Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng di chuyển trên sông
Giải toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Dạng toán chuyển động xuôi dòng - ngược dòng là một trong những dạng bài quen thuộc trong chương trình Toán 9 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy logic, mà còn nâng cao khả năng phân tích và trình bày lời giải mạch lạc. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp tiếp cận dạng toán di chuyển trên sông, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập rèn luyện, giúp học sinh nắm vững kiến thức để ôn thi hiệu quả.
A. Công thức tính vận tốc
Nếu gọi quãng đường là S, vận tốc là v, thời gian là t. Ta có công thức như sau:
\(S = v.t;v = \frac{S}{t};t =
\frac{S}{v}\)
Gọi vận tốc thực của cano là \(v_{1}\), vận tốc của dòng nước là \(v_{2}\), khi đó ta có:
- Vận tốc cano xuôi dòng là: \(v_{1} +
v_{2}\)
- Vận tốc cano ngược dòng là \(v_{1} -
v_{2}\)
- Ta có: \(v_{xuoi} + v_{nguoc} =
2.v_{thuc}\)
B. Bài tập minh họa giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Bài tập 1. Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40km\) hết \(4\) giờ \(30\) phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng \(5km\) bằng thời gian ngược dòng \(4km\). Tính vận tốc của dòng nước?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) là vận tốc của thuyền trong khi nước yên lặng, điều kiện \(x >
0\)
\(y\) là vận tốc của dòng nước, điều kiện \(y > 0\)
Vận tốc của thuyền khi xuôi dòng là \(x +
y(km/h)\)
Vận tốc của thuyền khi ngược dòng là: \(x -
y(km/h)\)
Thời gian xuôi dòng \(40km\) là: \(\frac{40}{x + y}(h)\)
Thời gian ngược dòng là: \(\frac{40}{x -
y}(h)\)
Vì thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40km\) hết \(4\) giờ \(30\) phút (hay \(\frac{9}{2}\) giờ) ta có phương trình \(\frac{40}{x + y} + \frac{40}{x - y} = \frac{9}{2}\
\ \ (1)\)
Mặt khác thời gian thuyền xuôi dòng \(5km\) bằng thời gian ngược dòng \(4km\) nên ta có phương trình: \(\frac{5}{x + y} = \frac{4}{x - y}\ \ \
(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{40}{x + y} + \dfrac{40}{x - y} = \dfrac{9}{2} \\\dfrac{5}{x + y} = \dfrac{4}{x - y}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x + y} = \dfrac{1}{20} \\\frac{1}{x - y} = \dfrac{1}{16}\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + y = 20 \\
x - y = 16
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 18 \\
y = 2
\end{matrix} \right.\)
Vậy vận tốc của dòng nước là \(2km/h\).
Bài tập 2. Hai ca nô cùng khởi hành từ \(A\) đến \(B\) cách nhau \(85km\) và đi ngược chiều nhau. Sau \(1\) giờ \(40\) phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng nước là \(3km/h\). (vận tốc thật của ca nô không đổi)
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là \(x(km/h)\), điều kiện \(x > 0\)
Vận tốc thật của ca nô đi ngược dòng là \(y(km/h)\), điều kiện \(y > 0\)
Vận tốc ca nô xuôi dòng là \(x +
3(km/h)\)
Vận tốc ca nô ngược dòng là \(y -
3(km/h)\)
\(\Rightarrow (x + 3) - (y - 3) = 9\ \
(1)\)
Quãng đường ca nô xuôi dòng là \(\frac{5}{3}(x + 3)(km)\)
Quãng đường ca nô ngược dòng là: \(\frac{5}{3}(y - 3)(km)\)
\(\Rightarrow \frac{5}{3}(x + 3) +
\frac{5}{3}(y - 3) = 85\ \ \ (2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{matrix}(x + 3) - (y - 3) = 9 \\\frac{5}{3}(x + 3) + \frac{5}{3}(y - 3) = 85\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - y = 3 \\5x + 5y = 255\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 27 \\y = 24\end{matrix} \right.\ (tm)\)
Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là \(27(km/h)\)
Vận tốc thật của ca nô đi ngược dòng là \(24(km/h)\)
Bài tập 3. Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài \(72(km)\), rồi chạy ngược dòng khúc sông ấy \(64(km)\) hết tất cả \(7h\). Nếu ca nô chạy xuôi dòng \(120(km)\) rồi chạy ngược dòng \(32(km)\) cũng hết \(7h\). Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của nước?
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x(km/h)\), điều kiện \(x > 0\)
Gọi vận tốc của nước là \(y(km/h)\), điều kiện \(y > 0\)
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là \(x +
y(km/h)\)
Suy ra thời gian cano đi xuôi dòng là: \(t_{xuoi} = \frac{72}{x + y}(h)\)
Vận tốc ca nô khi ngược dòng là \(x -
y(km/h)\)
Suy ra thời gian cano đi ngược dòng là: \(t_{nguoc} = \frac{64}{x - y}(h)\)
Tổng thời gian là 7 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{72}{x + y} + \frac{64}{x - y} =
7\)
Tương tự như trên ta có phương trình thứ 2 là: \(\frac{120}{x + y} + \frac{32}{x - y} =
7\)
Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{72}{x + y} + \dfrac{64}{x - y} = 7 \\\dfrac{120}{x + y} + \dfrac{32}{x - y} = 7\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 20 \\y = 4\end{matrix} \right.\)
Vậy vận tốc riêng của canô là \(20(km/h)\) và vận tốc của dòng nước là \(4(km/h)\).
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Một ca nô xuôi dòng \(78km\) và ngược dòng \(44km\) mất \(5\) giờ với vận tốc dự định. nếu ca nô xuôi \(13km\) và ngược dòng \(11km\) với cùng vận tốc dự định đó thì mất \(1\) giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước?
Bài tập 2. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng \(6km\). Sau đó chạy xuôi dòng \(48km\) trên cùng một dòng song có vận tốc của dòng nước là: \(2km/h\). Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng \(1\) giờ.
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
---------------------------------------------------
Bài toán chuyển động trên sông là một chủ đề thực tế, thú vị và thường gặp trong đề thi vào lớp 10. Thành thạo cách lập hệ phương trình để giải các bài toán dạng này sẽ giúp học sinh giải nhanh và chính xác hơn. Hãy tiếp tục luyện tập với các bài toán tương tự và đón đọc thêm các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 để củng cố toàn diện kiến thức, tự tin bước vào kỳ thi!
