c = 9$ nên $b = - 9$

Nếu $a = 9$ thì $c = - 4$ nên $b = 4$

Cách 2: Từ $(a - b)^{2} = (a + b)^{2} -4ab$ $(a - b)^{2} = (a + b)^{2} -4ab$

$\Rightarrow (a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4ab = 169$ $\Rightarrow (a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4ab = 169$

$\Rightarrow (a +b)^{2} = 13^{2}$ $\Rightarrow (a +b)^{2} = 13^{2}$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a + b = - 13 \\a + b = 13 \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a + b = - 13 \\a + b = 13 \\\end{matrix} \right.$

*) Với $a + b = - 13$ và $ab = 36$, nên a, b là nghiệm của phương trình:

$x^{2} + 13x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 4 \\ x_{2} = - 9 \\ \end{matrix} \right.$ $x^{2} + 13x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 4 \\ x_{2} = - 9 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $a = - 4$ thì $b = - 9$

*) Với $a + b = 13$ và $ab = 36$, nên a, b là nghiệm của phương trình:

$x^{2} - 13x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.$ $x^{2} - 13x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $a = 9$ thì $b = 4$

3) Đã biết $ab = 30$, do đó cần tìm $a + b$:

Từ: $a^{2} + b^{2} = 61 \Rightarrow (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ $a^{2} + b^{2} = 61 \Rightarrow (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$

$= 61 + 2.30 = 121 = 11^{2}$ $= 61 + 2.30 = 121 = 11^{2}$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a + b = - 11 \\ a + b = 11 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a + b = - 11 \\ a + b = 11 \\ \end{matrix} \right.$

*) Nếu $a + b = 11$ và $ab = 30$ thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

$x^{2} - 11x + 30 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ x_{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.$ $x^{2} - 11x + 30 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ x_{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy nếu $a = 5$ thì $b = 6$; nếu $a = 6$ thì $b = 5$.

Bài tập 8: Cho phương trình $x^{2} - 4\sqrt{3}x + 8 = 0$ $x^{2} - 4\sqrt{3}x + 8 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$, không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: $Q = \frac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}}$ $Q = \frac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}}$.

Hướng dẫn

Ta có:

$Q = \frac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}} = \frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{5x_{1}x_{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} \right\rbrack}$ $Q = \frac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}} = \frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{5x_{1}x_{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} \right\rbrack}$

$= \frac{6.(4\sqrt{3})^{2} - 2.8}{5.8\left\lbrack (4\sqrt{3})^{2} - 2.8 \right\rbrack} = \frac{17}{80}$ $= \frac{6.(4\sqrt{3})^{2} - 2.8}{5.8\left\lbrack (4\sqrt{3})^{2} - 2.8 \right\rbrack} = \frac{17}{80}$

$\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta^{$ $\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta^{'} \geq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \\ \end{matrix} \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \\ \end{matrix} \right.\ \right.$

$\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{2m}{m - 1} \\x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{m - 4}{m - 1} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2 + \dfrac{2}{m - 1}(1) \\x_{1} \cdot x_{2} = 1 - \dfrac{3}{m - 1}(2) \\\end{matrix} \right.\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{2m}{m - 1} \\x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{m - 4}{m - 1} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2 + \dfrac{2}{m - 1}(1) \\x_{1} \cdot x_{2} = 1 - \dfrac{3}{m - 1}(2) \\\end{matrix} \right.\ \right.$

Rút $m$ từ (1) ta có: $\frac{2}{m - 1} = x_{1} + x_{2} - 2$ $\frac{2}{m - 1} = x_{1} + x_{2} - 2$ $\Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2}$ $\Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2}$

Rút $m$ từ (2) ta có: $\frac{3}{m - 1} = 1 - x_{1}x_{2} \Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$ $\frac{3}{m - 1} = 1 - x_{1}x_{2} \Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

$\frac{2}{x_1 + x_2 - 2} = \frac{3}{1 -x_1x_2}$ $\frac{2}{x_1 + x_2 - 2} = \frac{3}{1 -x_1x_2}$ $\Leftrightarrow 2\left( 1 - x_{1}x_{2} \right) = 3\left( x_{1} + x_{2} - 2 \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( 1 - x_{1}x_{2} \right) = 3\left( x_{1} + x_{2} - 2 \right)$

$\Leftrightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 0$ $\Leftrightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 0$

Bài tập 9: Cho phương trình: $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$. Lập hệ thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ sao cho chúng không phụ thuộc vào $m$.

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ thì:

$\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta$ $\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta' \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.\ \right.$

Theo hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 1} \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m - 4}{m - 1} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 1} \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m - 4}{m - 1} \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 + \frac{2}{m - 1}(1) \\ x_{1} \cdot x_{2} = 1 - \frac{3}{m - 1}(2) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 + \frac{2}{m - 1}(1) \\ x_{1} \cdot x_{2} = 1 - \frac{3}{m - 1}(2) \end{matrix} \right.$

Rút $m$ từ (1) ta có:

$\frac{2}{m - 1} = x_{1} + x_{2} - 2$ $\frac{2}{m - 1} = x_{1} + x_{2} - 2$

$\Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2}$ $\Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2}$

Rút $m$ từ (2) ta có:

$\frac{3}{m - 1} = 1 - x_{1}x_{2}$ $\frac{3}{m - 1} = 1 - x_{1}x_{2}$

$\Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$ $\Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

$\frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2} = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$ $\frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2} = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$

$\Leftrightarrow 2\left( 1 - x_{1}x_{2} \right) = 3\left( x_{1} + x_{2} - 2 \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( 1 - x_{1}x_{2} \right) = 3\left( x_{1} + x_{2} - 2 \right)$

$\Leftrightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 0$ $\Leftrightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 0$

Bài tập 10: Gọi $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình: $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$. Chứng minh rằng bi thức $A = 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8$ $A = 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8$ không phụ thuộc giá trị của $m$.

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ thì:

$\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta$ $\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta' \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \end{matrix} \right.\ \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.\ \right.$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 1} \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m - 4}{m - 1} \end{matrix}\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 1} \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m - 4}{m - 1} \end{matrix}\ \right.$

Thay vào A ta có:

$= 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 3 \cdot \frac{2m}{m - 1} + 2 \cdot \frac{m - 4}{m - 1} - 8$ $= 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 3 \cdot \frac{2m}{m - 1} + 2 \cdot \frac{m - 4}{m - 1} - 8$

$A = \frac{6m + 2m - 8 - 8(m - 1)}{m - 1} = \frac{0}{m - 1} = 0$ $A = \frac{6m + 2m - 8 - 8(m - 1)}{m - 1} = \frac{0}{m - 1} = 0$

Vậy $A = 0$ với mọi $m \neq 1$ $m \neq 1$ và $m \geq \frac{4}{5}$ $m \geq \frac{4}{5}$.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào $m$.

Bài tập 11: Cho phương trình: $x^{2} - (m + 2)x + (2m - 1) = 0$ $x^{2} - (m + 2)x + (2m - 1) = 0$ có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ sao cho $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ độc lập đối với $m$.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy $\Delta = (m + 2)^{2} - 4(2m - 1)$ $\Delta = (m + 2)^{2} - 4(2m - 1)$

$= m^{2} - 4m + 8 = (m - 2)^{2} + 4 > 0$ $= m^{2} - 4m + 8 = (m - 2)^{2} + 4 > 0$

Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ Theo hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ x_{1} \cdot x_{2} = 2m - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = x_{1} + x_{2} - 2(1) \\ m = \frac{x_{1}x_{2} + 1}{2}(2) \end{matrix} \right.\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ x_{1} \cdot x_{2} = 2m - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = x_{1} + x_{2} - 2(1) \\ m = \frac{x_{1}x_{2} + 1}{2}(2) \end{matrix} \right.\ \right.$

Từ (1) và (2) ta có:

$x_{1} + x_{2} - 2 = \frac{x_{1}x_{2} + 1}{2} \Leftrightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}x_{2} - 5 = 0$ $x_{1} + x_{2} - 2 = \frac{x_{1}x_{2} + 1}{2} \Leftrightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}x_{2} - 5 = 0$

Bài tập 12: Cho phương trình : $x^{2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0$ $x^{2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0$.

Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ sao cho chúng không phụ thuộc vào $m$.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy $\Delta = (4m + 1)^{2} - 4.2(m - 4) = 16m^{2} + 33 > 0$ $\Delta = (4m + 1)^{2} - 4.2(m - 4) = 16m^{2} + 33 > 0$ do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$

Theo hệ thức Viète ta có

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - (4m + 1) \\ x_{1} \cdot x_{2} = 2(m - 4) \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m = - \left( x_{1} + x_{2} \right) - 1(1) \\ 4m = 2x_{1}x_{2} + 16(2) \end{matrix} \right.\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - (4m + 1) \\ x_{1} \cdot x_{2} = 2(m - 4) \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m = - \left( x_{1} + x_{2} \right) - 1(1) \\ 4m = 2x_{1}x_{2} + 16(2) \end{matrix} \right.\ \right.$

Từ (1) và (2) ta có:

$- \left( x_{1} + x_{2} \right) - 1 = 2x_{1}x_{2} + 16$ $- \left( x_{1} + x_{2} \right) - 1 = 2x_{1}x_{2} + 16$

$\Leftrightarrow 2x_{1}x_{2} + \left( x_{1} + x_{2} \right) + 17 = 0$ $\Leftrightarrow 2x_{1}x_{2} + \left( x_{1} + x_{2} \right) + 17 = 0$

Bài tập 13: Cho phương trình: $mx^{2} - 6(m - 1)x + 9(m - 3) = 0$ $mx^{2} - 6(m - 1)x + 9(m - 3) = 0$. Tìm giá trị của tham số $m$ để 2 nghiệm $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$ $x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ là:

$\left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta$ $\left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta' = \lbrack 3(m - 21)\rbrack^{2} - 9(m - 3)m \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta' = 9(m^{2} - 2m + 1) - 9m^{2} + 27 \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta' = 9(m - 1) \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m \geq - 1 \end{matrix} \right.\ \right.$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{6(m - 1)}{m} \\ x_{1}x_{2} = \frac{9(m - 3)}{m} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{6(m - 1)}{m} \\ x_{1}x_{2} = \frac{9(m - 3)}{m} \end{matrix} \right.$ và từ giả thiết: $x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$ $x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$.

Suy ra:

$\frac{6(m - 1)}{m} = \frac{9(m - 3)}{m} \Leftrightarrow 6(m - 1) = 9(m - 3)$ $\frac{6(m - 1)}{m} = \frac{9(m - 3)}{m} \Leftrightarrow 6(m - 1) = 9(m - 3)$

$\Leftrightarrow 6m - 6 = 9m - 27 \Leftrightarrow 3m = 21 \Leftrightarrow m = 7$ $\Leftrightarrow 6m - 6 = 9m - 27 \Leftrightarrow 3m = 21 \Leftrightarrow m = 7$ (thoả mãn điều kiện xác định)

Vậy với $m = 7$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $x_{1} + x_{2} = x_{1} \cdot x_{2}$ $x_{1} + x_{2} = x_{1} \cdot x_{2}$

Bài tập 14: Cho phương trình: $x^{2} - (2m + 1)x + m^{2} + 2 = 0$ $x^{2} - (2m + 1)x + m^{2} + 2 = 0$. Tìm $m$ để 2 nghiệm $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$ $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là:

$\Delta$ $\Delta' = (2m + 1)^{2} - 4\left( m^{2} + 2 \right) \geq 0$

$\Leftrightarrow 4m^{2} + 4m + 1 - 4m^{2} - 8 \geq 0$ $\Leftrightarrow 4m^{2} + 4m + 1 - 4m^{2} - 8 \geq 0$

$\Leftrightarrow 4m - 7 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{7}{4}$ $\Leftrightarrow 4m - 7 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{7}{4}$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 1 \\ x_{1}x_{2} = m^{2} + 2 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 1 \\ x_{1}x_{2} = m^{2} + 2 \end{matrix} \right.$ và từ giả thiết $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$ $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$.

Suy ra $3\left( m^{2} + 2 \right) - 5(2m + 1) + 7 = 0$ $3\left( m^{2} + 2 \right) - 5(2m + 1) + 7 = 0$

$\Leftrightarrow 3m^{2} + 6 - 10m - 5 + 7 = 0$ $\Leftrightarrow 3m^{2} + 6 - 10m - 5 + 7 = 0$

$\Leftrightarrow 3m^{2} - 10m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2(TM) \\ m = \frac{4}{3}(KTM) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 3m^{2} - 10m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2(TM) \\ m = \frac{4}{3}(KTM) \end{matrix} \right.$

Vậy với $m = 2$ thì phương trình có 2 nghiệm $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$ $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$

Tài liệu vẫn còn các bạn nhấn nút tải về để xem trọn vẹn nội dung nhé!

-----------------------------------------

Trên đây là tuyển chọn những bài tập phương trình bậc hai có đáp án, được biên soạn kỹ lưỡng và bám sát nội dung chương trình Toán lớp 9. Thông qua việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, các bạn học sinh sẽ nắm chắc phương pháp giải, rèn luyện tư duy logic và làm quen với các dạng đề thi thực tế.

Hy vọng tài liệu sẽ giúp bạn học tốt hơn môn Toán, đặc biệt trong giai đoạn ôn thi vào lớp 10. Hãy tiếp tục theo dõi các chuyên đề Toán 9 khác như: hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hàm số bậc nhất, căn bậc hai và bất phương trình để nâng cao toàn diện kỹ năng giải toán. Chúc bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

Tải về

Chọn file muốn tải về: