Bài toán tương giao đồ thị hàm số bậc nhất với bậc nhất

Cách giải bài toán tương giao đồ thị bậc nhất

Trong chương trình Toán 9, dạng bài tương giao đồ thị hàm số bậc nhất với bậc nhất là một chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Nắm vững phương pháp giải không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số bậc nhất mà còn rèn luyện kỹ năng vẽ và phân tích đồ thị. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách nhận biết, phương pháp giải và đưa ra ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn học chắc và làm bài hiệu quả.

Hướng dẫn giải

Điều kiện để (∆_m) là đồ thị hàm số bậc nhất là \(m \neq 0\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d₁) và (∆_m) là:

\(0,5x + 3 = mx\) ⇔ \((m - 0,5)x = 3\)

Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là \(m - 0,5 < 0\) hay \(m < 0,5\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d₂) và (∆_m) là:

\(6 - x = mx\) ⇔ \((m + 1)x = 6\)

Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là \(m + 1 > 0\) hay \(m > - 1\)

Vậy điều kiện cần tìm là: \(- 1 < m < 0,5;m \neq 0\).

Hướng dẫn giải

Đồ thị \(y = - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\) có: \(\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2} \\ y = 0 \Rightarrow x = 3 \end{matrix} \right.\)

Đồ thị \(y = |x| = \left\{ \begin{matrix} x\ khi\ x \geq 0 \\ - x\ khi\ x \leq 0 \end{matrix} \right.\)

Đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3)

Ta có: OM = \(\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow\) OM² = 2

ON = \(\sqrt{3^{2} + ( - 3)^{2}} = 3\sqrt{2} \Rightarrow\) ON² = 18

MN = \(\sqrt{(1 - 3)^{2} + (1 + 3)^{2}} = \sqrt{20} \Rightarrow\) MN² = 20

Vì: OM² + ON² = MN²

Vậy: tam giác OMN vuông tại O.

Hướng dẫn giải

a) Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{matrix} y = - 2x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{4 - y}{2} \\ 2y = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{3}{2} \\ y = 1 \end{matrix} \right.\)

Vậy giao điểm A của hai đường thẳng là \(A\left( \frac{3}{2};1 \right)\)

b) Xét đường thẳng (d₁): y = -2x + 4

Với x = 0=> y = 4 ; y = 0 => x = 2. Đường thẳng (d₁) đi qua hai điểm (0 ; 4) và (2; 0)

Xét đường thẳng (d₂) : y = 2x - 2

Với x = 0 => y = -2 ; y = 0 =>  x = 1. Đường thẳng (d₁) đi qua hai điểm (0 ; -2) và (1; 0)

c) Ta có: \(A\left( \frac{3}{2};1 \right)\), B(2; 0), C(1; 0), D(0; 4) và E(0; -2)

Do đó: BC = | 2 – 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 – 0 | = 2

Gọi AH là đường cao của \(\Delta\)ABC , AK là đường cao của \(\Delta\)ADE => AH = 1 , AK = \(\frac{3}{2}\)

Gọi \(S_{ABC};S_{ADE};S_{BDE};S_{ABE}\) lần lượt là diện tích của các tam giác ABC , ADE , BDE , ABE.

Ta có :

\(S_{ABC} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{2}\) (đơn vị diện tích)

\(S_{ADE} = \frac{1}{2}AK.DE = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}.6 = \frac{9}{2}\) (đơn vị diện tích)

\(S_{BDE} = \frac{1}{2}BO.DE = \frac{1}{2}.2.6 = 6\) (đơn vị diện tích)

\(S_{ABE} = S_{BDE} - S_{ADE} = \frac{3}{2}\) (đơn vị diện tích)

d) Góc tạo bởi đường thẳng d₁ và d₂ với trục hoành lần lượt là \(\widehat{DBx};\widehat{ACx}\)

Tam giác OBD vuông tại O có: \(\tan\widehat{OBD} = \frac{OD}{OB} = 2 \Rightarrow \widehat{OBD} = 63^{0}4'\)

\(\Rightarrow \widehat{BDx} = 180^{0} - 63^{0}4' = 116,6^{0}\)

Tam giác OCE vuông tại O có: \(\tan\widehat{OCE} = \frac{OE}{OC} = 2 \Rightarrow \widehat{OCE} = 63^{0}4'\)

\(\Rightarrow \widehat{ACx} = 63^{0}4'\)

Vậy góc tạo bởi đường thẳng d₁ và d₂ với trục hoành cùng là 63,4⁰.

-------------------------------------------------------

Qua chuyên đề tương giao đồ thị hàm số bậc nhất với bậc nhất, học sinh có thể hệ thống lại kiến thức về hàm số bậc nhất, kỹ năng lập phương trình đường thẳng và cách tìm tọa độ giao điểm. Đây là kiến thức nền tảng để tự tin bước vào kỳ thi tuyển sinh lớp 10. Để đạt kết quả cao, bạn nên kết hợp việc luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao. Hy vọng bài viết đã mang lại cho bạn tài liệu hữu ích trong hành trình ôn thi Toán 9 vào 10.