Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz (bất đẳng thức Bunhiacopxki)
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz là một trong những bất đẳng thức cơ bản, quan trọng và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học, từ đại số, hình học đến giải tích. Đặc biệt, trong các kỳ thi học sinh giỏi và Olympic Toán học, bất đẳng thức này đóng vai trò như một công cụ mạnh mẽ để chứng minh, rút gọn và đánh giá biểu thức. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, cách chứng minh, các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, đồng thời cung cấp ví dụ minh họa và các ứng dụng điển hình trong giải toán.
A. Công thức Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
1. Dạng tổng quát
Cho hai dãy số thực 
\(\left(
a_{1},a_{2},...,a_{n} \right)\) và \(\left( b_{1},b_{2},...,b_{n} \right)\) ta luôn có:
\(\left( a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... +
a_{n}^{2} \right)\left( b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{n}^{2} \right)
\geq \left( a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n}
\right)^{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{a_{1}}{b_{1}}
= \frac{a_{2}}{b_{2}} = ...\frac{a_{n}}{b_{n}}\)
Quy ước: Nếu \(b_{1} = 0\) thì \(a_{1} = 0\) tương tự với \(b_{2},b_{3},...,b_{n}\)
2. Dạng cụ thể
Dạng 1: Cho a, b, c, d \(\in\) R, ta có: \(\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2}
+ d^{2} \right) \geq (ac + bd)^{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{a}{c} =
\frac{b}{d}\).
Chứng minh:
Biến đổi tương đương ta được:
\(\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2}
+ d^{2} \right) \geq (ac + bd)^{2}\)
\(\Leftrightarrow (ad)^{2} - 2abcd +
(bc)^{2} \geq 0\)
\(\Leftrightarrow (ad - bc)^{2} \geq
0\).
Đẳng thức xảy ra khi ad = bc \(\Leftrightarrow \frac{a}{c} =
\frac{b}{d}\).
Dạng 2: Cho a, b, c, x, y, z \(\in\) R, ta có: \(\left( a^{2} + b^{2} + c^{2}
\right)\left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) \geq (ax + by +
cz)^{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{a}{x} =
\frac{b}{y} = \frac{c}{z}\)
Chú ý: \(\sqrt{\left( a^{2} +
b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq |ac + bd| \geq ac +
bd.\)
Chứng minh:
Hoàn toàn tương tự đưa về: \((ay - bx)^{2}
+ (az - cx)^{2} + (bz - cy)^{2} \geq 0.\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(\left\{
\begin{matrix}
ay = bx \\
az = cx \\
bz = cy \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y} =
\frac{c}{z}.\)
B. Bài tập minh họa Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
Bài 1. Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng: 2\(\left( a^{2} + b^{2} \right) \geq (a +
b)^{2}.\)
Hướng dẫn giải
Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
\(\left( 1^{2} + 1^{2} \right)\left( a^{2}
+ b^{2} \right) \geq (1.a + 1.b)^{2} \Leftrightarrow\) 2\(\left( a^{2} + b^{2} \right) \geq (a +
b)^{2}.\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{a}{1} =
\frac{b}{1} \Leftrightarrow a = b.\)
Bài 2. Cho a, b, c là các số thực khác 0. Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} +
\frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} +
\frac{c}{a}\).
Hướng dẫn giải
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
\(3\left( \frac{a^{2}}{b^{2}} +\frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \right)\)\(= \left( 1^{2} + 1^{2}+ 1^{2} \right)\left( \left| \frac{a}{b} \right|^{2} + \left|\frac{b}{c} \right|^{2} + \left| \frac{c}{a} \right|^{2} \right)\)\(\geq\left( \left| \frac{a}{b} \right| + \left| \frac{b}{c} \right| + \left|\frac{c}{a} \right| \right)^{2}\).
Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM- GM cho 3 số không âm ta có:
\(\left( \left| \frac{a}{b} \right| +
\left| \frac{b}{c} \right| + \left| \frac{c}{a} \right| \right) \geq
3\sqrt[3]{\left| \frac{a}{b} \right|.\left| \frac{b}{c} \right|.\left|
\frac{c}{a} \right|} = 3\)
\(\Rightarrow \left( \left| \frac{a}{b}\right| + \left| \frac{b}{c} \right| + \left| \frac{c}{a} \right|\right)^{2}\)\(= \left( \left| \frac{a}{b} \right| + \left| \frac{b}{c}\right| + \left| \frac{c}{a} \right| \right).\left( \left| \frac{a}{b}\right| + \left| \frac{b}{c} \right| + \left| \frac{c}{a} \right|\right)\)\(\geq 3\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right)\) .
Vậy: \(\frac{a^{2}}{b^{2}} +
\frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c}
+ \frac{c}{a}\).
Nhận xét: Vì đề bài chỉ cho các số thực nên chúng ta phải đưa về dạng: \(\frac{a^{2}}{b^{2}} = \left( \frac{a}{b}
\right)^{2} = \left| \frac{a}{b} \right|^{2}\) để có thể vận dụng bất đẳng thức AM-GM nhằm tránh mắc phải sai lầm.
--------------------------------
Qua bài viết, bạn đã nắm được bản chất, các biểu diễn phổ biến và cách ứng dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz vào các bài toán thực tế. Việc thành thạo bất đẳng thức này không chỉ giúp bạn giải nhanh nhiều dạng toán phức tạp mà còn rèn luyện tư duy logic và chiến lược trong các kỳ thi quan trọng. Đừng quên luyện tập thường xuyên để sử dụng Cauchy–Schwarz một cách linh hoạt và hiệu quả trong các tình huống khác nhau của Toán học nâng cao.
