VnDoc.com

Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án

Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án

Bạn đang tìm kiếm tài liệu bài tập phương trình bậc hai có đáp án giúp luyện tập và nâng cao kỹ năng giải Toán? Tài liệu dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ các dạng phương trình bậc hai lớp 9, bao gồm: phương trình có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm kép, nghiệm nguyên, cũng như các bài toán vận dụng nâng cao.

Với hệ thống bài tập phân loại rõ ràng, bám sát chương trình Toán THCS, kèm theo lời giải chi tiết, dễ hiểu, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận kiến thức và tự kiểm tra kết quả học tập của mình. Đây là tài liệu ôn tập lý tưởng dành cho học sinh lớp 9 chuẩn bị thi học kỳ, ôn thi vào lớp 10 hoặc muốn rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc hai một cách bài bản và hiệu quả. Cùng bắt đầu luyện tập ngay nào!

Các dạng bài tập phương trình bậc hai

Bài tập 1: Giải các phương trình bậc hai sau:

TT	PTBH	TT	PTBH
1	x² - 11x + 30 = 0	41	x² - 16x + 84 = 0
2	x² - 10x + 21 = 0	42	x² + 2x - 8 = 0
3	x² - 12x + 27 = 0	43	5x² + 8x + 4 = 0
4	5x² - 17x + 12 = 0	44	x² – 2(√3 + √2)x + 4√6 = 0
5	3x² - 19x - 22 = 0	45	11x² + 13x - 24 = 0
6	x² - (1+√2)x + √2 = 0	46	x² - 11x + 30 = 0
7	x² - 14x + 33 = 0	47	x² - 13x + 42 = 0
8	6x² - 13x - 48 = 0	48	11x² - 13x - 24 = 0
9	3x² + 5x + 61 = 0	49	x² - 13x + 40 = 0
10	x² - √3x - 2 - √6 = 0	50	3x² + 5x - 1 = 0
11	x² - 24x + 70 = 0	51	5x² + 7x - 1 = 0
12	x² - 6x - 16 = 0	52	3x² - 2√3x - 3 = 0
13	2x² + 3x + 1 = 0	53	x² - 2√2x + 1 = 0
14	x² - 5x + 6 = 0	54	x² - 2(√3-1)x - 2√3 = 0
15	3x² + 2x + 5 = 0	55	11x² + 13x + 24 = 0
16	2x² + 5x - 3 = 0	56	x² + 13x + 42 = 0
17	x² - 7x - 2 = 0	57	11x² - 13x - 24 = 0
18	3x² - 2√3x - 2 = 0	58	2x² - 3x - 5 = 0
19	-x² - 7x - 13 = 0	59	x² - 4x + 4 = 0
20	√2x² – 2(√3-1)x -3√2 = 0	60	x² - 7x + 10 = 0
21	3x² - 2x - 1 = 0	61	4x² + 11x - 3 = 0
22	x² - 8x + 15 = 0	62	3x² + 8x - 3 = 0
23	2x² + 6x + 5 = 0	63	x² + x + 1 = 0
24	5x² + 2x - 3 = 0	64	x² + 16x + 39 = 0
25	x² + 13x + 42 = 0	65	3x² - 8x + 4 = 0
26	x² - 10x + 2 = 0	66	4x² + 21x - 18 = 0
27	x² - 7x + 10 = 0	67	4x² + 20x + 25 = 0
28	5x² + 2x - 7 = 0	68	2x² - 7x + 7 = 0
29	4x² - 5x + 7 = 0	69	-5x² + 3x - 1 = 0
30	x² - 4x + 21 = 0	70	x² - 2√3x - 6 = 0
31	5x² + 2x -3 = 0	71	x² - 9x + 18 = 0
32	4x² + 28x + 49 = 0	72	3x² + 5x + 4 = 0
33	x² - 6x + 48 = 0	73	x² + 5 = 0
34	3x² - 4x + 2 = 0	74	x² - 4 = 0
35	x² - 16x + 84 = 0	75	x² - 2x = 0
36	x² + 2x - 8 = 0	76	x⁴ - 13x² + 36 = 0
37	5x² + 8x + 4 = 0	77	9x⁴ + 6x² + 1 = 0
38	x² – 2(√3 + √2)x + 4√6 = 0	78	2x⁴ + 5x² + 2 = 0
39	x² - 6x + 8 = 0	79	2x⁴ - 7x² - 4 = 0
40	3x² - 4x + 2 = 0	80	x⁴ - 5x² + 4 = 0

Bài 2: Tìm x, y trong các trường hợp sau:

a)	x + y = 17, x.y = 180	e)	x² + y² = 61, x.y = 30
b)	x + y = 25, x.y = 160	f)	x - y = 6, x.y = 40
c)	x + y = 30, x²+ y² = 650	g)	x - y = 5, x.y = 66
d)	x + y = 11 x.y = 28	h)	x² + y² = 25 x.y = 12

Bài tập 3:

a) Phương trình $x^{2} - 2px + 5 = 0$ . Có một nghiệm bằng 2, tìm và nghiệm thứ hai.

b) Phương trình $x^{2} + 5x + q = 0$ có một nghiệm bằng 5, tìm và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình: $x^{2} - 7x + q = 0$ , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm và hai nghiệm của phương trình.

d) Tìm và hai nghiệm của phương trình: $x^{2} - qx + 50 = 0$ , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Hướng dẫn giải

a) Thay $x_{1} = 2v$ à phương trình ban đầu ta được:

$4 - 4p + 5 = 0 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$

Từ $x_{1}x_{2} = 5$ suy ra $x_{2} = \frac{5}{x_{1}} = \frac{5}{2}$

b) Thay $x_{1} = 5v$ $x_{1} = 5$ và phương trình ban đầu ta được: $25 + 25 + q = 0 \Rightarrow q = - 50$

Từ $x_{1}.x_{2} = - 50$ suy ra $x_{2} = \frac{- 50}{x_{1}} = \frac{- 50}{5} = - 10$

c) Vì vai trò của $x_{1}$ và $x_{2}$ bình đẳng nên theo đề bài giả sử $x_{1} - x_{2} = 11$ và theo VI-ÉT ta có $x_{1} + x_{2} = 7$ , ta giải hệ sau: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} = 11 \\ x_{1} + x_{2} = 7 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 9 \\ x_{2} = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$

Suy ra $q = x_{1}x_{2} = - 18$

d) Vì vai trò của $x_{1}$ và $x_{2}$ bình đẳng nên theo đề bài giả sử $x_{1} = 2x_{2}$ và theo VI-ÉT ta có $x_{1}x_{2} = 50$ .

Suy ra $2x_{2}^{2} = 50 \Leftrightarrow x_{2}^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{2} = - 5 \\ x_{2} = 5 \\ \end{matrix} \right.$

Với $x_{2} = - 5$ th ì $x_{1} = - 10$

Với $x_{2} = 5$ th ì $x_{1} = 10$

Bài tập 4: Cho $x_{1} = 3$ ; $x_{2} = 2$ lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Hướng dẫn:

Theo hệ thức VI-ÉT ta có $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = 5 \\ P = x_{1}.x_{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.$ vậy $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình có dạng:

$x^{2} - Sx + P = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5x + 6 = 0$

Bài tập 5: Cho phương trình: $x^{2} - 3x + 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là thoả mãn : $y_{1} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}}$ và $y_{2} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}}$
Hướng dẫn:

Theo hệ thức VI- ÉT ta có:

$S = y_{1} + y_{2} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}} + x_{1} + \frac{1}{x_{2}}$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right) + \left( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} \right)$

$= \left( x_{1} + x_{2} \right) + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$P = y_{1}y_{2} = \left( x_{2} +\frac{1}{x_{1}} \right)\left( x_{1} + \frac{1}{x_{2}}\right)$ $= x_{1}x_{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x_{1}x_{2}}$ $= 2 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

Vậy phương trình cần lập có dạng: $y^{2} - Sy + P = 0$ hay:

$y^{2} - \frac{9}{2}y +\frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y^{2} - 9y + 9 = 0$

Bài tập 6: Tìm hai số biết tổng và tích ?

Hướng dẫn giải

Vì và nên là nghiệm của phương trình: $x^{2} + 3x - 4 = 0$ giải phương trình trên ta được $x_{1} = 1$ và $x_{2} = - 4$

Vậy nếu thì ; nếu thì

Bài tập 7. Tìm 2 số a và b biết

1) a + b = 9 và a₂ + b₂ = 41 2) a - b = 5 và ab = 36

3) a₂ + b₂ = 61 và ab = 30

Hướng dẫn giải

1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a và b.

Từ $a + b = 9 \Rightarrow (a + b)^{2} =81$ $\Leftrightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} = 81$

$\Leftrightarrow ab =\frac{81 - \left( a^{2} + b^{2} \right)}{2} = 20$

Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng:

$x^{2} - 9x + 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 5 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy: nếu thì ; nếu thì .

2. Đã biết tích: do đó cần tìm tổng:

Cách 1: Đặt ta có và

Suy ra là nghiệm của phương trình: $x^{2} - 5x - 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 4 \\ x_{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.$

Do đó

Nếu thì nên

Cách 2: Từ $(a - b)^{2} = (a + b)^{2} -4ab$

$\Rightarrow (a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4ab = 169$

$\Rightarrow (a +b)^{2} = 13^{2}$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a + b = - 13 \\a + b = 13 \\\end{matrix} \right.$

*) Với và , nên a, b là nghiệm của phương trình:

$x^{2} + 13x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 4 \\ x_{2} = - 9 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy thì

*) Với và , nên a, b là nghiệm của phương trình:

$x^{2} - 13x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy thì

3) Đã biết , do đó cần tìm :

Từ: $a^{2} + b^{2} = 61 \Rightarrow (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$

$= 61 + 2.30 = 121 = 11^{2}$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a + b = - 11 \\ a + b = 11 \\ \end{matrix} \right.$

*) Nếu và thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

$x^{2} - 11x + 30 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ x_{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy nếu thì ; nếu thì .

Bài tập 8: Cho phương trình $x^{2} - 4\sqrt{3}x + 8 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ , không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: $Q = \frac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$Q = \frac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}} = \frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{5x_{1}x_{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} \right\rbrack}$ $= \frac{6.(4\sqrt{3})^{2} - 2.8}{5.8\left\lbrack (4\sqrt{3})^{2} - 2.8 \right\rbrack} = \frac{17}{80}$

$\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta^{'} \geq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \\ \end{matrix} \right.\ \right.$

$\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{2m}{m - 1} \\x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{m - 4}{m - 1} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2 + \dfrac{2}{m - 1}(1) \\x_{1} \cdot x_{2} = 1 - \dfrac{3}{m - 1}(2) \\\end{matrix} \right.\ \right.$

Rút từ (1) ta có: $\frac{2}{m - 1} = x_{1} + x_{2} - 2$ $\Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2}$

Rút từ (2) ta có: $\frac{3}{m - 1} = 1 - x_{1}x_{2} \Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

$\frac{2}{x_1 + x_2 - 2} = \frac{3}{1 -x_1x_2}$ $\Leftrightarrow 2\left( 1 - x_{1}x_{2} \right) = 3\left( x_{1} + x_{2} - 2 \right)$

$\Leftrightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 0$

Bài tập 9: Cho phương trình: $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ . Lập hệ thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ sao cho chúng không phụ thuộc vào .

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thì:

$\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta' \geq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.\ \right.$

Theo hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 1} \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m - 4}{m - 1} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 + \frac{2}{m - 1}(1) \\ x_{1} \cdot x_{2} = 1 - \frac{3}{m - 1}(2) \end{matrix} \right.$

Rút từ (1) ta có:

$\frac{2}{m - 1} = x_{1} + x_{2} - 2$ $\Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2}$

Rút từ (2) ta có:

$\frac{3}{m - 1} = 1 - x_{1}x_{2}$ $\Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

$\frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2} = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$ $\Leftrightarrow 2\left( 1 - x_{1}x_{2} \right) = 3\left( x_{1} + x_{2} - 2 \right)$ $\Leftrightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 0$

Bài tập 10: Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình: $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ . Chứng minh rằng bi thức $A = 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8$ không phụ thuộc giá trị của .

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thì:

$\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \Delta' \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \end{matrix} \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.\ \right.$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 1} \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m - 4}{m - 1} \end{matrix}\ \right.$

Thay vào A ta có:

$= 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 3 \cdot \frac{2m}{m - 1} + 2 \cdot \frac{m - 4}{m - 1} - 8$

$A = \frac{6m + 2m - 8 - 8(m - 1)}{m - 1} = \frac{0}{m - 1} = 0$

Vậy với mọi $m \neq 1$ và $m \geq \frac{4}{5}$ .

Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào .

Bài tập 11: Cho phương trình: $x^{2} - (m + 2)x + (2m - 1) = 0$ có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ sao cho $x_{1};x_{2}$ độc lập đối với .

Hướng dẫn giải

Dễ thấy $\Delta = (m + 2)^{2} - 4(2m - 1)$ $= m^{2} - 4m + 8 = (m - 2)^{2} + 4 > 0$

Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}$ và $x_{2}$ Theo hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ x_{1} \cdot x_{2} = 2m - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = x_{1} + x_{2} - 2(1) \\ m = \frac{x_{1}x_{2} + 1}{2}(2) \end{matrix} \right.\ \right.$

Từ (1) và (2) ta có:

$x_{1} + x_{2} - 2 = \frac{x_{1}x_{2} + 1}{2} \Leftrightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right) - x_{1}x_{2} - 5 = 0$

Bài tập 12: Cho phương trình : $x^{2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0$ .

Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_{1}$ và $x_{2}$ sao cho chúng không phụ thuộc vào .

Hướng dẫn giải

Dễ thấy $\Delta = (4m + 1)^{2} - 4.2(m - 4) = 16m^{2} + 33 > 0$ do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}$ và $x_{2}$

Theo hệ thức Viète ta có

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - (4m + 1) \\ x_{1} \cdot x_{2} = 2(m - 4) \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m = - \left( x_{1} + x_{2} \right) - 1(1) \\ 4m = 2x_{1}x_{2} + 16(2) \end{matrix} \right.\ \right.$

Từ (1) và (2) ta có:

$- \left( x_{1} + x_{2} \right) - 1 = 2x_{1}x_{2} + 16$ $\Leftrightarrow 2x_{1}x_{2} + \left( x_{1} + x_{2} \right) + 17 = 0$

Bài tập 13: Cho phương trình: $mx^{2} - 6(m - 1)x + 9(m - 3) = 0$ . Tìm giá trị của tham số để 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ là:

$\left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta' = \lbrack 3(m - 21)\rbrack^{2} - 9(m - 3)m \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta' = 9(m^{2} - 2m + 1) - 9m^{2} + 27 \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta' = 9(m - 1) \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m \geq - 1 \end{matrix} \right.\ \right.$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{6(m - 1)}{m} \\ x_{1}x_{2} = \frac{9(m - 3)}{m} \end{matrix} \right.$ và từ giả thiết: $x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$ .

Suy ra: $\frac{6(m - 1)}{m} = \frac{9(m - 3)}{m} \Leftrightarrow 6(m - 1) = 9(m - 3)$

$\Leftrightarrow 6m - 6 = 9m - 27 \Leftrightarrow 3m = 21 \Leftrightarrow m = 7$ (thoả mãn điều kiện xác định)

Vậy với thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $x_{1} + x_{2} = x_{1} \cdot x_{2}$

Bài tập 14: Cho phương trình: $x^{2} - (2m + 1)x + m^{2} + 2 = 0$ . Tìm để 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ là:

$\Delta' = (2m + 1)^{2} - 4\left( m^{2} + 2 \right) \geq 0$

$\Leftrightarrow 4m^{2} + 4m + 1 - 4m^{2} - 8 \geq 0$

$\Leftrightarrow 4m - 7 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{7}{4}$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 1 \\ x_{1}x_{2} = m^{2} + 2 \end{matrix} \right.$ và từ giả thiết $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$ .

Suy ra $3\left( m^{2} + 2 \right) - 5(2m + 1) + 7 = 0$

$\Leftrightarrow 3m^{2} + 6 - 10m - 5 + 7 = 0$

$\Leftrightarrow 3m^{2} - 10m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2(TM) \\ m = \frac{4}{3}(KTM) \end{matrix} \right.$

Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $3x_{1}x_{2} - 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7 = 0$

Bài tập 15

1. Cho phương trình: $mx^{2} + 2(m - 4)x +m + 7$ . Tìm để 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $x_{1} - 2x_{2} = 0$ .

2. Cho phương trình: $x^{2} + (m - 1)x + 5m - 6 = 0$

Tìm để hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $4x_{1} + 3x_{2} = 1$ .

3. Cho phương trình: $3x^{2} - (3m - 2)x - (3m + 1) = 0$ . Tìm để 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn hệ thức: $3x_{1} - 5x_{2} = 6$ .

Hướng dẫn giải

BT1: Điều kiện xác định: $m \neq 0;\ m \leq \frac{16}{15}$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- (m - 4)}{1}\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = \frac{m + 7}{m}\ \end{matrix} \right.$

Từ $x_{1} - 2x_{2} = 0$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 3x_{2} \\ 2\left( x_{1} + x_{2} \right) = 3x_{1} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = 9x_{1}x_{2}\ \ (2)$

Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:

$m^{2} + 127m - 128 = 0$ $\Rightarrow m_{1} = 1;m_{2} = - 128$

BT2: Ta có: $\Delta = m^{2} - 22m + 25 \geq 0 \Leftrightarrow 11 - \sqrt{96} \leq m \leq 11 + \sqrt{96}$

Theo Viète: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 1 - m \\ x_{1}x_{2} = 5m - 6 \end{matrix} \right.$

Từ: $4x_{1} + 3x_{2} = 1$ .

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = 1 - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) \\ \end{matrix} \\ x_{2} = 4\left( x_{1} + x_{2} \right) - 1 \end{array} \right.$

$\Rightarrow x_{1}x_{2} = \left\lbrack 1 - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) \right\rbrack \cdot \left\lbrack 4\left( x_{1} + x_{2} \right) - 1 \right\rbrack$

$\Leftrightarrow x_{1}x_{2} = 7\left( x_{1} + x_{2} \right) - 12\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 1$

Thế (1) vào (2) ta có phương trình: $12m(m - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 1 \end{matrix} \right.$ (thoả mãn ĐKXĐ)

BT3:

- Vì $\Delta = (3m - 2)^{2} + 4.3(3m + 1) = 9m^{2} + 24m + 16 = (3m + 4)^{2} \geq 0$ với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

-Theo Viète: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{3m - 2}{3} \\ x_{1}x_{2} = \frac{- (3m + 1)}{3} \end{matrix} \right.$

Từ giả thiết: $3x_{1} - 5x_{2} = 6$ .

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} 8x_{1} = 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 6 \\ 8x_{2} = 3\left( x_{1} + x_{2} \right) - 6 \end{matrix} \\ \Rightarrow 64x_{1}x_{2} = \left\lbrack 5\left( x_{1} + x_{2} \right) + 6 \right\rbrack \cdot \left\lbrack 3\left( x_{1} + x_{2} \right) - 6 \right\rbrack \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow 64x_{1}x_{2} = 15\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 12\left( x_{1} + x_{2} \right) - 36$

Thế (1) vào (2) ta được phương trình: $m(45m + 96) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - \frac{32}{15} \end{matrix}\ \right.$ (thoả mãn)

Bài tập 16. Cho phương trình: $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ . Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ....

Ví dụ: Xác định tham số sao cho phương trình:

$2x^{2} - (3m + 1)x + m^{2} - m - 6 = 0$ . Có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì:

$\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta = (3m + 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (m^{2} - m - 6) \geq 0 \\ P = \frac{m^{2} - m - 6}{2} < 0 \end{matrix} \right.\ \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta = (m - 7)^{2} \geq 0\forall m \\ P = (m - 3)(m + 2) < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow - 2 < m < 3 \right.$

Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.

Từ $x_{1} - 2x_{2} = 0$

Suy ra: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 3x_{2} \\ 2\left( x_{1} + x_{2} \right) = 3x_{1} \end{matrix} \Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = 9x_{1}x_{2} \right.$

Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:

$m^{2} + 127m - 128 = 0 \Rightarrow m_{1} = 1;m_{2} = - 128$

Bài tập 17. Cho phương trình: $x^{2} + (2m - 1)x - m = 0$ . Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là các nghiệm của phương trình. Tìm để $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 6x_{1}x_{2}$ có giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Theo Viète: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - (2m - 1) \\ x_{1}x_{2} = - m \end{matrix} \right.$

Theo bài ra ta có: $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 6x_{1}x_{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 8x_{1}x_{2}$

Tài liệu vẫn còn các bạn nhấn nút tải về để xem trọn vẹn nội dung nhé!

-----------------------------------------

Trên đây là tuyển chọn những bài tập phương trình bậc hai có đáp án, được biên soạn kỹ lưỡng và bám sát nội dung chương trình Toán lớp 9. Thông qua việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, các bạn học sinh sẽ nắm chắc phương pháp giải, rèn luyện tư duy logic và làm quen với các dạng đề thi thực tế.

Hy vọng tài liệu sẽ giúp bạn học tốt hơn môn Toán, đặc biệt trong giai đoạn ôn thi vào lớp 10. Hãy tiếp tục theo dõi các chuyên đề Toán 9 khác như: hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hàm số bậc nhất, căn bậc hai và bất phương trình để nâng cao toàn diện kỹ năng giải toán. Chúc bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

Tải về

Chọn file muốn tải về: