VnDoc.com

Chuyên đề Toán 9 Biến đổi biểu thức chứa căn thức (Nâng cao)

Chuyên đề Toán 9 Ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập biến đổi biểu thức chứa căn thức Toán 9

A. Bài tập minh họa có hướng dẫn chi tiết
B. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề biến đổi biểu thức chứa căn thức đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng biến đổi và xử lý các dạng toán phức tạp. Đây cũng là nền tảng không thể thiếu trong quá trình ôn thi vào 10 môn Toán. Bài viết này giới thiệu chuyên đề Biến đổi biểu thức chứa căn thức Toán 9 (Nâng cao) với hệ thống kiến thức trọng tâm, bài tập chọn lọc và hướng dẫn giải chi tiết. Thông qua đó, học sinh có thể nắm chắc phương pháp, rèn luyện tư duy logic và tự tin chinh phục những dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh lớp 10.

A. Bài tập minh họa có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1. Cho biểu thức: $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} + \frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}}$ $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} + \frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}}$ với a > 0, a ≠ 1.

a) Chứng minh rằng $M > 4.$

b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức $N = \frac{6}{M}$ $N = \frac{6}{M}$ nhận giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

Do a > 0, a ≠ 1 nên:

$\frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}$ $\frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}$ và

$\frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}} = \frac{(a + 1)(a - 1) - \sqrt{a}(a - 1)}{\sqrt{a}(1 - a)}$ $\frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}} = \frac{(a + 1)(a - 1) - \sqrt{a}(a - 1)}{\sqrt{a}(1 - a)}$

$= \frac{(a - 1)(a - \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(1 - a)} = \frac{- a + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$ $= \frac{(a - 1)(a - \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(1 - a)} = \frac{- a + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$

=> $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + 2$ $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + 2$

Do $a > 0;\ \ a \neq 1$ $a > 0;\ \ a \neq 1$ nên: $(\sqrt{a} - 1)^{2} > 0 \Leftrightarrow a + 1 > 2\sqrt{a}$ $(\sqrt{a} - 1)^{2} > 0 \Leftrightarrow a + 1 > 2\sqrt{a}$

=> $M > \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 2 = 4$ $M > \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 2 = 4$

Ta có $0 < N = \frac{6}{M} < \frac{3}{2}$ $0 < N = \frac{6}{M} < \frac{3}{2}$ do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1

Mà N = 1 ⇔ $\frac{6\sqrt{a}}{a + 1 + 2\sqrt{a}} = 1$ $\frac{6\sqrt{a}}{a + 1 + 2\sqrt{a}} = 1$

⇔ $a - 4\sqrt{a} + 1 = 0$ $a - 4\sqrt{a} + 1 = 0$ ⇔ $(\sqrt{a} - 2)^{2} = 3$ $(\sqrt{a} - 2)^{2} = 3$

⇔ $\sqrt{a} = 2 + \sqrt{3}\ \ hay\ \ \sqrt{a} = 2 - \sqrt{3}$ $\sqrt{a} = 2 + \sqrt{3}\ \ hay\ \ \sqrt{a} = 2 - \sqrt{3}$ (phù hợp)

Vậy N nguyên ⇔ $a = (2 \pm \sqrt{3})^{2}$ $a = (2 \pm \sqrt{3})^{2}$.

Bài tập 2. Cho các số dương: a; b và $x = \frac{{2ab}}{{{b^2} + 1}}$ $x = \frac{{2ab}}{{{b^2} + 1}}$. Xét biểu thức $P = \frac{{\sqrt {a + x} + \sqrt {a - x} }}{{\sqrt {a + x} - \sqrt {a - x} }} + \frac{1}{{3b}}$ $P = \frac{{\sqrt {a + x} + \sqrt {a - x} }}{{\sqrt {a + x} - \sqrt {a - x} }} + \frac{1}{{3b}}$.

1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.

2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Hướng dẫn giải

1. Ta có: a; b; x > 0 => a + x > 0 (1)

Xét $a - x = \frac{{a{{\left( {b - 1} \right)}^2}}}{{{b^2} + 1}} \geqslant 0$ $a - x = \frac{{a{{\left( {b - 1} \right)}^2}}}{{{b^2} + 1}} \geqslant 0$ (2)

Ta có a + x > a – x ≥ 0 => $\sqrt {a + x} - \sqrt {a - x} \ne 0$ $\sqrt {a + x} - \sqrt {a - x} \ne 0$ (3)

Từ (1); (2); (3) P xác định.

Rút gọn:

Ta có: $a + x = a + \frac{{2ab}}{{{b^2} + 1}} = \frac{{a{{\left( {b + 1} \right)}^2}}}{{{b^2} + 1}}$ $a + x = a + \frac{{2ab}}{{{b^2} + 1}} = \frac{{a{{\left( {b + 1} \right)}^2}}}{{{b^2} + 1}}$

=> $\sqrt {a + x} = \left( {b + 1} \right)\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}}$ $\sqrt {a + x} = \left( {b + 1} \right)\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}}$

=> a - x = $a - \frac{{2ab}}{{{b^2} + 1}} = \frac{{a{{\left( {b - 1} \right)}^2}}}{{{b^2} + 1}}$ $a - \frac{{2ab}}{{{b^2} + 1}} = \frac{{a{{\left( {b - 1} \right)}^2}}}{{{b^2} + 1}}$

=> $\sqrt {a + x} = \left| {b - 1} \right|\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}}$ $\sqrt {a + x} = \left| {b - 1} \right|\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}}$

=> $P = \frac{{\left( {b + 1} \right)\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}} + \left| {b - 1} \right|\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}} }}{{\left( {b + 1} \right)\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}} - \left| {b - 1} \right|\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}} }} + \frac{1}{{3b}}$ $P = \frac{{\left( {b + 1} \right)\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}} + \left| {b - 1} \right|\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}} }}{{\left( {b + 1} \right)\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}} - \left| {b - 1} \right|\sqrt {\frac{a}{{{b^2} + 1}}} }} + \frac{1}{{3b}}$

$= \frac{{\left( {b + 1} \right) + \left| {b - 1} \right|}}{{\left( {b + 1} \right) - \left| {b - 1} \right|}} + \frac{1}{{3b}}$ $= \frac{{\left( {b + 1} \right) + \left| {b - 1} \right|}}{{\left( {b + 1} \right) - \left| {b - 1} \right|}} + \frac{1}{{3b}}$

Nếu 0 < b < 1 => $P = \frac{2}{{2b}} + \frac{1}{{3b}} = \frac{4}{{3b}}$ $P = \frac{2}{{2b}} + \frac{1}{{3b}} = \frac{4}{{3b}}$

Nếu $b \geqslant 1$ $b \geqslant 1$ => $P = b + \frac{1}{{3b}} = \frac{{3{b^2} + 1}}{{3b}}$ $P = b + \frac{1}{{3b}} = \frac{{3{b^2} + 1}}{{3b}}$

2. Xét 2 trường hợp:

Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì $P = \frac{4}{{3b}} \to P > \frac{4}{3}$ $P = \frac{4}{{3b}} \to P > \frac{4}{3}$

Nếu $b \geqslant 1$ $b \geqslant 1$; a dương tuỳ ý thì $P = b + \frac{1}{{3b}} = \left( {\frac{b}{3} + \frac{1}{{3b}}} \right) + \frac{{2b}}{3}$ $P = b + \frac{1}{{3b}} = \left( {\frac{b}{3} + \frac{1}{{3b}}} \right) + \frac{{2b}}{3}$

Ta có: $\frac{b}{3} + \frac{1}{{3b}} \geqslant \frac{2}{3}$ $\frac{b}{3} + \frac{1}{{3b}} \geqslant \frac{2}{3}$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

Mặt khác: $\frac{{2b}}{3} \geqslant \frac{2}{3}$ $\frac{{2b}}{3} \geqslant \frac{2}{3}$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

Vậy $P \geqslant \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ $P \geqslant \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{4}{3}$ $P = \frac{4}{3}$.

Bài tập 3. Cho biểu thức: $P = \left( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}} \right):\left( 1 + \frac{x + y + 2xy}{1 - xy} \right)$ $P = \left( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}} \right):\left( 1 + \frac{x + y + 2xy}{1 - xy} \right)$.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P với $x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}}$ $x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: $x \geq 0;y \geq 0;xy \neq 1$ $x \geq 0;y \geq 0;xy \neq 1$

a. Mẫu thức chung là 1 – xy

$P = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(1 + \sqrt{xy}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y})(1 - \sqrt{xy})}{1 - xy}:\frac{1 - xy + x + y + 2xy}{1 - xy}$ $P = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(1 + \sqrt{xy}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y})(1 - \sqrt{xy})}{1 - xy}:\frac{1 - xy + x + y + 2xy}{1 - xy}$

$= \frac{\sqrt{x} + x\sqrt{y} + \sqrt{y} + y\sqrt{x} + \sqrt{x} - x\sqrt{y} - \sqrt{y} + y\sqrt{x}}{1 - xy}.\frac{1 - xy}{1 + x + y + xy}$ $= \frac{\sqrt{x} + x\sqrt{y} + \sqrt{y} + y\sqrt{x} + \sqrt{x} - x\sqrt{y} - \sqrt{y} + y\sqrt{x}}{1 - xy}.\frac{1 - xy}{1 + x + y + xy}$

$= \frac{2(\sqrt{x} + y\sqrt{x)}}{(1 + x)(1 + y)} = \frac{2\sqrt{x}(1 + y)}{(1 + x)(1 + y)} = \frac{2\sqrt{x}}{1 + x}$ $= \frac{2(\sqrt{x} + y\sqrt{x)}}{(1 + x)(1 + y)} = \frac{2\sqrt{x}(1 + y)}{(1 + x)(1 + y)} = \frac{2\sqrt{x}}{1 + x}$

b. Ta có:

$x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} - 1)^{2}$ $x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} - 1)^{2}$

$\sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^{2}} = \left| \sqrt{3} - 1 \right| = \sqrt{3} - 1$ $\sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^{2}} = \left| \sqrt{3} - 1 \right| = \sqrt{3} - 1$

$P = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{1 + (\sqrt{3} - 1)^{2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{1 + 3 - 2\sqrt{3} + 1}$ $P = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{1 + (\sqrt{3} - 1)^{2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{1 + 3 - 2\sqrt{3} + 1}$

$P = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{5 - 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} + 2}{13}$ $P = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{5 - 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} + 2}{13}$

B. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài tập 1. Cho biểu thức M = $\frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x + 3}}{2 - \sqrt{x}}$ $\frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x + 3}}{2 - \sqrt{x}}$

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, rút gọn M.

b. Tìm x để M = 5

c. Tìm x nguyên để biểu thức M đạt giá trị nguyên.

Bài tập 2. a) Rút gọn biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}}$ $A = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}}$

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

Hãy tính giá trị biểu thức:

$A = x\sqrt{\frac{\left( 1 + y^{2} \right)\left( 1 + z^{2} \right)}{\left( 1 + x^{2} \right)}} + y\sqrt{\frac{\left( 1 + z^{2} \right)\left( 1 + x^{2} \right)}{\left( 1 + y^{2} \right)}} + z\sqrt{\frac{\left( 1 + x^{2} \right)\left( 1 + y^{2} \right)}{\left( 1 + z^{2} \right)}}$ $A = x\sqrt{\frac{\left( 1 + y^{2} \right)\left( 1 + z^{2} \right)}{\left( 1 + x^{2} \right)}} + y\sqrt{\frac{\left( 1 + z^{2} \right)\left( 1 + x^{2} \right)}{\left( 1 + y^{2} \right)}} + z\sqrt{\frac{\left( 1 + x^{2} \right)\left( 1 + y^{2} \right)}{\left( 1 + z^{2} \right)}}$

Bài tập 3. Cho biểu thức $P = \left( \frac{\sqrt{x - 1}}{x + \sqrt{x - 1}} + \frac{x + 8}{10 - x} \right):\left( \frac{3\sqrt{x - 1} + 1}{x - 3\sqrt{x - 1} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} \right)$ $P = \left( \frac{\sqrt{x - 1}}{x + \sqrt{x - 1}} + \frac{x + 8}{10 - x} \right):\left( \frac{3\sqrt{x - 1} + 1}{x - 3\sqrt{x - 1} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} \right)$

1. Rút gọn P.

2. Tính giá trị của P khi x = $\sqrt[4]{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}} - \sqrt[4]{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}}$ $\sqrt[4]{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}} - \sqrt[4]{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}}$.

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

---------------------------------------------------------------

Như vậy, việc nắm vững chuyên đề biến đổi biểu thức chứa căn thức (nâng cao) không chỉ giúp học sinh củng cố kỹ năng đại số mà còn phát triển tư duy phân tích, xử lý nhanh các bài toán phức tạp. Bộ tài liệu và bài tập kèm lời giải chi tiết trong bài viết sẽ là hành trang quan trọng hỗ trợ các em trong quá trình Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10. Để đạt kết quả cao, học sinh nên luyện tập thường xuyên, kết hợp giữa lý thuyết và thực hành, đồng thời rèn kỹ năng trình bày rõ ràng, logic. Đây sẽ là bước đệm vững chắc giúp các em tự tin đạt điểm số cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: