Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Ôn thi vào 10 chuyên đề phương trình bậc hai lớp 9

A. Phương pháp xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai
B. Bài tập minh họa xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Trong chương trình Toán lớp 9, việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai là kiến thức quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, đồng thời chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xét dấu nghiệm phương trình bậc hai, kết hợp với ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn dễ hiểu và áp dụng vào các dạng bài tập khác nhau. Đây cũng là chuyên đề trọng tâm thuộc ôn thi Toán 9 vào 10, giúp học sinh nắm chắc phương pháp giải nhanh, chính xác.

A. Phương pháp xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai

Gọi $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix} \right.$

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $P < 0$ (hoặc $a.c < 0$).
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$.
Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$.
Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$.

B. Bài tập minh họa xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ 1. Cho phương trình x² - 2(m - 7)x + m² - 7 = 0 (với $m$ là tham số). Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu.

b) Có hai nghiệm cùng dấu.

Hướng dẫn giải

Vì a = 1 ≠ 0 nên phương trình là phương trình bậc hai

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $\left\{ \begin{matrix} \Delta$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ P < 0 \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} - 14m + 53 > 0 \\ m^{2} - 4 > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} - 14m + 53 > 0 \\ m^{2} - 4 > 0 \end{matrix} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} - 14m + 53 > 0 \Rightarrow m < \frac{53}{14}\ \ \ (1a) \\ m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow m^{2} < 4 \Rightarrow - 2 < m < 2\ \ \ (2a) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} - 14m + 53 > 0 \Rightarrow m < \frac{53}{14}\ \ \ (1a) \\ m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow m^{2} < 4 \Rightarrow - 2 < m < 2\ \ \ (2a) \end{matrix} \right.$

Kết hợp (1a) và (2a) ta được: -2 < m < 2

Vậy $- 2 < m < \frac{53}{14}$ $- 2 < m < \frac{53}{14}$ là giá trị cần tìm.

b) Có hai nghiệm cùng dấu khi $\left\{ \begin{matrix} \Delta$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta' \geq 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} - 14m + 53 \geq 0 \\ m^{2} - 4 > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} - 14m + 53 \geq 0 \\ m^{2} - 4 > 0 \end{matrix} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} - 14m + 53 \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{53}{14}\ \ \ (1b) \\ m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ (2b) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} - 14m + 53 \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{53}{14}\ \ \ (1b) \\ m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ (2b) \end{matrix} \right.$

Kết hợp (1b) với (2b) ta được: $\left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ 2 < m \leq \frac{53}{14} \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ 2 < m \leq \frac{53}{14} \end{matrix} \right.$.

Vậy m < -2 hoặc $2 < m \leq \frac{53}{14}$ $2 < m \leq \frac{53}{14}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2x² + (m - 1)x + m - 1 = 0 (với m là tham số). Tìm điều kiện của tham số m để phương trình:

a) Có hai nghiệm khác dấu.

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm.

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương.

Hướng dẫn giải

Vì a = 2 ≠ 0 nên phương trình là phương trình bậc hai

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P < 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P < 0 \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 12m + 9 > 0 \\ m - 1 > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 12m + 9 > 0 \\ m - 1 > 0 \end{matrix} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 12m + 9 > 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq \frac{3}{2}\ \ \ \ (1a) \\ m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1\ \ \ (1a) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 12m + 9 > 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq \frac{3}{2}\ \ \ \ (1a) \\ m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1\ \ \ (1a) \end{matrix} \right.$

Kết hợp (1a) và (2a) ta được m < 1

Vậy m < 1 là giá trị cần tìm.

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm khi: $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 12m + 9 \geq 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} \geq 0\forall m \\ - 2m + 1 < 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2} \\ m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m > 1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 12m + 9 \geq 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} \geq 0\forall m \\ - 2m + 1 < 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2} \\ m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m > 1$

Vậy m > 1 là giá trị cần tìm.

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương khi: $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 12m + 9 \geq 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} \geq 0\forall m \\ - 2m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2} \\ m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in \varnothing$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 12m + 9 \geq 0 \Rightarrow (2m - 3)^{2} \geq 0\forall m \\ - 2m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2} \\ m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in \varnothing$

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Bài tập 1. Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

Bài tập 2. Cho phương trình x² - 4x - m² - 1 = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ trái dấu.

Bài tập 3. Cho phương trình x² - 4x - m² - 1 = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Bài tập 4. Cho phương trình x² - 4x - m² - 1 = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương?

Bài tập 5. Cho phương trình (m + 1)x² - 3mx + 4m = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

-------------------------------------------------------

❓ FAQ

1. Xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai để làm gì?

Xét dấu nghiệm giúp xác định nghiệm dương, nghiệm âm hoặc nghiệm trái dấu mà không cần giải chi tiết phương trình, từ đó tiết kiệm thời gian làm bài.

2. Muốn xét dấu các nghiệm cần nhớ những kiến thức nào?

Học sinh cần nắm vững:

Điều kiện phương trình có nghiệm
Biệt thức Delta
Hệ thức Vi-ét
Quan hệ giữa tổng nghiệm và tích nghiệm

3. Làm sao biết phương trình có hai nghiệm cùng dương?

Phương trình có hai nghiệm dương khi:

Có hai nghiệm thực phân biệt
Tổng hai nghiệm dương
Tích hai nghiệm dương

4. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm là gì?

Phương trình có hai nghiệm âm khi:

Có hai nghiệm thực phân biệt
Tổng hai nghiệm âm
Tích hai nghiệm dương

5. Khi nào hai nghiệm của phương trình trái dấu?

Hai nghiệm trái dấu khi phương trình có nghiệm thực và tích hai nghiệm nhỏ hơn 0.

6. Vì sao hệ thức Vi-ét thường được sử dụng trong bài toán xét dấu nghiệm?

Vì hệ thức Vi-ét cho phép liên hệ trực tiếp tổng và tích nghiệm với các hệ số của phương trình, giúp xét dấu nhanh mà không cần tìm nghiệm cụ thể.

---------------------------------------

Qua bài viết, chúng ta đã cùng tìm hiểu cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9 cùng với những ví dụ minh họa cụ thể. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh làm tốt các bài tập trong chương trình mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng, đặc biệt là kỳ thi vào lớp 10. Để học tốt hơn, các em nên thường xuyên luyện tập nhiều dạng bài, kết hợp ghi nhớ công thức và phương pháp giải nhanh. Hy vọng tài liệu này sẽ là trợ thủ hữu ích trên con đường chinh phục chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: