Cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản nhất
Giải hệ phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một dạng toán quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán 9, đặc biệt trong các đề thi cuối kỳ hoặc ôn luyện HSG. Việc giải loại hệ này đòi hỏi học sinh nắm rõ bản chất của dấu giá trị tuyệt đối và biết cách chia trường hợp hợp lý. Trong bài viết này, bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, dễ hiểu, kèm theo bài tập mẫu và đáp án giúp bạn luyện tập hiệu quả.
Phương pháp:
Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, …. (chú ý điều kiện xác định).
Bài tập 1. Giải các hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau:
a)  \(\left\{ \begin{matrix}2|x + 1| - 5y = 3 \\|x + 1| + 2y = - \dfrac{3}{5}\end{matrix} \right.\) |
b) \(\left\{ \begin{matrix}|x + 2| + \dfrac{4}{|2y - 1|} = 5 \\3|x + 2| - \dfrac{2}{|2y - 1|} = 1\end{matrix} \right.\) |
| c) \(\left\{ \begin{matrix}
5|x - 1| - 3|y + 2| = 7 \\
2\sqrt{4x^{2} - 8x + 4} + 5\sqrt{y^{2} + 4y + 4} = 13
\end{matrix} \right.\) |
d) \(\left\{ \begin{matrix}
|x + 2| + 4|y - 1| = 5 \\
3|x + 2| - 2|y - 1| = 1
\end{matrix} \right.\) |
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
2|x + 1| - 5y = 3 \\
|x + 1| + 2y = - \frac{3}{5}
\end{matrix} \right.\). Điều kiện xác định \(x;y\mathbb{\in R}\)
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
a = |x + 1|;(a \geq 0) \\
b = y
\end{matrix} \right.\). Hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{matrix}
2a - 5b = 3 \\
a + 2b = - \frac{3}{5}
\end{matrix} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ phương trình mới: \(\left\{ \begin{matrix}
2a - 5b = 3 \\
2a + 4b = - \frac{6}{5}
\end{matrix} \right.\)
Trừ hai vế của hai phương trình ta được:
\((2a - 5b) - (2a + 4b) = 3 - \frac{-
6}{5}\)
\(- 9b = \frac{21}{5}\)
\(b = - \frac{7}{15}\)
Thế \(b = - \frac{7}{15}\) vào phương trình thứ nhất ta được:
\(2s - 5.\frac{- 7}{15} = 3\)
\(a = \frac{1}{3}\)
Khi đó; \(\left\{ \begin{matrix}|x + 1| = \dfrac{1}{3} \\y = \dfrac{- 7}{15}\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\x = - \dfrac{4}{3}\end{matrix} \right.\ (tm) \\y = \dfrac{- 7}{15}\end{matrix} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: \((x;y) \in \left\{ \left( \frac{- 2}{3}; -
\frac{7}{15} \right),\left( \frac{- 4}{3}; - \frac{7}{15} \right)
\right\}\).
b) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}|x + 2| + \dfrac{4}{|2y - 1|} = 5 \\3|x + 2| - \dfrac{2}{|2y - 1|} = 1\end{matrix} \right.\)
Điều kiện \(y \neq \frac{1}{2}\)
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
a = |x + 2| \\
b = \frac{1}{|2y - 1|}
\end{matrix} \right.\ ;(a \geq 0;b > 0)\)
Hệ phương trình trở thành \(\left\{
\begin{matrix}
a + 4b = 5 \\
3a - 2b = 1
\end{matrix} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất ta có: \(a = 5 -
4b\)
Thay \(a = 5 - 4b\) vào phương trình thứ hai ta được:
\(3.(5 - 4b) - 2b = 1\)
\(15 - 12b - 2b = 1\)
\(b = 1\)
Thế \(b = 1\) vào \(a = 5 - 4b\) ta được:
\(\left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 1
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
|x + 2| = 1 \\
\frac{1}{|2y - 1|} = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
x = - 1 \\
x = - 3
\end{matrix} \right.\ \\
\left\lbrack \begin{matrix}
y = 1 \\
y = 0
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ (tm)\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) \in \left\{ ( - 1;0),( - 1;1);( - 3;0);( -
3;1) \right\}\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
5|x - 1| - 3|y + 2| = 7 \\
2\sqrt{4x^{2} - 8x + 4} + 5\sqrt{y^{2} + 4y + 4} = 13
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5|x - 1| - 3|y + 2| = 7 \\
2\sqrt{4(x - 1)^{2}} + 5\sqrt{(y + 2)^{2}} = 13
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5|x - 1| - 3|y + 2| = 7 \\
4|x - 1| + 5|y + 2| = 13
\end{matrix} \right.\)
Điều kiện \(x;y\mathbb{\in R}\)
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
a = |x - 1| \\
b = |y + 2|
\end{matrix} \right.\ ;(a \geq 0;a \geq 0)\)
Hệ phương trình trở thành: \(\left\{
\begin{matrix}
5a - 3b = 7 \\
4a + 5b = 13
\end{matrix} \right.\)
Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 5, nhân cả hai vế phương trình thứ 2 với 3 ta được hệ phương trình mới:
\(\left\{ \begin{matrix}
25a - 15b = 35 \\
12a + 15b = 39
\end{matrix} \right.\)
Cộng hai vế của hai phương trình ta được:
\((25a - 15b) + (12a + 15b) = 35 +
39\)
\(37a = 74\)
\(a = 2\)
Thế a = 2 vào phương trình thứ nhất ta được:
\(5.2 - 3b = 7\)
\(b = 1\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}
|x - 1| = 2 \\
|y + 2| = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 3
\end{matrix} \right.\ \\
\left\lbrack \begin{matrix}
y = - 1 \\
y = - 3
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ (tm)\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) \in \left\{ ( - 1; - 1),(3; - 1),( - 1; -
3),(3; - 3) \right\}\).
d) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
|x + 2| + 4|y - 1| = 5 \\
3|x + 2| - 2|y - 1| = 1
\end{matrix} \right.\)
Điều kiện \(x;y\mathbb{\in R}\)
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
a = |x + 2| \\
b = |y - 1|
\end{matrix} \right.\ ;(a \geq 0;a \geq 0)\)
Hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{matrix}
a + 4b = 5 \\
3a - 2b = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
3a + 12b = 15 \\
3a - 2b = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
14b = 14 \\
a + 4b = 5
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = 1 \\
a = 1
\end{matrix} \right.\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}
|x + 2| = 1 \\
|y - 1| = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
x = - 1 \\
x = - 3
\end{matrix} \right.\ \\
\left\lbrack \begin{matrix}
y = 2 \\
y = 0
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ (tm)\)
Bài tập 2. Giải các hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau:
a) \(\left\{ \begin{matrix}|x + 2| + 4\sqrt{y + 1} = 5 \\3|x + 2| - 2\sqrt{y + 1} = 1\end{matrix} \right.\) b) \(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{1}{|2y - 1|} = 5 \\\dfrac{4}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{1}{|1 - 2y|} = 3\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
a) Xét hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
|x + 2| + 4\sqrt{y + 1} = 5 \\
3|x + 2| - 2\sqrt{y + 1} = 1
\end{matrix} \right.\)
Điều kiện \(y \geq - 1\)
Đặt \(a = |x + 2|;b = \sqrt{y + 1};(a \geq
0;b \geq 0)\)
Hệ phương trình trở thành
\(\left\{ \begin{matrix}
a + 4b = 5 \\
3a - 2b = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
3a + 12b = 15 \\
3a - 2b = 1
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
14b = 14 \\
a + 4b = 5
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = 1 \\
a = 1
\end{matrix} \right.\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}|x + 2| = 1 \\\sqrt{y + 1} = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 3\end{matrix} \right.\ \\y = 0\end{matrix} \right.\ (tm)\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) \in \left\{ ( - 1;0);( - 3;0)
\right\}\).
b) Xét hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{8}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{1}{|2y - 1|} = 5 \\\dfrac{4}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{1}{|1 - 2y|} = 3\end{matrix} \right.\)
Điều kiện \(x \geq 0;x \neq 9;y \neq
\frac{1}{2}\)
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
a = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \\
b = \frac{1}{|1 - 2y|}
\end{matrix} \right.\ ;(b > 0)\). Hệ phương trình trở thành:
Hệ phương trình trở thành
\(\left\{ \begin{matrix}
8a + b = 5 \\
4a + b = 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4a = 2 \\
4a + b = 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = \frac{1}{2} \\
b = 1
\end{matrix} \right.\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{1}{2} \\\frac{1}{|1 - 2y|} = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{x} - 3 = 2 \\|1 - 2y| = 1\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 25 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
y = 0 \\
y = - 1
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ (tm)\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) \in \left\{ (25;0),(25; - 1)
\right\}\).
Bài tập 3. Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix}17x + 2y = 2011|xy|\\x - 2y = 3xy.\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Nếu \(xy > 0\) thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{17}{y} + \dfrac{2}{x} = 2011 \\\dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{x} = 3\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{y} = \dfrac{1007}{9} \\\dfrac{1}{x} = \dfrac{490}{9}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{9}{490} \\y = \dfrac{9}{1007}\end{matrix} \right.\) (phù hợp)
Nếu \(xy < 0\) thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{17}{y} + \dfrac{2}{x} = - 2011 \\\dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{x} = 3\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{y} = \dfrac{- 1004}{9} \\\dfrac{1}{x} = - \dfrac{1031}{18}\end{matrix} \right.\ \Rightarrow xy > 0\) (loại)
Nếu \(xy = 0\) thì (1) \(\Leftrightarrow x = y = 0\) (nhận).
Kết luận: Hệ có đúng 2 nghiệm là \((0;0)\) và \(\left( \frac{9}{490};\frac{9}{1007}
\right)\).
Bài tập 4 (Nâng cao). Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix}|xy - 18| = 12 - x^{2} \\xy = 9 + \dfrac{1}{3}y^{2}\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(|xy - 18| = 12 - x^{2} \Rightarrow
12 - x^{2} \geq 0 \Rightarrow |x| \leq 2\sqrt{3}\)
\(xy = 9 + \frac{1}{3}y^{2} \Rightarrow
|x||y| \geq 2\sqrt{3}|y| \Rightarrow |x| \geq 2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow |x| = 2\sqrt{3} \Rightarrow
xy = 18\)
\(\Rightarrow x \in \left\{ -
2\sqrt{3};2\sqrt{3} \right\}\), tương ứng \(y \in \left\{ - 3\sqrt{3};3\sqrt{3}
\right\}\)
Thử lại, thoả mãn hệ đã cho
Vậy,\((x;y) \in \left\{ \left( -
2\sqrt{3}; - 3\sqrt{3} \right),\left( 2\sqrt{3};3\sqrt{3} \right)
\right\}\) .
------------------------------------------------
Trên đây là hướng dẫn đầy đủ về cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong chương trình Toán lớp 9. Hy vọng qua các ví dụ cụ thể và phương pháp từng bước, bạn đã nắm vững cách chia trường hợp và giải bài hiệu quả. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kỹ năng và chuẩn bị tốt cho các kỳ kiểm tra nhé!
