VnDoc.com

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm hệ thức giữa hai nghệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
- 1. Hệ thức Viète
- 2. Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁ x₂ không phụ thuộc vào tham số m được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Tài liệu gồm kiến thức cần nhớ và các bài tập vận dụng, sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9, đồng thời chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 môn Toán. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

1. Hệ thức Viète

+ Nếu x_1, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bc + c = 0 (a ≠ 0) thì

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$ ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$

2. Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Để làm được bài toán này, ta lần lượt theo các bước sau:

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁; x₂

+ Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi ét ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}$ $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ và ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$ $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ rồi rút m từ các hệ thức đó

+ Bước 3: Đồng nhất các vế ta sẽ tìm được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

Câu 1: Cho phương trình x² + 2(m + 1)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn

Ta có:

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m - Toán lớp 9

Vì ∆ꞌ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m - Toán lớp 9

Lấy (1) + (2): (x₁ + x₂) + x₁x₂ = -2 không phụ thuộc vào m

Câu 2: Cho phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m - Toán lớp 9

Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-et ta có :

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m - Toán lớp 9

Lấy (1) + (2): 2(x₁ + x₂) +4x₁x₂ = -1 không phụ thuộc vào m

Câu 3. Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn:

+ Điều kiện để phương trình trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ là: ∆' > 0

Lời giải chi tiết

a, x² - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

∆' = b'² - ac = (m - 1)² - (m - 3) = m² - 3m + 4 $= {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0$ $= {(m - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0$ với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right)\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 3\left( 2 \right)\end{array} \right.$ ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 (m - 1) (1) \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m - 3 (2) \end{cases}$

Xét (1) ta có: $m - 1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1$ $m - 1 = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} + 1$ (3)

Xét (2) ta có: m = x₁x₂ + 3 (4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta được hệ thức giữa hai nghiệm x₁; x₂ không phụ thuộc vào m:

$\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1$ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} + 1$ = x₁x₂ + 3 ⇔ x₁ + x₂ + 1 = 2x₁x₂ + 6 ⇔ x₁ + x₂ - 2x₁x₂ - 5 = 0

Câu 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình:

$m{x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m - 4 = 0$ $m x^{2} - (2 m + 3) x + m - 4 = 0$ không phụ thuộc vào tham số m.

Hướng dẫn giải

Với $m = 0$ thì: $0{x^2} - \left( {2.0 + 3} \right)x + 0 - 4 = 0 \Rightarrow - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{4}{3}$ $0 x^{2} - (2.0 + 3) x + 0 - 4 = 0 \Rightarrow - 3 x - 4 = 0 \Rightarrow x = - \frac{4}{3}$

Với $m \ne 0$ $m \neq 0$ thì $\begin{array}{l} \Delta = \,{\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 4} \right)\\ = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} + 16m = 28m + 9 \end{array}$ $\begin{array}{l} Δ = {(2 m + 3)}^{2} - 4 m (m - 4) \\ = 4 m^{2} + 12 m + 9 - 4 m^{2} + 16 m = 28 m + 9 \end{array}$

Để phương trình có nghiệm thì:

$28m + 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{{28}}$ $28 m + 9 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - \frac{9}{28}$

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{m}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = 1 - \frac{4}{m}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l} {\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 (m + 1) \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = (\frac{2 m + 3}{m}) \\ x_{1} . x_{2} = \frac{m - 4}{m} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = (\frac{2 m + 3}{m}) \\ x_{1} . x_{2} = 1 - \frac{4}{m} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 (x_{1} + x_{2}) = 4 (2 + \frac{3}{m}) (1) \\ 3. x_{1} . x_{2} = 3. (1 - \frac{4}{m}) (2) \end{matrix} \end{array}$

Cộng (1) với (2) ta được

$\begin{array}{l} 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\, + 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3 - \dfrac{{12}}{m} + 8 + \dfrac{{12}}{m} = 11 \end{array}$ $\begin{array}{l} 4 (x_{1} + x_{2}) + 3. x_{1} . x_{2} = 3. (1 - \frac{4}{m}) + 4 (2 + \frac{3}{m}) \\ \Leftrightarrow 4 (x_{1} + x_{2}) + 3. x_{1} . x_{2} = 3 - \frac{12}{m} + 8 + \frac{12}{m} = 11 \end{array}$

Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m là $4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2}$ $4 (x_{1} + x_{2}) + 3. x_{1} . x_{2}$ .

Câu 5. Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0$ $x^{2} - 2 (m + 1) x + m - 4 = 0$ với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho. luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ và biểu thức $M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)$ $M = x_{1} (1 - x_{2}) + x_{2} (1 - x_{1})$ không phụ thuộc vào m?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta$ $Δ^{'} = m^{2} + m + 5 > 0 \forall m$

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 2 \\ x_{1}.x_{2} = m - 4 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ x_{1} . x_{2} = m - 4 \end{matrix}$

Ta có:

$M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)$ $M = x_{1} (1 - x_{2}) + x_{2} (1 - x_{1})$

$M = x_{1} - x_{1}x_{2} + x_{2} - x_{2}x_{1}$ $M = x_{1} - x_{1} x_{2} + x_{2} - x_{2} x_{1}$

$M = \left( x_{1} + x_{2} \right) - 2x_{1}x_{2}$ $M = (x_{1} + x_{2}) - 2 x_{1} x_{2}$

$M = 2 m + 2 - 2 (m - 4) = 10$ (điều phải chứng mính).

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào tham số m.

Câu 6. Cho phương trình bậc hai một ẩn $(m - 2)x^{2} - (2m + 5)x + m + 7 = 0$ $(m - 2) x^{2} - (2 m + 5) x + m + 7 = 0$ với m là tham số.

a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $a + b + c = (m - 2) + (- 2 m - 5) + m + 7 = 0$

Suy ra phương trình luôn có nghiệm $x_{1} = 1$ $x_{1} = 1$ không phụ thuộc vào tham số m.

Vậy phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

b) Với m = 2 phương trình có một nghiệm x = 1.

Với m≠2 phương trình có hai nghiệm x = 1 và $x=\dfrac{m+7}{m-2}$ $x = \frac{m + 7}{m - 2}$ .

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 1: Cho phương trình (m - 1)x² - 2mx + m + 1 = 0, với m là tham số:

a, Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với m khác 1

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình không phụ thuộc vào m

Bài 2: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 (m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm phân biệt x₁; x₂ không phụ thuộc giá trị của m

Bài 3: Cho phương trình (m - 1)² - 2(m - 4)x + m - 5 = 0 (m là tham số)

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ không phụ thuộc vào tham số m

Bài 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình x² - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x² - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi giá trị của m

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (1) (với m là tham số)

a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

25

107.389

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Gấu Bắc Cực

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m

178,7 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
113,7 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!