VnDoc.com

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm hệ thức giữa hai nghệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
- 1. Hệ thức Viète
- 2. Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁ x₂ không phụ thuộc vào tham số m được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Tài liệu gồm kiến thức cần nhớ và các bài tập vận dụng, sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9, đồng thời chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 môn Toán. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

1. Hệ thức Viète

+ Nếu x_1, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bc + c = 0 (a ≠ 0) thì

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

2. Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Để làm được bài toán này, ta lần lượt theo các bước sau:

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁; x₂

+ Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi ét ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}$ ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}$ và ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$ ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$ rồi rút m từ các hệ thức đó

+ Bước 3: Đồng nhất các vế ta sẽ tìm được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

Câu 1: Cho phương trình x² + 2(m + 1)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn

Ta có:

$\begin{matrix} \Delta$ $\begin{matrix} \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2m \hfill \\ = {m^2} + 2m + 1 - 2m = {m^2} + 1 > 0;\left( {\forall m \in \mathbb{R}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vì ∆ꞌ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-et ta có: $= 4{m^2} - 12m + 9$ $= 4{m^2} - 12m + 9$

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right) \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 2m \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right) \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 2m \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - 2m - 2{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 2m{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - 2m - 2{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 2m{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lấy (1) + (2): (x₁ + x₂) + x₁x₂ = -2 không phụ thuộc vào m.

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m là: (x₁ + x₂) + x₁x₂ = -2

Câu 2: Cho phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn

Ta có:

$\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 1} \right)$ $\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 1} \right)$

$= 4{m^2} - 4m + 1 - 8m + 8$ $= 4{m^2} - 4m + 1 - 8m + 8$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$= {\left( {2m - 3} \right)^2} \geqslant 0$ $= {\left( {2m - 3} \right)^2} \geqslant 0$

Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2} \hfill \\ {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 1}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2} \hfill \\ {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 1}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lấy (1) + (2): 2(x₁ + x₂) +4x₁x₂ = -1 không phụ thuộc vào m.

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m: 2(x₁ + x₂) +4x₁x₂ = -1.

Câu 3. Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 với m là tham số

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂.

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn:

+ Điều kiện để phương trình trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ là: ∆' > 0

Lời giải chi tiết

a, x² - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

∆' = b'² - ac = (m - 1)² - (m - 3) = m² - 3m + 4 $= {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0$ $= {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0$ với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right)\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 3\left( 2 \right)\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right)\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 3\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Xét (1) ta có: $m - 1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1$ $m - 1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1$ (3)

Xét (2) ta có: m = x₁x₂ + 3 (4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta được hệ thức giữa hai nghiệm x₁; x₂ không phụ thuộc vào m:

$\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1$ $\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1$= x₁x₂ + 3 ⇔ x₁ + x₂ + 1 = 2x₁x₂ + 6 ⇔ x₁ + x₂ - 2x₁x₂ - 5 = 0

Câu 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình:

$m{x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m - 4 = 0$ $m{x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m - 4 = 0$ không phụ thuộc vào tham số m.

Hướng dẫn giải

Với $m = 0$ thì: $0{x^2} - \left( {2.0 + 3} \right)x + 0 - 4 = 0$ $0{x^2} - \left( {2.0 + 3} \right)x + 0 - 4 = 0$

$\Rightarrow - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{4}{3}$

Với $m \ne 0$ $m \ne 0$ thì $\Delta = \,{\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 4} \right)$ $\Delta = \,{\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 4} \right)$

$= 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} + 16m = 28m + 9$ $= 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} + 16m = 28m + 9$

Để phương trình có nghiệm thì: $28m + 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{{28}}$ $28m + 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{{28}}$

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{m}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{m}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = 1 - \frac{4}{m}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = 1 - \frac{4}{m}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4\left( {2 + \frac{3}{m}} \right){\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 3{x_1}.{x_2} = 3\left( {1 - \frac{4}{m}} \right){\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4\left( {2 + \frac{3}{m}} \right){\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 3{x_1}.{x_2} = 3\left( {1 - \frac{4}{m}} \right){\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Cộng (1) với (2) ta được

$4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\, + 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)$ $4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\, + 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)$

$\Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2}$ $\Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2}$ $= 3 - \dfrac{{12}}{m} + 8 + \dfrac{{12}}{m} = 11$ $= 3 - \dfrac{{12}}{m} + 8 + \dfrac{{12}}{m} = 11$

Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m là $4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2}$ $4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2}$.

Câu 5. Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0$ $x^{2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0$ với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho. luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ và biểu thức $M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)$ $M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)$ không phụ thuộc vào m?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta$ $\Delta' = m^{2} + m + 5 > 0\forall m$

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 2 \\ x_{1}.x_{2} = m - 4 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 2 \\ x_{1}.x_{2} = m - 4 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có:

$M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)$ $M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)$

$M = x_{1} - x_{1}x_{2} + x_{2} - x_{2}x_{1}$ $M = x_{1} - x_{1}x_{2} + x_{2} - x_{2}x_{1}$

$M = \left( x_{1} + x_{2} \right) - 2x_{1}x_{2}$ $M = \left( x_{1} + x_{2} \right) - 2x_{1}x_{2}$

$M = 2m + 2 - 2(m - 4) = 10$ (điều phải chứng minh).

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào tham số m.

Câu 6. Cho phương trình bậc hai một ẩn $(m - 2)x^{2} - (2m + 5)x + m + 7 = 0$ $(m - 2)x^{2} - (2m + 5)x + m + 7 = 0$ với m là tham số.

a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $a + b + c = (m - 2) + ( - 2m - 5) + m + 7 = 0$

Suy ra phương trình luôn có nghiệm $x_{1} = 1$ $x_{1} = 1$ không phụ thuộc vào tham số m.

Vậy phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

b) Với m = 2 phương trình có một nghiệm x = 1.

Với m≠2 phương trình có hai nghiệm x = 1 và $x=\dfrac{m+7}{m-2}$ $x=\dfrac{m+7}{m-2}$.

Câu 7: Cho phương trình: $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$. Lập hệ thức liên hệ giữa $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm x₁ và x₂ th ì :

$\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \bigtriangleup$ $\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \bigtriangleup ' \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.$

Theo hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 1} \\ x_{1}.x_{2} = \frac{m - 4}{m - 1} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 + \frac{2}{m - 1}\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = 1 - \frac{3}{m - 1}\ \ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 1} \\ x_{1}.x_{2} = \frac{m - 4}{m - 1} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 + \frac{2}{m - 1}\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = 1 - \frac{3}{m - 1}\ \ \ (2) \end{matrix} \right.$

Rút m từ (1) ta có :

$\frac{2}{m - 1} = x_{1} + x_{2} - 2 \Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2}$ $\frac{2}{m - 1} = x_{1} + x_{2} - 2 \Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2}$ (3)

Rút m từ (2) ta có :

$\frac{3}{m - 1} = 1 - x_{1}x_{2} \Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$ $\frac{3}{m - 1} = 1 - x_{1}x_{2} \Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$ (4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

$\frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2} = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$ $\frac{2}{x_{1} + x_{2} - 2} = \frac{3}{1 - x_{1}x_{2}}$

$\Leftrightarrow 2\left( 1 - x_{1}x_{2} \right) = 3\left( x_{1} + x_{2} - 2 \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( 1 - x_{1}x_{2} \right) = 3\left( x_{1} + x_{2} - 2 \right)$

$\Leftrightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 0$ $\Leftrightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8 = 0$ (điều cần chứng minh).

Câu 8: Gọi $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình: $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ $(m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$. Chứng minh rằng biểu thức $A = 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}.x_{2} - 8$ $A = 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}.x_{2} - 8$ không phụ thuộc giá trị của m.

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm x₁ và x₂ thì:

$\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \bigtriangleup$ $\left\{ \begin{matrix} m - 1 \neq 0 \\ \bigtriangleup ' \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m^{2} - (m - 1)(m - 4) \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ 5m - 4 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{matrix} \right.$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{2m}{m - 1} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{m - 4}{m - 1}\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{2m}{m - 1} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{m - 4}{m - 1}\end{matrix} \right.$ thay vào A ta có:

$A = 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8$ $A = 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2} - 8$

$= 3.\frac{2m}{m - 1} + 2.\frac{m - 4}{m - 1} - 8$ $= 3.\frac{2m}{m - 1} + 2.\frac{m - 4}{m - 1} - 8$

$= \frac{6m + 2m - 8 - 8(m - 1)}{m - 1} = \frac{0}{m - 1} = 0$ $= \frac{6m + 2m - 8 - 8(m - 1)}{m - 1} = \frac{0}{m - 1} = 0$

Vậy A = 0 với mọi $m \neq 1$ $m \neq 1$ và $m \geq \frac{4}{5}$ $m \geq \frac{4}{5}$.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Bài 9: Cho phương trình: x² - (2m+1).x + m² + m – 1 = 0

1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

2. Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải

1. Ta có: $\Delta$ $\Delta$= (2m +1)² - 4.(m² + m - 1) = 5 > 0

suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2.Theo vi-et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 1(1) \\ x_{1}.x_{2} = m^{2} + m - 1(2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 1(1) \\ x_{1}.x_{2} = m^{2} + m - 1(2) \end{matrix} \right.$

Từ (1) suy ra: $m = \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2}$ $m = \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2}$ thay vào (2) ta có:

$x_{1}.x_{2} = \left( \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2} \right) - 1$ $x_{1}.x_{2} = \left( \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2} \right) - 1$

$\Rightarrow x_{1}.x_{2} - \left( \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2} \right)^{2} - \left( \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2} \right) = 1$ $\Rightarrow x_{1}.x_{2} - \left( \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2} \right)^{2} - \left( \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{2} \right) = 1$.

Ta có điều phải chứng minh.

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 1: Cho phương trình (m - 1)x² - 2mx + m + 1 = 0, với m là tham số:

a, Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với m khác 1

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình không phụ thuộc vào m

Bài 2: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 (m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm phân biệt x₁; x₂ không phụ thuộc giá trị của m

Bài 3: Cho phương trình (m - 1)² - 2(m - 4)x + m - 5 = 0 (m là tham số)

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ không phụ thuộc vào tham số m

Bài 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình x² - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x² - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi giá trị của m

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (1) (với m là tham số)

a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) mà hệ thức này không phụ thuộc vào m.

---------------------------------------------------------

Dạng toán tìm hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m là một trong những nội dung quan trọng của Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10. Bài toán thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh với nhiều mức độ từ cơ bản đến nâng cao, yêu cầu học sinh vừa nắm chắc kiến thức về hệ thức Vi-ét, vừa thành thạo kỹ năng biến đổi và khử tham số m để tìm ra mối quan hệ giữa nghiệm.

Khi ôn tập, bạn nên:

Xác định rõ yêu cầu đề bài và nhận diện dạng phương trình đã cho.
Áp dụng chính xác hệ thức Vi-ét hoặc phương pháp biến đổi phù hợp.
Loại bỏ hoàn toàn tham số m để thu được hệ thức chỉ chứa x₁, x₂.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách thử với các giá trị cụ thể của m.

Việc luyện tập nhiều bài tương tự sẽ giúp bạn rút ngắn thời gian làm bài, nâng cao khả năng biến đổi đại số và tăng cơ hội đạt điểm tối đa. Hy vọng nội dung trong bài viết sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: