VnDoc.com

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức lớp 9

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức

I. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
II. Cách giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
III. Bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trong chương trình Toán lớp 9, chuyên đề Tìm GTLN, GTNN của biểu thức là một trong những nội dung xuất hiện thường xuyên trong đề kiểm tra, đề thi học kỳ và đặc biệt là đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là dạng bài đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt các kiến thức quan trọng như: bất đẳng thức AM-GM, Cauchy, phân tích biểu thức, đặt ẩn phụ, xét điều kiện của biến, hay xử lý các biểu thức chứa căn thức – phân thức phức tạp.

Bài viết này sẽ giúp bạn:

Hiểu bản chất của việc tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức;
Nắm được phương pháp giải nhanh, dễ nhớ và có thể áp dụng ngay;
Làm chủ những mẹo tính nhanh giúp giải đề thi lớp 10 hiệu quả;
Thực hành với hệ thống bài tập có lời giải chi tiết, chuẩn theo cấu trúc đề thi tuyển sinh.

Nếu bạn đang muốn tăng tốc ôn thi vào 10, nâng điểm Toán, hoặc cần một bộ tài liệu giúp “gỡ điểm” dạng bài khó thì đây chính là nội dung bạn không thể bỏ qua.

I. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

- Dạng toán này gắn liền với bất đẳng thức, phải biết sử dụng BĐT để làm bài toán dạng này.

- Biểu thức A $\geq$ $\geq$ k với k là số không đổi, có giá trị của biến để dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ minA = k

- Biểu thức B $\leq$ $\leq$ m với m là số không đổi, có giá trị của biến để dấu bằng xảy ra $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ maxA = m

- Giá trị biến để dấu bằng trong các BĐT trên xảy ra ta gọi là “điểm rơi”

II. Cách giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1. Kỹ thuật dự đoán điểm rơi

Đối với bài toán mà vai trò các biến như nhau thì điểm rơi xảy ra khi các biến bằng nhau.

Bài 1. Cho $x,y > 0$, $x + y = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ $P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Nhận xét:

- Biểu thức P gợi lên dùng BĐT Bunhiacoopky dạng phân thức

“Với x > 0, y > 0, ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ Dấu = khi x = y

-Vai trò x và y như nhau $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ điểm rơi tại $x = y = \frac{1}{2}$ $x = y = \frac{1}{2}$

-Nhưng tại $x = y = \frac{1}{2}$ $x = y = \frac{1}{2}$ thì $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = 2$ $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = 2$ còn $\frac{1}{xy} = \frac{1}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}} = 4$ $\frac{1}{xy} = \frac{1}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}} = 4$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Để dùng BĐT trên thì số hạng thứ hai đi với $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ phải bằng 2 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Ta phải chia $\frac{1}{xy}$ $\frac{1}{xy}$ cho 2 khi đó được $\frac{1}{2xy} = 2$ $\frac{1}{2xy} = 2$

Hướng dẫn giải chi tiết

Với $x,y > 0$, ta có $(x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (x + y)^{2} \geq 4xy$ $(x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (x + y)^{2} \geq 4xy$

$\Leftrightarrow \frac{1}{xy} \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{xy} \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$

Do đó, với $x,y > 0$ và $x + y = 1$, ta có

$P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2xy} + \left( \frac{1}{2xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \right)$ $P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2xy} + \left( \frac{1}{2xy} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \right)$

$\geq \frac{1}{2xy} + \frac{4}{2xy + x^{2} + y^{2}} \geq \frac{1}{2xy} + 4$ $\geq \frac{1}{2xy} + \frac{4}{2xy + x^{2} + y^{2}} \geq \frac{1}{2xy} + 4$

(Đến đây ta lại tiếp tục nhận xét: phải cần biến đổi $\frac{1}{2xy} \geq ????$ $\frac{1}{2xy} \geq ????$)

Ta có (x-y)² $\geq$ $\geq$ 0 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ x²+y² $\geq$ $\geq$ 2xy $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ x²+y² +2xy $\geq$ $\geq$ 2xy +2xy $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ (x+y)² $\geq$ $\geq$ 4xy

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{(x + y)^{2}} \leq \frac{1}{4xy} \Rightarrow \frac{2}{(x + y)^{2}} \leq \frac{1}{2xy} \Rightarrow \frac{2}{1^{2}} \leq \frac{1}{2xy}$ $\frac{1}{(x + y)^{2}} \leq \frac{1}{4xy} \Rightarrow \frac{2}{(x + y)^{2}} \leq \frac{1}{2xy} \Rightarrow \frac{2}{1^{2}} \leq \frac{1}{2xy}$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ P $\geq$ $\geq$ 2+4 = 6

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = y \\ x^{2} + y^{2} = 2xy \\ x + y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = y \\ x^{2} + y^{2} = 2xy \\ x + y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$.

Vậy $P_{\min} = 6 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ $P_{\min} = 6 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$.

2. Kỹ thuật tham số hóa

-Trong chứng minh bất đẳng thức đối với các biến vai trò như nhau ta thường dự đoán điểm rơi để tách và triệt tiêu biến. Đối với bất đẳng thức hoặc bài toán cực trị mà vai trò các biến không bình đẳng thì việc xác định điểm rơi không hề dễ. Có kỹ thuật giải quyết là “Tham số hóa”.

Kỹ thuật đơn giản như sau. Trong bài cực trị 2 biến x; y có vai trò khác nhau ta đặt x = ty sau đó thay vào GT của bài toán ta tính biến y theo t.

Tiếp tục thay vào biểu thức ta tìm cực trị 1 biến.

Bài 2: Cho các số thực dương a; b thỏa mãn: $\sqrt{ab}(a - b) = a + b$ $\sqrt{ab}(a - b) = a + b$. Tìm GTNN của P = a+b?

Hướng dẫn giải chi tiết

Với a > b > 0, đặt a = t.b (t > 0)

Thay vào điều kiện: $\sqrt{tbb}(tb - b) = tb + b \Rightarrow b = \frac{t + 1}{\sqrt{t}(t - 1)}$ $\sqrt{tbb}(tb - b) = tb + b \Rightarrow b = \frac{t + 1}{\sqrt{t}(t - 1)}$ khi đó: $a + b = b(t + 1) = \frac{(t + 1)^{2}}{\sqrt{t}(t - 1)} = \frac{(t - 1)^{2} + 4t}{\sqrt{t}(t - 1)}$ $a + b = b(t + 1) = \frac{(t + 1)^{2}}{\sqrt{t}(t - 1)} = \frac{(t - 1)^{2} + 4t}{\sqrt{t}(t - 1)}$

$= \frac{t - 1}{\sqrt{t}} + \frac{4\sqrt{t}}{t - 1} \geq 2\sqrt{\frac{t - 1}{\sqrt{t}}.\frac{4\sqrt{t}}{t - 1}} = 4$ $= \frac{t - 1}{\sqrt{t}} + \frac{4\sqrt{t}}{t - 1} \geq 2\sqrt{\frac{t - 1}{\sqrt{t}}.\frac{4\sqrt{t}}{t - 1}} = 4$

Dấu bằng khi: $\frac{t - 1}{\sqrt{t}} = \frac{4\sqrt{t}}{t - 1}$ $\frac{t - 1}{\sqrt{t}} = \frac{4\sqrt{t}}{t - 1}$ $\Rightarrow t = 3 + \sqrt{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow t = 3 + \sqrt{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy min P = 4 khi $\left\{ \begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$

3. Kỹ thuật khai thác giả thiết

Nhiều bài toán cực trị, biểu thức của đề cho bí trong biến đổi, ta cần khai thác GT để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị

Bài 3: Cho a; b; c dương thảo điều kiện a + b + c = 2. Tìm GTLN của biểu thức:

$Q = \sqrt{2a + bc} + \sqrt{2b + ca} + \sqrt{2c + ab}$ $Q = \sqrt{2a + bc} + \sqrt{2b + ca} + \sqrt{2c + ab}$

Nhận xét đề bài:

Vì GT cho các số dương $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ rất có thể dùng BĐT cô si.

Vai trò các biến như nhau $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ điểm rơi là a=b=c = $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ ( vì a+b+c =2)

Mỗi số hạng dạng căn thức bậc hai muốn dùng cô si thì dưới căn phải dạng tích, nhưng

2a + bc chỉ còn viết được 1. (2a+bc) , tại điểm rơi thì 2a+bc không bằng 1 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ kg dùng trực tiếp được $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Mấu chốt của bài bằng mọi giá viết 2a +bc dạng tích!!!

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

2a + bc = (a+b+c).a + bc = a² +ab + ac + bc = (a+b)(a+c)

$\sqrt{2a + bc} = \sqrt{(a + b)(a + c)} \leq \frac{a + b + a + c}{2} = \frac{2a + b + c}{2}$ $\sqrt{2a + bc} = \sqrt{(a + b)(a + c)} \leq \frac{a + b + a + c}{2} = \frac{2a + b + c}{2}$

Tương tự: $\sqrt{2b + ac} = \sqrt{(b + a)(b + c)} \leq \frac{b + a + b + c}{2} = \frac{2b + a + c}{2}$ $\sqrt{2b + ac} = \sqrt{(b + a)(b + c)} \leq \frac{b + a + b + c}{2} = \frac{2b + a + c}{2}$

$\sqrt{2c + ab} = \sqrt{(c + a)(b + c)} \leq \frac{c + a + b + c}{2} = \frac{2c + a + b}{2}$ $\sqrt{2c + ab} = \sqrt{(c + a)(b + c)} \leq \frac{c + a + b + c}{2} = \frac{2c + a + b}{2}$

Cộng từng vế ba BĐT được Q $\leq$ $\leq$ $\frac{4(b + a + c)}{2} = \frac{4.2}{2} = 4$ $\frac{4(b + a + c)}{2} = \frac{4.2}{2} = 4$

Vậy max Q = 4 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ a = b = c = $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$

III. Bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 1: Cho x; y là các số dương thỏa mãn (4x +6y +2019) (x-y+3) = 0. Tìm GTNN của P = xy – 5x + 2020.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1)^{2}}$ $Q = \frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1)^{2}}$

Bài 3: Tìm GTLN của: $A = \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 2}$ $A = \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 2}$ biết x + y = 4 (ĐK: $x \geq 1;y \geq 2$ $x \geq 1;y \geq 2$)

Bài 4: Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x \geq 2y$ $x \geq 2y$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}$ $M = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}$.

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ hướng dẫn chi tiết giải bài tập!

------------------------------------

Dạng bài tìm GTLN, GTNN của biểu thức lớp 9 không chỉ yêu cầu nắm chắc kiến thức mà còn cần sự tinh tế trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp. Khi đã hiểu đúng bản chất và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ dễ dàng nhận ra mô hình của từng dạng toán và giải nhanh chỉ trong vài bước.

Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn một góc nhìn đầy đủ – chi tiết – dễ hiểu, đồng thời giúp bạn tự tin hơn trong quá trình ôn thi vào lớp 10. Hãy tiếp tục luyện tập với các bài tập nâng cao, đề thi thử và áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức quan trọng để đạt điểm tối đa.

Chúc bạn thành công trong kỳ thi sắp tới và chinh phục môn Toán lớp 9 một cách hiệu quả nhất!

Tải về

Chọn file muốn tải về: