Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁ x₂ không phụ thuộc vào tham số m được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Tài liệu gồm kiến thức cần nhớ và các bài tập vận dụng, sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9, đồng thời chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 môn Toán. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

1. Hệ thức vi ét

+ Nếu x_1, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bc + c = 0 (a ≠ 0) thì

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$

2. Ứng dụng vào bài toán

Để làm được bài toán này, ta lần lượt theo các bước sau:

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁; x₂

+ Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi ét $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ và $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ rồi rút m từ các hệ thức đó

+ Bước 3: Đồng nhất các vế ta sẽ tìm được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

Câu 1: Cho phương trình x² + 2(m + 1)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn

Vì ∆ꞌ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-et ta có :

Lấy (1) + (2): (x₁ + x₂) + x₁x₂ = -2 không phụ thuộc vào m

Câu 2: Cho phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn

Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-et ta có :

Lấy (1) + (2): 2(x₁ + x₂) +4x₁x₂ = -1 không phụ thuộc vào m

Câu 3. Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn:

+ Điều kiện để phương trình trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ là: ∆' > 0

Lời giải:

a, x² - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

∆' = b'² - ac = (m - 1)² - (m - 3) = m² - 3m + 4 $={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}=2\left(m-1\right)\left(1\right)\\ x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=m-3\left(2\right)\end{array}$

Xét (1) ta có: $m-1=\frac{x_1+x_2}{2}\iff m=\frac{x_1+x_2}{2}+1$ (3)

Xét (2) ta có:  m = x₁x₂ + 3 (4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta được hệ thức giữa hai nghiệm x₁; x₂ không phụ thuộc vào m:

$\frac{x_1+x_2}{2}+1$= x₁x₂ + 3 ⇔ x₁ + x₂ + 1 = 2x₁x₂ + 6 ⇔ x₁ + x₂ - 2x₁x₂ - 5 = 0

Câu 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình:

$m{x}^2-\left(2m+3\right)x+m-4=0$ không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn giải

Với $m=0$ thì: $0x^2-\left(2.0+3\right)x+0-4=0\Rightarrow -3x-4=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$

Với $m\ne 0$ thì $\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }={\left(2m+3\right)}^2-4m\left(m-4\right)\\ =4m^2+12m+9-4m^2+16m=28m+9\end{array}$

Để phương trình có nghiệm thì:

$28m+9\ge 0\iff m\ge -{\displaystyle \frac{9}{28}}$

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}=2\left(m+1\right)\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=m^2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\left({\displaystyle \frac{2m+3}{m}}\right)\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{m-4}{m}}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\left({\displaystyle \frac{2m+3}{m}}\right)\\ x_1.x_2=1-\frac{4}{m}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}4\left(x_1+x_2\right)=4\left(2+{\displaystyle \frac{3}{m}}\right)\left(1\right)\\ 3.x_1.x_2=3.\left(1-{\displaystyle \frac{4}{m}}\right)\left(2\right)\end{array}\end{array}$

Cộng (1) với (2) ta được

$\begin{array}{l}4\left(x_1+x_2\right)+3.x_1.x_2=3.\left(1-{\displaystyle \frac{4}{m}}\right)+4\left(2+{\displaystyle \frac{3}{m}}\right)\\ \iff 4\left(x_1+x_2\right)+3.x_1.x_2=3-{\displaystyle \frac{12}{m}}+8+{\displaystyle \frac{12}{m}}=11\end{array}$

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 1: Cho phương trình (m - 1)x² - 2mx + m + 1 = 0, với m là tham số:

a, Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với m khác 1

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình không phụ thuộc vào m

Bài 2: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 (m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm phân biệt x₁; x₂ không phụ thuộc giá trị của m

Bài 3: Cho phương trình (m - 1)² - 2(m - 4)x + m - 5 = 0 (m là tham số)

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ không phụ thuộc vào tham số m

Bài 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình x² - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x² - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi giá trị của m

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (1) (với m là tham số)

a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) mà hệ thức này không phụ thuộc vào m