Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9
Ôn thi vào 10 chuyên đề phương trình bậc hai lớp 9
Trong chương trình Toán lớp 9, việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai là kiến thức quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, đồng thời chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xét dấu nghiệm phương trình bậc hai, kết hợp với ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn dễ hiểu và áp dụng vào các dạng bài tập khác nhau. Đây cũng là chuyên đề trọng tâm thuộc ôn thi Toán 9 vào 10, giúp học sinh nắm chắc phương pháp giải nhanh, chính xác.
A. Phương pháp giải
Gọi 
\(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq
0)\)
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\
P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a}
\end{matrix} \right.\)
Ta có:
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(P
< 0\) (hoặc \(a.c <
0\)).
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
P > 0
\end{matrix} \right.\).
Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
S > 0 \\
P > 0
\end{matrix} \right.\).
Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
S < 0 \\
P > 0
\end{matrix} \right.\).
B. Bài tập minh họa xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Ví dụ 1. Cho phương trình \(x^{2} - 2(m -
7)x + m^{2} - 7 = 0\) (với \(m\) là tham số). Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm cùng dấu.
Hướng dẫn giải
Vì \(a = 1 \neq 0\) nên phương trình là phương trình bậc hai
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta' > 0 \\
P < 0
\end{matrix} \right.\) hay \(\left\{
\begin{matrix}
- 14m + 53 > 0 \\
m^{2} - 4 > 0
\end{matrix} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
- 14m + 53 > 0 \Rightarrow m < \frac{53}{14}\ \ \ (1a) \\
m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow m^{2} < 4 \Rightarrow - 2 < m < 2\
\ \ (2a)
\end{matrix} \right.\)
Kết hợp (1a) và (2a) ta được: \(- 2 < m
< 2\)
Vậy \(- 2 < m <
\frac{53}{14}\) là giá trị cần tìm.
b) Có hai nghiệm cùng dấu khi \(\left\{
\begin{matrix}
\Delta' \geq 0 \\
P > 0
\end{matrix} \right.\) hay \(\left\{
\begin{matrix}
- 14m + 53 \geq 0 \\
m^{2} - 4 > 0
\end{matrix} \right.\)
Ta có:\(\left\{ \begin{matrix}
- 14m + 53 \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{53}{14}\ \ \ (1b) \\
m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m > 2 \\
m < - 2
\end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ (2b)
\end{matrix} \right.\)
Kết hợp (1b) với (2b) ta được: \(\left\lbrack \begin{matrix}
m < - 2 \\
2 < m \leq \frac{53}{14}
\end{matrix} \right.\).
Vậy \(m < - 2\) hoặc \(2 < m \leq \frac{53}{14}\) là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho phương trình \(2x^{2} + (m -
1)x + m - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm điều kiện của tham số m để phương trình:
a) Có hai nghiệm khác dấu.
b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm.
c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương.
Hướng dẫn giải
Vì \(a = 2 \neq 0\) nên phương trình là phương trình bậc hai
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta > 0 \\
P < 0
\end{matrix} \right.\) hay \(\left\{
\begin{matrix}
4m^{2} - 12m + 9 > 0 \\
m - 1 > 0
\end{matrix} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
4m^{2} - 12m + 9 > 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} > 0 \Rightarrow m
\neq \frac{3}{2}\ \ \ \ (1a) \\
m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1\ \ \ (1a)
\end{matrix} \right.\)
Kết hợp (1a) và (2a) ta được \(m <
1\)
Vậy \(m < 1\) là giá trị cần tìm.
b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm khi: \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
S < 0 \\
P > 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
4m^{2} - 12m + 9 \geq 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} \geq 0\forall m \\
- 2m + 1 < 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2} \\
m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m > 1\)
Vậy \(m > 1\) là giá trị cần tìm.
c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương khi: \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
S > 0 \\
P > 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
4m^{2} - 12m + 9 \geq 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} \geq 0\forall m \\
- 2m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2} \\
m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in \varnothing\)
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện.
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho phương trình \(x^{2} - 2(m -
1)x + 2m - 5 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Bài tập 2. Cho phương trình \(x^{2} - 4x -
m^{2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_{1};x_{2}\) trái dấu.
Bài tập 3. Cho phương trình \(x^{2} - 4x -
m^{2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_{1};x_{2}\) bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài tập 4. Cho phương trình \(x^{2} - 4x -
m^{2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương?
Bài tập 5. Cho phương trình \((m + 1)x^{2}
- 3mx + 4m = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
-------------------------------------------------------
Qua bài viết, chúng ta đã cùng tìm hiểu cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9 cùng với những ví dụ minh họa cụ thể. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh làm tốt các bài tập trong chương trình mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng, đặc biệt là kỳ thi vào lớp 10. Để học tốt hơn, các em nên thường xuyên luyện tập nhiều dạng bài, kết hợp ghi nhớ công thức và phương pháp giải nhanh. Hy vọng tài liệu này sẽ là trợ thủ hữu ích trên con đường chinh phục chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10.
