Cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản

Giải hệ phương trình có dấu giá trị tuyệt đối

Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một dạng toán quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán 9, đặc biệt trong các đề thi cuối kỳ hoặc ôn luyện HSG. Việc giải loại hệ này đòi hỏi học sinh nắm rõ bản chất của dấu giá trị tuyệt đối và biết cách chia trường hợp hợp lý. Trong bài viết này, bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, dễ hiểu, kèm theo bài tập mẫu và đáp án giúp bạn luyện tập hiệu quả.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} 2|x + 1| - 5y = 3 \\ |x + 1| + 2y = - \frac{3}{5} \end{matrix} \right.\). Điều kiện xác định \(x;y\mathbb{\in R}\)

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} a = |x + 1|;(a \geq 0) \\ b = y \end{matrix} \right.\). Hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{matrix} 2a - 5b = 3 \\ a + 2b = - \frac{3}{5} \end{matrix} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ phương trình mới: \(\left\{ \begin{matrix} 2a - 5b = 3 \\ 2a + 4b = - \frac{6}{5} \end{matrix} \right.\)

Trừ hai vế của hai phương trình ta được:

\((2a - 5b) - (2a + 4b) = 3 - \frac{- 6}{5}\)

\(- 9b = \frac{21}{5}\)

\(b = - \frac{7}{15}\)

Thế \(b = - \frac{7}{15}\) vào phương trình thứ nhất ta được:

\(2s - 5.\frac{- 7}{15} = 3\)

\(a = \frac{1}{3}\)

Khi đó; \(\left\{ \begin{matrix}|x + 1| = \dfrac{1}{3} \\y = \dfrac{- 7}{15}\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\x = - \dfrac{4}{3}\end{matrix} \right.\ (tm) \\y = \dfrac{- 7}{15}\end{matrix} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: \((x;y) \in \left\{ \left( \frac{- 2}{3}; - \frac{7}{15} \right),\left( \frac{- 4}{3}; - \frac{7}{15} \right) \right\}\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}|x + 2| + \dfrac{4}{|2y - 1|} = 5 \\3|x + 2| - \dfrac{2}{|2y - 1|} = 1\end{matrix} \right.\)

Điều kiện \(y \neq \frac{1}{2}\)

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} a = |x + 2| \\ b = \frac{1}{|2y - 1|} \end{matrix} \right.\ ;(a \geq 0;b > 0)\)

Hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{matrix} a + 4b = 5 \\ 3a - 2b = 1 \end{matrix} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất ta có: \(a = 5 - 4b\)

Thay \(a = 5 - 4b\) vào phương trình thứ hai ta được:

\(3.(5 - 4b) - 2b = 1\)

\(15 - 12b - 2b = 1\)

\(b = 1\)

Thế \(b = 1\) vào \(a = 5 - 4b\) ta được:

\(\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} |x + 2| = 1 \\ \frac{1}{|2y - 1|} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 3 \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} y = 1 \\ y = 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ (tm)\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) \in \left\{ ( - 1;0),( - 1;1);( - 3;0);( - 3;1) \right\}\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} 5|x - 1| - 3|y + 2| = 7 \\ 2\sqrt{4x^{2} - 8x + 4} + 5\sqrt{y^{2} + 4y + 4} = 13 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5|x - 1| - 3|y + 2| = 7 \\ 2\sqrt{4(x - 1)^{2}} + 5\sqrt{(y + 2)^{2}} = 13 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5|x - 1| - 3|y + 2| = 7 \\ 4|x - 1| + 5|y + 2| = 13 \end{matrix} \right.\)

Điều kiện \(x;y\mathbb{\in R}\)

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} a = |x - 1| \\ b = |y + 2| \end{matrix} \right.\ ;(a \geq 0;a \geq 0)\)

Hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{matrix} 5a - 3b = 7 \\ 4a + 5b = 13 \end{matrix} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 5, nhân cả hai vế phương trình thứ 2 với 3 ta được hệ phương trình mới:

\(\left\{ \begin{matrix} 25a - 15b = 35 \\ 12a + 15b = 39 \end{matrix} \right.\)

Cộng hai vế của hai phương trình ta được:

\((25a - 15b) + (12a + 15b) = 35 + 39\)

\(37a = 74\)

\(a = 2\)

Thế a = 2 vào phương trình thứ nhất ta được:

\(5.2 - 3b = 7\)

\(b = 1\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix} |x - 1| = 2 \\ |y + 2| = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} y = - 1 \\ y = - 3 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ (tm)\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) \in \left\{ ( - 1; - 1),(3; - 1),( - 1; - 3),(3; - 3) \right\}\).

d) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} |x + 2| + 4|y - 1| = 5 \\ 3|x + 2| - 2|y - 1| = 1 \end{matrix} \right.\)

Điều kiện \(x;y\mathbb{\in R}\)

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} a = |x + 2| \\ b = |y - 1| \end{matrix} \right.\ ;(a \geq 0;a \geq 0)\)

Hệ phương trình trở thành:

\(\left\{ \begin{matrix} a + 4b = 5 \\ 3a - 2b = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a + 12b = 15 \\ 3a - 2b = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 14b = 14 \\ a + 4b = 5 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 1 \\ a = 1 \end{matrix} \right.\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix} |x + 2| = 1 \\ |y - 1| = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 3 \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} y = 2 \\ y = 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ (tm)\)

Hướng dẫn giải

a) Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} |x + 2| + 4\sqrt{y + 1} = 5 \\ 3|x + 2| - 2\sqrt{y + 1} = 1 \end{matrix} \right.\)

Điều kiện \(y \geq - 1\)

Đặt \(a = |x + 2|;b = \sqrt{y + 1};(a \geq 0;b \geq 0)\)

Hệ phương trình trở thành

\(\left\{ \begin{matrix} a + 4b = 5 \\ 3a - 2b = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a + 12b = 15 \\ 3a - 2b = 1 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 14b = 14 \\ a + 4b = 5 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 1 \\ a = 1 \end{matrix} \right.\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}|x + 2| = 1 \\\sqrt{y + 1} = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 3\end{matrix} \right.\ \\y = 0\end{matrix} \right.\ (tm)\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) \in \left\{ ( - 1;0);( - 3;0) \right\}\).

b) Xét hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{8}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{1}{|2y - 1|} = 5 \\\dfrac{4}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{1}{|1 - 2y|} = 3\end{matrix} \right.\)

Điều kiện \(x \geq 0;x \neq 9;y \neq \frac{1}{2}\)

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} a = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \\ b = \frac{1}{|1 - 2y|} \end{matrix} \right.\ ;(b > 0)\). Hệ phương trình trở thành:

Hệ phương trình trở thành

\(\left\{ \begin{matrix} 8a + b = 5 \\ 4a + b = 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a = 2 \\ 4a + b = 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \frac{1}{2} \\ b = 1 \end{matrix} \right.\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{1}{2} \\\frac{1}{|1 - 2y|} = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{x} - 3 = 2 \\|1 - 2y| = 1\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 25 \\ \left\lbrack \begin{matrix} y = 0 \\ y = - 1 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ (tm)\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y) \in \left\{ (25;0),(25; - 1) \right\}\).

Hướng dẫn giải

Nếu \(xy > 0\) thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{17}{y} + \dfrac{2}{x} = 2011 \\\dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{x} = 3\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{y} = \dfrac{1007}{9} \\\dfrac{1}{x} = \dfrac{490}{9}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{9}{490} \\y = \dfrac{9}{1007}\end{matrix} \right.\) (phù hợp)

Nếu \(xy < 0\) thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{17}{y} + \dfrac{2}{x} = - 2011 \\\dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{x} = 3\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{y} = \dfrac{- 1004}{9} \\\dfrac{1}{x} = - \dfrac{1031}{18}\end{matrix} \right.\ \Rightarrow xy > 0\) (loại)

Nếu \(xy = 0\) thì (1) \(\Leftrightarrow x = y = 0\) (nhận).

Kết luận: Hệ có đúng 2 nghiệm là \((0;0)\) và \(\left( \frac{9}{490};\frac{9}{1007} \right)\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(|xy - 18| = 12 - x^{2} \Rightarrow 12 - x^{2} \geq 0 \Rightarrow |x| \leq 2\sqrt{3}\)

\(xy = 9 + \frac{1}{3}y^{2} \Rightarrow |x||y| \geq 2\sqrt{3}|y| \Rightarrow |x| \geq 2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow |x| = 2\sqrt{3} \Rightarrow xy = 18\)

\(\Rightarrow x \in \left\{ - 2\sqrt{3};2\sqrt{3} \right\}\), tương ứng \(y \in \left\{ - 3\sqrt{3};3\sqrt{3} \right\}\)

Thử lại, thoả mãn hệ đã cho

Vậy,\((x;y) \in \left\{ \left( - 2\sqrt{3}; - 3\sqrt{3} \right),\left( 2\sqrt{3};3\sqrt{3} \right) \right\}\).

--------------------------------------

❓ FAQ 

1. Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là gì?

Đây là hệ phương trình có chứa biểu thức giá trị tuyệt đối của một hoặc nhiều ẩn số, yêu cầu xét điều kiện để khử dấu giá trị tuyệt đối trước khi giải.

2. Muốn giải hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối cần làm gì?

Bước quan trọng nhất là xét dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối, sau đó chuyển hệ phương trình về các trường hợp tương ứng để giải.

3. Giá trị tuyệt đối của một số được hiểu như thế nào?

Giá trị tuyệt đối biểu thị khoảng cách từ số đó đến số 0 trên trục số và luôn không âm.

4. Những dạng hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường gặp trong Toán 9 là gì?

Các dạng phổ biến gồm:

• Hệ chứa một dấu giá trị tuyệt đối
• Hệ chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
• Hệ đối xứng chứa giá trị tuyệt đối
• Hệ kết hợp với phương trình bậc hai

5. Vì sao cần kiểm tra nghiệm sau khi giải?

Do quá trình xét trường hợp có thể tạo ra nghiệm không thỏa mãn điều kiện ban đầu, nên việc thử lại nghiệm là bước bắt buộc.

6. Hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối có xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 không?

Có. Đây là dạng toán thường gặp trong các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao nhằm đánh giá khả năng tư duy và lập luận của học sinh.

------------------------------------------------

Trên đây là hướng dẫn đầy đủ về cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong chương trình Toán lớp 9. Hy vọng qua các ví dụ cụ thể và phương pháp từng bước, bạn đã nắm vững cách chia trường hợp và giải bài hiệu quả. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kỹ năng và chuẩn bị tốt cho các kỳ kiểm tra nhé!