Làm thế nào để lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai nghiệm
Tìm hai số biết tổng và tích. Lập phương trình bậc hai
Việc lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai nghiệm là một kỹ năng cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt trong chuyên đề phương trình bậc hai. Nắm vững phương pháp này không chỉ giúp học sinh giải nhanh các bài tập mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho việc giải toán nâng cao. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách lập phương trình bậc hai từ tổng và tích hai nghiệm, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể trong chuyên đề Toán 9 phương trình bậc hai có đáp án.
A. Phương pháp giải
Nếu hai số u và v có u + v = S, u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình 
\(x^{2} - Sx + P = 0\)
Điều kiện để có hai số là \(S^{2} - 4P \geq
0\)
B. Bài tập minh họa lập phương trình, tìm hai số khi biết tổng và tích
Ví dụ 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
| a) \(u + v = 5\) và \(u.v = - 14\) |
b) \(u + v = 5\) và \(u.v = - 24\) |
| c) \(u + v = - 6\) và \(u.v = - 16\) |
d) \(u + v = 1\) và \(u.v = \frac{1}{4}\) |
Hướng dẫn giải
a) Vì \(u + v = 5\) và \(u.v = - 14\)nên \(u;v\) là hai nghiệm của phương trình
\(x^{2} - 5x - 14 = 0\)
Giải phương trình ta được \(x_{1} = -
2;x_{2} = 7\)
Vậy \((u;v) = ( - 2;7)\) hoặc \((u;v) = (7; - 2)\).
b) Vì \(u + v = 5\) và \(u.v = - 24\) nên \(u;v\) là hai nghiệm của phương trình
\(x^{2} - 5x - 24 = 0\)
Giải phương trình ta được \(x_{1} = -
3;x_{2} = 8\)
Vậy \((u;v) = ( - 3;8)\) hoặc \((u;v) = (8; - 3)\).
c) Vì \(u + v = - 6\) và \(u.v = - 16\) nên \(u;v\) là hai nghiệm của phương trình
\(x^{2} + 6x - 16 = 0\)
Giải phương trình ta được \(x_{1} = 2;x_{2}
= - 8\)
Vậy \((u;v) = (2; - 8)\) hoặc \((u;v) = ( - 8;2)\).
d) Vì \(u + v = 1\) và \(u.v = \frac{1}{4}\) nên \(u;v\) là hai nghiệm của phương trình
\(x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0
\Leftrightarrow 4x^{2} - 4x + 1 = 0\)
Giải phương trình ta được \(x_{1} = x_{2} =
\frac{1}{2}\)
Vậy \((u;v) = \left(
\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\).
Ví dụ 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm \(2 + \sqrt{3}\) và \(2 - \sqrt{3}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
S = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4 \\
P = \left( 2 + \sqrt{3} \right).\left( 2 - \sqrt{3} \right) = 1
\end{matrix} \right.\)
Mặt khác \(S^{2} - 4P = 12 >
0\)
Vậy phương trình bậc hai nhận hai số \(2 +
\sqrt{3}\) và \(2 - \sqrt{3}\) là: \(x^{2} - 4x + 1 = 0\).
Ví dụ 3. Cho phương trình \(x^{2} - 4x + 2
= 0\) có hai nghiệm \(x_{1};x_{2}\). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{x_{1}}\) và \(\frac{1}{x_{2}}\).
Hướng dẫn giải
Xét phương trình \(x^{2} - 4x + 2 =
0\) có \(\Delta' = 2 >
0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\).
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 4 \\
x_{1}.x_{2} = 2
\end{matrix} \right.\)
Ta có:
\(S = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =
\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = 2\)
\(P = \frac{1}{x_{1}}.\frac{1}{x_{2}} =
\frac{1}{x_{1}x_{2}} = \frac{1}{2}\)
Mặt khác \(S^{2} - 4P = 12 >
0\)
Vậy phương trình bậc hai nhận hai số \(\frac{1}{x_{1}};\frac{1}{x_{2}}\) làm nghiệm là \(2x^{2} - 4x + 1 = 0\)
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Tìm hai số a và b trong mỗi trường hợp sau:
a) \(a - b = 5\) và \(ab = 36\)
b) \(a + b = 9\) và \(a^{2} + b^{2} = 41\)
c) \(a^{2} + b^{2} = 61\) và \(ab = 30\)
Bài tập 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm \(\sqrt{2} - 1\) và \(\sqrt{2} + 1\).
Bài tập 3. Cho phương trình \(x^{2} - 3x +
1 = 0\) có hai nghiệm \(x_{1};x_{2}\). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{x_{1}} +
\frac{1}{x_{2}}\) và \({x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2}\).
Bài tập 4. Cho phương trình \(x^{2} + 5x -
m = 0\) (với m là tham số) có hai nghiệm \(x_{1};x_{2}\). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{x_{1}}{x_{2} +
1}\) và \(\frac{x_{2}}{x_{1} +
1}\).
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
---------------------------------------------------------------
Qua bài viết, bạn đã hiểu rõ cách lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai nghiệm – một kỹ thuật quan trọng trong Toán 9. Việc vận dụng thành thạo kỹ năng này giúp giải quyết nhanh các bài toán liên quan đến nghiệm và hệ phương trình, đặc biệt trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để nâng cao kỹ năng, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập trong chuyên đề phương trình bậc hai có đáp án, đồng thời kết hợp học các chuyên đề liên quan như định lý Vi-ét, giải phương trình, và các dạng toán phương trình có tham số. Hãy lưu lại và chia sẻ bài viết để cùng nhau tiến bộ và chinh phục các kỳ thi quan trọng sắp tới!
