Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng các bất đẳng thức cơ bản

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Dạng toán GTLN GTNN thường gặp trong đề thi vào 10

Trong quá trình học Toán 9, dạng toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng các bất đẳng thức cơ bản được xem là chuyên đề nâng cao thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Không chỉ yêu cầu kỹ năng biến đổi đại số, dạng toán này còn đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức quen thuộc như Cauchy, AM-GM hoặc bất đẳng thức bình phương không âm.

Ta biết rằng: Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đưa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương mà một vế là hằng số. Vì vậy sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm được cực trị của 1 biểu thức nào đó.

A. Công thức bất đẳng thức cơ bản thường dùng

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) |x| ≥ 0; $\forall x\mathbb{\in R}$

b) |x + y| ≤ |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0

c) |x - y| ≥ |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0 và |x| ≥ |y|

Bất đẳng thức Cauchy

∀ai ≥ 0; i = $\overline{1,n}$ : $\frac{a_{1} + a_{2} + .... + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}.....a_{n}}$ , $\forall n\mathbb{\in N}$ , n ≥2.

dấu "=" xảy ra ⇔ a₁ = a₂ = ... = a_n

Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Với n cặp số bất kỳ a₁, a₂, ..., a_n; b₁, b₂, ..., b_n ta có:

(a₁b₁+ a₂b₂ +...+a_nb_n)² ≤ ( $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + .... + a_{n}^{2}).(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + .... + b_{n}^{2})$

Dấu "=" xảy ra ⇔ $\frac{a_{i}}{b_{i}}$ = Const (i = $\overline{1,n}$ )

B. Ví dụ minh họa tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho a > b > 0. Tìm GTNN của $B_{1} = a + \frac{1}{b(a - b)}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$B_{1} = a + \frac{1}{b(a - b)} = b + (a - b) + \frac{1}{b(a - b)} \geq 3\sqrt[3]{\frac{b(a - b)}{b.(a - b)}}$ (theo bất đẳng thức Cauchy).

$B_{1} \geq 3 \Rightarrow B_{1min} = 3 \Leftrightarrow b = (a - b) = \frac{1}{b(a - b)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \end{matrix} \right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng 3 khi và chỉ khi ⇔ .

Ví dụ 2: Cho và . Tìm GTNN của $B_{2} = \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}$ ?

Hướng dẫn giải

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \geq 2\sqrt{xy}.2.\sqrt{\frac{1}{xy}} = 4$ (với )

$\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ (1)

Ta có: ab ≤ ( $\frac{a + b}{2}$ )² = $\frac{1}{4}$ ⇒ $\frac{1}{ab}$ ≥ 4 (2) (Do a+b = 1; a, b > 0)

Áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có:

$B_{2} = \frac{1}{ab}\ \ + \ \frac{1}{a^{2} + b^{2}}\ \ = \ \ \frac{2}{2ab}\ + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}$ $= \ \frac{1}{2ab} + (\frac{1}{2ab} + \ \frac{1}{a^{2} + b^{2}}) \geq \frac{4}{2} + \frac{4}{2ab + a^{2} + b^{2}}$

B₂ ≥ 2 + $\frac{4}{(a + b)^{2}}\ \ = \ \ 6$ do a + b = 1 ⇒ B₂min = 6 ⇔ a = b = $\frac{1}{2}$

Vậy: B₂min = 6 ⇔ a = b = $\frac{1}{2}$

Ví dụ 3: Cho xy + xz + yz = 4. Tìm GTNN của B₃ = x⁴ + y⁴ + z⁴

Hướng dẫn giải

Do xy + xz + yz = 4 ⇒ 16 = (xy + xz + yz)² ≤ (x²+y²+z²) (x²+y²+z²)

(Theo Bunhiacôpxki) ⇔ 16 ≤ (x²+y²+z²)² ≤ (x⁴ + y⁴ + z⁴) (1²+1²+1²)

⇒ B₃ = x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ $\frac{16}{3}$ ⇒ B₃min = $\frac{16}{3}$ ⇔ x = y = z = ± $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Vậy : B₃min = $\frac{16}{3}$ ⇔ x = y = z = ± $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 4: Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của B₈ = x¹⁶ + y¹⁶ + z¹⁶

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có: (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ≥ 0 , ∀a,b,c

⇔ a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc (1)

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:

B₈ = x¹⁶ + y¹⁶ + z¹⁶ = (x⁸)² + (y⁸)² + (z⁸)² ≥ x⁸y⁸ + y⁸z⁸ + z⁸x⁸

⇔ B₈ ≥ x⁸y⁸ + y⁸z⁸ + z⁸x⁸

⇔ B₈ ≥ (x⁴y⁴)² + (y⁴z⁴)² + (z⁴x⁴)² ≥ x⁴y⁴. y⁴z⁴+ x⁴y⁴. z⁴x⁴ + y⁴z⁴. z⁴x⁴

⇔ B₈ ≥ x⁴y⁸z⁴ + x⁸y⁴z⁴ + x⁴y⁴z⁸

⇔ B₈ ≥ (x²y⁴z²)² + (x⁴y²z²)² + (x²y²z⁴)² ≥ x⁶y⁶z⁴ + x⁶y⁴z⁶ + x⁴y⁶z⁶

⇔ B₈ ≥ (x³y³z²)² + (x²y³z³)² + (x³y²z³)² ≥ x⁵y⁶z⁵ + x⁶y⁵z⁵ + x⁵y⁵z⁶

⇔ B₈ ≥ (xyz)⁵.x + (xyz)⁵.y + (xyz)⁵.z = x + y + z = 3

(do xyz = 1 và x + y + z = 3) ⇒ B₈min = 3 ⇔ x = y = z = 1

Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1)

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có :

3 = x + y + z ⇒ 9 = (x+ y + z)² ≤ (x² + y² + z²).3

⇔ 3 ≤ (x² + y² + z²) ⇔ 9 ≤ (x² + y² + z²)² ≤ (x⁴ + y⁴ + z⁴).3

⇔ 3 ≤ x⁴ + y⁴ + z⁴ ⇔ 9 ≤ (x⁴ + y⁴ + z⁴)² ≤ (x⁸ + y⁸ + z⁸).3

⇔ 3 ≤ x⁸ + y⁸ + z⁸ ⇔ 9 ≤ (x⁸ + y⁸ + z⁸)² ≤ (x¹⁶ + y¹⁶ + z¹⁶).3

⇔ B₈ = x¹⁶ + y¹⁶ + z¹⁶ ≥ 3 . ⇒ B₈min = 3 ⇔ x = y = z = 1

Vậy : B₈min = 3 ⇔ x = y = z = 1.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

--------------------------------------------------

Để thành thạo dạng toán này, bạn nên luyện tập thường xuyên các bài tập GTLN, GTNN có đáp án, đồng thời chú ý điều kiện xảy ra dấu bằng trong từng bất đẳng thức. Việc ôn luyện có hệ thống sẽ giúp bạn tự tin hơn và nâng cao khả năng xử lý các bài toán bất đẳng thức trong đề thi vào 10.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: