Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m
Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm hệ thức giữa hai nghệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Tài liệu gồm kiến thức cần nhớ và các bài tập vận dụng, sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9, đồng thời chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 môn Toán. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.
I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
1. Hệ thức Viète
+ Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bc + c = 0 (a ≠ 0) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
2. Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Để làm được bài toán này, ta lần lượt theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2
+ Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi ét \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\) và \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\) rồi rút m từ các hệ thức đó
+ Bước 3: Đồng nhất các vế ta sẽ tìm được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
Câu 1: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn
Ta có:
Vì ∆ꞌ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Lấy (1) + (2): (x1 + x2) + x1x2 = -2 không phụ thuộc vào m
Câu 2: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn
Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có :
Lấy (1) + (2): 2(x1 + x2) +4x1x2 = -1 không phụ thuộc vào m
Câu 3. Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn:
+ Điều kiện để phương trình trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1; x2 là: ∆' > 0
Lời giải chi tiết
a, x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
∆' = b'2 - ac = (m - 1)2 - (m - 3) = m2 - 3m + 4 \(= {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\) với mọi m
Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
b, Với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right)\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 3\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Xét (1) ta có: \(m - 1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1\) (3)
Xét (2) ta có: m = x1x2 + 3 (4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta được hệ thức giữa hai nghiệm x1; x2 không phụ thuộc vào m:
\(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1\)= x1x2 + 3 ⇔ x1 + x2 + 1 = 2x1x2 + 6 ⇔ x1 + x2 - 2x1x2 - 5 = 0
Câu 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình:
\(m{x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m - 4 = 0\) không phụ thuộc vào tham số m.
Hướng dẫn giải
Với \(m = 0\) thì: \(0{x^2} - \left( {2.0 + 3} \right)x + 0 - 4 = 0 \Rightarrow - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{4}{3}\)
Với \(m \ne 0\) thì \(\begin{array}{l}
\Delta = \,{\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 4} \right)\\
= 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} + 16m = 28m + 9
\end{array}\)
Để phương trình có nghiệm thì:
\(28m + 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{{28}}\)
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{m}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = 1 - \frac{4}{m}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Cộng (1) với (2) ta được
\(\begin{array}{l}
4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\, + 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)\\
\Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3 - \dfrac{{12}}{m} + 8 + \dfrac{{12}}{m} = 11
\end{array}\)
Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m là \(4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2}\).
Câu 5. Cho phương trình bậc hai \(x^{2} -
2(m + 1)x + m - 4 = 0\) với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho. luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và biểu thức \(M = x_{1}\left( 1 - x_{2}
\right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)\) không phụ thuộc vào m?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\Delta' = m^{2} + m + 5 >
0\forall m\)
Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 2m + 2 \\
x_{1}.x_{2} = m - 4 \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có:
\(M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) +
x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)\)
\(M = x_{1} - x_{1}x_{2} + x_{2} -
x_{2}x_{1}\)
\(M = \left( x_{1} + x_{2} \right) -
2x_{1}x_{2}\)
\(M = 2m + 2 - 2(m - 4) = 10\)(điều phải chứng mính).
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào tham số m.
Câu 6. Cho phương trình bậc hai một ẩn \((m
- 2)x^{2} - (2m + 5)x + m + 7 = 0\) với m là tham số.
a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m?
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(a + b + c = (m - 2) + ( - 2m -
5) + m + 7 = 0\)
Suy ra phương trình luôn có nghiệm \(x_{1}
= 1\) không phụ thuộc vào tham số m.
Vậy phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
b) Với m = 2 phương trình có một nghiệm x = 1.
Với m≠2 phương trình có hai nghiệm x = 1 và \(x=\dfrac{m+7}{m-2}\).
III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài 1: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0, với m là tham số:
a, Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với m khác 1
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình không phụ thuộc vào m
Bài 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 (m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm phân biệt x1; x2 không phụ thuộc giá trị của m
Bài 3: Cho phương trình (m - 1)2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0 (m là tham số)
a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 không phụ thuộc vào tham số m
Bài 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc vào m
Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (m là tham số)
a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị của m
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình mà hệ thức này không phụ thuộc vào m
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0 (1) (với m là tham số)
a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) mà hệ thức này không phụ thuộc vào m
