Ứng dụng giải hệ phương trình trong bài toán tìm hệ số của hàm số

Trong chương trình Toán 9, bài toán tìm hệ số của hàm số thông qua việc giải hệ phương trình là dạng bài vận dụng cao, thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10. Việc nắm vững cách thiết lập hệ phương trình và tìm mối liên hệ giữa các đại lượng là kỹ năng quan trọng giúp học sinh xử lý nhanh và chính xác. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải, kèm theo ví dụ minh họa, giúp các em làm chủ chuyên đề một cách hiệu quả.

A. Bài tập minh họa ứng dụng giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải

Thay \(x = - 2;y = 1\) vào hệ phương trình ta được:

\(\left\{ \begin{matrix} 2m.( - 2) + 1 = m \\ - 2 - m = - 1 - 6m \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4m + 1 = m \\ 5m = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \frac{1}{5}\)

Vậy \(m = \frac{1}{5}\)là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;2),B( - 2;5)\) có dạng \((d):y = ax + b\)

Vì \((d)\) đi qua điểm \(A(1;2)\) nên ta có: \(a + b = 2\ \ \ \ (1)\)

\((d)\) đi qua điểm \(B( - 2;5)\) nên ta có: \(- 2a + b = 5\ \ \ \ (2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{matrix} a + b = 2 \\ - 2a + b = 5 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 2b = 4 \\ - 2a + b = 5 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3b = 9 \\ a + b = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 3 \\ a = - 1 \end{matrix} \right.\)

Vậy \(a = - 1;b = 3\).

Hướng dẫn giải

Ta có:\(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b} \\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{matrix} \right.\). Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ b \neq 0 \end{matrix} \right.\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) = (3;2)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{a} - 2 = \dfrac{2}{b} \\3 - \dfrac{2}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{a} - \dfrac{2}{b} = 2 \\\dfrac{1}{a} - \dfrac{2}{b} = - 3\end{matrix} \right.\)

Đặt \(u = \frac{1}{a};v = \frac{1}{b}\) với \(u,v \neq 0\). Hệ phương trình trở thành:

\(\left\{ \begin{matrix} 3u - 2v = 2 \\ u - 2v = - 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u = 5 \\ u - 2v = - 3 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{5}{2} \\v = \dfrac{u + 3}{2}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{5}{2}(tm) \\v = \dfrac{11}{4}(tm)\end{matrix} \right.\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a} = \dfrac{5}{2} \\\dfrac{1}{b} = \dfrac{11}{4}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{2}{5}(tm) \\b = \dfrac{4}{11}(tm)\end{matrix} \right.\)

Vậy \(a = \frac{2}{5};b = \frac{4}{11}\).

B. Bài tập tự rèn luyện ứng dụng giải hệ phương trình có hướng dẫn đáp án

Bài tập 1. Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix} - mx + y = - 2m \\ x - m^{2}y = - 7 \end{matrix} \right.\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để cặp số \((1;2)\) là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài tập 2. Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix} x + by = - 2 \\ bx - ay = - 3 \end{matrix} \right.\). Xác định các hệ số \(a;b\) biết rằng hệ phương trình có nghiệm là \((1; - 2)\).

Bài tập 3. Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix} 4x + ay = 6 \\ bx - 2ay = 8 \end{matrix} \right.\). Xác định các hệ số \(a;b\) biết rằng hệ phương trình có nghiệm \((1; - 1)\)?

Bài tập 4. Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix} ax - 2y = b \\ 2x - by = - 2a \end{matrix} \right.\). Xác định các hệ số \(a;b\) biết rằng hệ phương trình có nghiệm \((2; - 1)\)?

Bài tập 5. Xác định các hệ số \(a;b\) của hàm số \(y = ax + b\) để:

a) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(A(1;3),B(2;4)\).

b) Đò thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(- 4\) và cắt trục hoàn tại điểm có hoành độ bằng \(2\).

-------------------------------------------------------

Bài toán tìm hệ số của hàm số thông qua hệ phương trình không chỉ rèn luyện tư duy logic mà còn giúp học sinh nắm vững bản chất của các dạng hàm số trong chương trình Toán 9. Hãy luyện tập nhiều dạng bài để nâng cao khả năng suy luận và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đừng quên theo dõi các chuyên đề ôn thi khác để củng cố toàn diện kiến thức Toán 9 nhé!