VnDoc.com

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức lớp 9

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức

I. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
II. Cách giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
III. Bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức là chuyên đề ôn thi vào lớp 10 hay, hướng dẫn các em học sinh cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chương trình Toán 9, kèm bài tập vận dụng cho các em tham khảo và luyện tập.

I. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

- Dạng toán này gắn liền với bất đẳng thức, phải biết sử dụng BĐT để làm bài toán dạng này.

- Biểu thức A $\geq$ $\geq$ k với k là số không đổi, có giá trị của biến để dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ minA = k

- Biểu thức B $\leq$ $\leq$ m với m là số không đổi, có giá trị của biến để dấu bằng xảy ra $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ maxA = m

- Giá trị biến để dấu bằng trong các BĐT trên xảy ra ta gọi là “điểm rơi”

II. Cách giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1. Kỹ thuật dự đoán điểm rơi

Đối với bài toán mà vai trò các biến như nhau thì điểm rơi xảy ra khi các biến bằng nhau.

Bài 1. Cho $x, y > 0$ , $x + y = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ $P = \frac{1}{x y} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Nhận xét:

- Biểu thức P gợi lên dùng BĐT Bunhiacoopky dạng phân thức

“Với x > 0, y > 0, ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ Dấu = khi x = y

-Vai trò x và y như nhau $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ điểm rơi tại $x = y = \frac{1}{2}$ $x = y = \frac{1}{2}$

-Nhưng tại $x = y = \frac{1}{2}$ $x = y = \frac{1}{2}$ thì $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = 2$ $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = 2$ còn $\frac{1}{xy} = \frac{1}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}} = 4$ $\frac{1}{x y} = \frac{1}{\frac{1}{2} . \frac{1}{2}} = 4$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Đểdùng BĐT trên thì số hạng thứ hai đi với $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ phải bằng 2 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Ta phải chia $\frac{1}{xy}$ $\frac{1}{x y}$ cho 2 khi đó được $\frac{1}{2xy} = 2$ $\frac{1}{2 x y} = 2$

Hướng dẫn giải chi tiết

Với $x, y > 0$ , ta có $(x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (x + y)^{2} \geq 4xy$ $(x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (x + y)^{2} \geq 4 x y$

$\Leftrightarrow \frac{1}{xy} \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{x y} \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$

Do đó, với $x, y > 0$ và $x + y = 1$ , ta có

$P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2xy} + \left( \frac{1}{2xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \right)$ $P = \frac{1}{x y} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2 x y} + (\frac{1}{2 x y} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}})$

$\geq \frac{1}{2xy} + \frac{4}{2xy + x^{2} + y^{2}} \geq \frac{1}{2xy} + 4$ $\geq \frac{1}{2 x y} + \frac{4}{2 x y + x^{2} + y^{2}} \geq \frac{1}{2 x y} + 4$

(Đến đây ta lại tiếp tục nhận xét: phải cần biến đổi $\frac{1}{2xy} \geq ????$ $\frac{1}{2 x y} \geq ? ? ? ?$ )

Ta có (x-y)² $\geq$ $\geq$ 0 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ x²+y² $\geq$ $\geq$ 2xy $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ x²+y² +2xy $\geq$ $\geq$ 2xy +2xy $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ (x+y)² $\geq$ $\geq$ 4xy

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{(x + y)^{2}} \leq \frac{1}{4xy} \Rightarrow \frac{2}{(x + y)^{2}} \leq \frac{1}{2xy} \Rightarrow \frac{2}{1^{2}} \leq \frac{1}{2xy}$ $\frac{1}{(x + y)^{2}} \leq \frac{1}{4 x y} \Rightarrow \frac{2}{(x + y)^{2}} \leq \frac{1}{2 x y} \Rightarrow \frac{2}{1^{2}} \leq \frac{1}{2 x y}$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ P $\geq$ $\geq$ 2+4 = 6

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = y \\ x^{2} + y^{2} = 2xy \\ x + y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = y \\ x^{2} + y^{2} = 2 x y \\ x + y = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy $P_{\min} = 6 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ $P_{min} = 6 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

2. Kỹ thuật tham số hóa

-Trong chứng minh bất đẳng thức đối với các biến vai trò như nhau ta thường dự đoán điểm rơi để tách và triệt tiêu biến. Đối với bất đẳng thức hoặc bài toán cực trị mà vai trò các biến không bình đẳng thì việc xác định điểm rơi không hề dễ. Có kỹ thuật giải quyết là “Tham số hóa”.

Kỹ thuật đơn giản như sau. Trong bài cực trị 2 biến x; y có vai trò khác nhau ta đặt x = ty sau đó thay vào GT của bài toán ta tính biến y theo t.

Tiếp tục thay vào biểu thức ta tìm cực trị 1 biến.

Bài 2: Cho các số thực dương a; b thỏa mãn: $\sqrt{ab}(a - b) = a + b$ $\sqrt{a b} (a - b) = a + b$ . Tìm GTNN của P = a+b

Hướng dẫn giải chi tiết

Với a > b > 0, đặt a = t.b (t > 0)

Thay vào điều kiện: $\sqrt{tbb}(tb - b) = tb + b \Rightarrow b = \frac{t + 1}{\sqrt{t}(t - 1)}$ $\sqrt{t b b} (t b - b) = t b + b \Rightarrow b = \frac{t + 1}{\sqrt{t} (t - 1)}$ khi đó: $a + b = b(t + 1) = \frac{(t + 1)^{2}}{\sqrt{t}(t - 1)} = \frac{(t - 1)^{2} + 4t}{\sqrt{t}(t - 1)}$ $a + b = b (t + 1) = \frac{(t + 1)^{2}}{\sqrt{t} (t - 1)} = \frac{(t - 1)^{2} + 4 t}{\sqrt{t} (t - 1)}$

$= \frac{t - 1}{\sqrt{t}} + \frac{4\sqrt{t}}{t - 1} \geq 2\sqrt{\frac{t - 1}{\sqrt{t}}.\frac{4\sqrt{t}}{t - 1}} = 4$ $= \frac{t - 1}{\sqrt{t}} + \frac{4 \sqrt{t}}{t - 1} \geq 2 \sqrt{\frac{t - 1}{\sqrt{t}} . \frac{4 \sqrt{t}}{t - 1}} = 4$

Dấu bằng khi: $\frac{t - 1}{\sqrt{t}} = \frac{4\sqrt{t}}{t - 1}$ $\frac{t - 1}{\sqrt{t}} = \frac{4 \sqrt{t}}{t - 1}$ $\Rightarrow t = 3 + \sqrt{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow t = 3 + \sqrt{2} \Rightarrow {\begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \end{matrix}$

Vậy min P = 4 khi $\left\{ \begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \end{matrix}$

3. Kỹ thuật khai thác giả thiết

Nhiều bài toán cực trị, biểu thức của đề cho bí trong biến đổi, ta cần khai thác GT để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị

Bài 3: Cho a; b; c dương thảo điều kiện a + b + c = 2. Tìm GTLN của

$Q = \sqrt{2a + bc} + \sqrt{2b + ca} + \sqrt{2c + ab}$ $Q = \sqrt{2 a + b c} + \sqrt{2 b + c a} + \sqrt{2 c + a b}$

Nhận xét đề bài:

Vì GT cho các số dương $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ rất có thể dùng BĐT cô si.

Vai trò các biến như nhau $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ điểm rơi là a=b=c = $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ ( vì a+b+c =2)

Mỗi số hạng dạng căn thức bậc hai muốn dùng cô si thì dưới căn phải dạng tích, nhưng

2a + bc chỉ còn viết được 1. (2a+bc) , tại điểm rơi thì 2a+bc không bằng 1 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ kg dùng trực tiếp được $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Mấu chốt của bài bằng mọi giá viết 2a +bc dạng tích!!!

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

2a + bc = (a+b+c).a + bc = a² +ab + ac + bc = (a+b)(a+c)

$\sqrt{2a + bc} = \sqrt{(a + b)(a + c)} \leq \frac{a + b + a + c}{2} = \frac{2a + b + c}{2}$ $\sqrt{2 a + b c} = \sqrt{(a + b) (a + c)} \leq \frac{a + b + a + c}{2} = \frac{2 a + b + c}{2}$

Tương tự: $\sqrt{2b + ac} = \sqrt{(b + a)(b + c)} \leq \frac{b + a + b + c}{2} = \frac{2b + a + c}{2}$ $\sqrt{2 b + a c} = \sqrt{(b + a) (b + c)} \leq \frac{b + a + b + c}{2} = \frac{2 b + a + c}{2}$

$\sqrt{2c + ab} = \sqrt{(c + a)(b + c)} \leq \frac{c + a + b + c}{2} = \frac{2c + a + b}{2}$ $\sqrt{2 c + a b} = \sqrt{(c + a) (b + c)} \leq \frac{c + a + b + c}{2} = \frac{2 c + a + b}{2}$

Cộng từng vế ba BĐT được Q $\leq$ $\leq$ $\frac{4(b + a + c)}{2} = \frac{4.2}{2} = 4$ $\frac{4 (b + a + c)}{2} = \frac{4.2}{2} = 4$

Vậy max Q = 4 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ a = b = c = $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$

III. Bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 1: Cho x; y là các số dương thỏa mãn (4x +6y +2019) (x-y+3) = 0. Tìm GTNN của P = xy – 5x + 2020.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1)^{2}}$ $Q = \frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1)^{2}}$

Bài 3: Tìm GTLN của: $A = \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 2}$ $A = \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 2}$ biết x + y = 4 (ĐK: $x \geq 1;y \geq 2$ $x \geq 1; y \geq 2$ )

Bài 4: Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x \geq 2y$ $x \geq 2 y$ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}$ $M = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$ .

------------------------------------

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ hướng dẫn chi tiết giải bài tập!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

18

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Su kem

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức lớp 9

333,6 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán