Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Trong chương trình Toán lớp 9, phương trình bậc hai là kiến thức trọng tâm, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Việc nắm vững công thức nghiệm của phương trình bậc hai không chỉ giúp học sinh giải nhanh các dạng bài tập mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc học Toán ở bậc THPT. Bài viết này sẽ trình bày rõ ràng công thức nghiệm đầy đủ, công thức nghiệm thu gọn, kèm ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp bạn tiếp thu kiến thức nhanh chóng và áp dụng hiệu quả.

1. Định nghĩa phương trình bậc 2

+) Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax² + bx  +c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

+) Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.

2. Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac

Tham khảo thêm: Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là \(x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\)

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b² - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

3. Các dạng toán áp dụng Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn

Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng cộng thức nghiệm

Bài tập ví dụ minh họa:

Câu 1: Giải phương trình x² - 5x + 4 = 0

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-5)² - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

\(x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.1}=\frac{8}{2}=4\) và \(x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.1}=\frac{2}{2}=1\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 4; x₂ = 1

Câu 2: Giải phương trình 5x² - x + 2 = 0

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-1)² - 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 3: Giải phương trình x² - 4x + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-4)² - 4.4.1 = 16 - 16 = 0.

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là x₁ = x₂ = \(\frac{-4}{2.1}\) = 2

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2

Bài tập phương trình bậc hai chứa tham số

Câu 1: Cho phương trình \(x^2+(2m+1)x+m^2-1=0\)(1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d, Tìm m để phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn giải 

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với :

\(\Delta=b^2-4ac=(2m+1)^2-4.(m^2-1)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2+4=4m+5\)

a, Để phương trình (1) có nghiệm

\(\Leftrightarrow \Delta \geq0\Leftrightarrow4m+5\geq0\Leftrightarrow m\geq\frac{-5}{4}\)

b, Để phương trình (1) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow4m+5=0\Leftrightarrow m=\frac{-5}{4}\)

c, Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow4m+5>0\Leftrightarrow m>\frac{-5}{4}\)

d, Để phương trình (1) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow4m+5<0\Leftrightarrow m<\frac{-5}{4}\).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}\)

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m > - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\)

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b' \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 0 \\ m + 1 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\)

d) Phương trình vô nghiệm.

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b' = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' < 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\)

e) Phương trình vô nghiệm.

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b' = c = 0 \\ a = 0;b' \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = m + 1 = m + 2 = 0 \\ m = 0;m + 1 \neq 0 \\ m \neq 0;4m + 1 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải

a) Với \(m < \frac{9}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = \frac{1 + \sqrt{9 - 4m}}{2} \\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{9 - 4m}}{2} \\ \end{matrix} \right.\).

b) Với \(m > \frac{15}{8}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = \frac{3 + \sqrt{8m - 15}}{4} \\ x_{2} = \frac{3 - \sqrt{8m - 15}}{4} \\ \end{matrix} \right.\).

c) Với \(m < \frac{16}{3}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = \frac{1 + \sqrt{16 - 3m}}{3} \\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{16 - 3m}}{3} \\ \end{matrix} \right.\).

d) Với \(- 4 < m < 4\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 + \sqrt{16 - m^{2}} \\ x_{2} = 4 - \sqrt{16 - m^{2}} \\ \end{matrix} \right.\).

Hướng dẫn giải

a) Với \(m = 4\) phương trình có nghiệm kép \(x_{1} = x_{2} = \frac{m}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

Với \(m = - 4\) phương trình có nghiệm kép \(x_{1} = x_{2} = \frac{m}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1\)

b) Với \(m = \frac{4}{3}\) phương trình có nghiệm kép \(x_{1} = x_{2} = \frac{- 1}{m - 1} = \frac{- 1}{\frac{4}{3} - 1} = - 3\).

Hướng dẫn giải

a. Học sinh tự thực hành

b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi

\(\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ (x_{1} - 1)(x_{2} - 1) > 0 \\ x_{1} - 1 + x_{2} - 1 > 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < m < 3\)

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): x² + 2x + 3m – 4 = 0 (*)

\(\Rightarrow\) (*) cũng là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = x² + 2x – 4 và y = -3m

Vẽ bảng biến thiên của hàm số y = x² + 2x – 4 trên đoạn [-2; 3]

Lập luận và dựa vào bảng biến thiên để có \(- 5 < - 3m \leq - 4 \Leftrightarrow \frac{4}{3} \leq m < \frac{5}{3}\)

Kết luận \(\frac{4}{3} \leq m < \frac{5}{3}\)

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm

\(x^{2} + mx + 1 = 2x - 3 \Leftrightarrow x^{2} + (m - 2)x + 4 = 0\)

Điều kiện để cắt tại 2 điểm A, B:

\(\bigtriangleup > 0 \Rightarrow m^{2} - 4m - 12 > 0 \Leftrightarrow m < - 2 \vee m > 6\)

Ta có \(AB = 5 \Rightarrow \left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} + \left( y_{2} - y_{1} \right)^{2} = 25\)

\(\Leftrightarrow 5\left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} = 25\)

\(\Leftrightarrow \left( S^{2} - 4P \right) = 5\)

\(\Leftrightarrow (m - 2)^{2} - 16 = 5\)

\(\Leftrightarrow (m - 2)^{2} = 21 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt{21}\)

Hướng dẫn giải

a. Học sinh tự thực hành

b. + \(M \in (P) \Rightarrow M(m;m^{2} - 1)\)

+ \(OM = \sqrt{m^{2} + (m^{2} - 1)^{2}}\) ngắn nhất

+ \(m^{2} + (m^{2} - 1)^{2}\) nhỏ nhất

+ \(m^{4} - m^{2} + 1 = (m^{2} - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}\) nhỏ nhất

Khi và chỉ khi : \(m^{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

+ Có 2 điểm M cần tìm là: \(M_{1}(\frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{2});M_{2}( - \frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{2})\)

Tại điểm \(M_{1}\)

+Tìm được hệ số góc của đường thẳng \(OM_{1}\) : k =\(- \frac{1}{\sqrt{2}}\)

+ Tìm được hệ số góc của tiếp tuyến tại đểm \(M_{1}\) là \(k' = \sqrt{2}\)

+ Suy ra được : \(k.k' = - 1\)

+ Tương tự tại điểm \(M_{2}\)

4. Bài tập tự luyện giải phương trình bậc 2 chứa tham số

Bài tập 1. Cho phương trình mx³ - 3x + 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt.

b) Có nghiệm kép. 

c) Vô nghiệm.

d) Có đúng một nghiệm.

Bài tập 2. Cho phương trình m mx² - 2x + 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt. 

b) Có nghiệm kép. 

c) Vô nghiệm. 

d) Có đúng một nghiệm.

--------------------------------------------------------------------------

Trên đây là toàn bộ kiến thức về công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong chương trình Toán 9, bao gồm cả công thức nghiệm đầy đủ và công thức nghiệm thu gọn, kèm ví dụ minh họa chi tiết.

Việc học thuộc và vận dụng thành thạo công thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhanh gọn nhiều dạng bài toán, từ cơ bản đến nâng cao. Hãy kết hợp lý thuyết với luyện tập bài tập thực tế để củng cố kỹ năng và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi.

Nếu thấy tài liệu này hữu ích, đừng quên chia sẻ cho bạn bè và lưu lại để ôn tập bất cứ khi nào cần.