Giải Toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải SGK Toán 9 trang 33, 34

Giải Toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 58 trang 32 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 59 trang 32 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 60 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 61 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 62 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 63 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 64 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 65 trang 34 sgk Toán 9 - tập 1
Bài 66 trang 34 sgk Toán 9 - tập 1

Giải SGK Toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai được VnDoc đăng tải sau đây tổng hợp câu hỏi và đáp án cho các câu hỏi trong SGK Toán 9 tập 1 trang 33, 34. Với hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo, so sánh đánh giá kết quả, từ đó học tốt môn Toán lớp 9. Dưới đây là chi tiết bài tập, các em tham khảo nhé.

Câu hỏi 1 trang 31 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn: Rút gọn $3\sqrt 5 a - \sqrt {20} a + 4\sqrt {45a} + \sqrt a$ $3 \sqrt{5} a - \sqrt{20} a + 4 \sqrt{45 a} + \sqrt{a}$ với a ≥ 0

Hướng dẫn giải:

$3\sqrt {5a} - \sqrt {20a} + 4\sqrt {45a} + \sqrt a$ $3 \sqrt{5 a} - \sqrt{20 a} + 4 \sqrt{45 a} + \sqrt{a}$

$= 3\sqrt 5 .\sqrt a - \sqrt {4.5} \sqrt a + 4\sqrt {9.5} \sqrt a + \sqrt a$ $= 3 \sqrt{5} . \sqrt{a} - \sqrt{4.5} \sqrt{a} + 4 \sqrt{9.5} \sqrt{a} + \sqrt{a}$

$= 3\sqrt 5 \sqrt a - 2\sqrt 5 \sqrt a + 12\sqrt 5 \sqrt a + \sqrt a$ $= 3 \sqrt{5} \sqrt{a} - 2 \sqrt{5} \sqrt{a} + 12 \sqrt{5} \sqrt{a} + \sqrt{a}$

$= \sqrt a \left( {3\sqrt 5 - 2\sqrt 5 + 12\sqrt 5 + 1} \right)$ $= \sqrt{a} (3 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5} + 1)$

$= \left( {13\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt a$ $= (13 \sqrt{5} + 1) \sqrt{a}$

Câu hỏi 2 trang 31 SGK Toán 9 tập 1

Chứng minh đẳng thức $\dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} = {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2}$ $\frac{a \sqrt{a} + b \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \sqrt{a b} = {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}$ với a > 0,b > 0.

Hướng dẫn giải:

Biến đổi vế trái ta có:

$\begin{matrix} VT = \dfrac{{{\text{a}}\sqrt {\text{a}} + {\text{b}}\sqrt {\text{b}} }}{{\sqrt {\text{a}} + \sqrt {\text{b}} }} - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ VT = \dfrac{{\sqrt {{a^2}} \sqrt {\text{a}} + \sqrt {{b^2}} \sqrt {\text{b}} }}{{\sqrt {\text{a}} + \sqrt {\text{b}} }} - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ VT = \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{\sqrt {\text{a}} + \sqrt {\text{b}} }} - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} V T = \frac{a \sqrt{a} + b \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \sqrt{ab} \\ V T = \frac{\sqrt{a^{2}} \sqrt{a} + \sqrt{b^{2}} \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \sqrt{ab} \\ V T = \frac{\sqrt{a^{3}} + \sqrt{b^{3}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \sqrt{ab} \end{matrix}$

$\begin{matrix} VT = \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\sqrt {\text{a}} + \sqrt {\text{b}} }} - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ VT = a - \sqrt {ab} + b - \sqrt {{\text{ab}}} \hfill \\ VT = a - 2\sqrt {ab} + b = {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} = VP \Rightarrow dpcm \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} V T = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (a - \sqrt{a b} + b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \sqrt{ab} \\ V T = a - \sqrt{a b} + b - \sqrt{ab} \\ V T = a - 2 \sqrt{a b} + b = {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = V P \Rightarrow d p c m \end{matrix}$

Câu hỏi 3 trang 32 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a. $\frac{{{x^2} - 3}}{{x + \sqrt 3 }}$ $\frac{x^{2} - 3}{x + \sqrt{3}}$

b. $\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }}$ $\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}}$ với a ≥ 0 và a ≠ 1

Hướng dẫn giải:

a. Điều kiện xác định $x \ne - \sqrt 3$ $x \neq - \sqrt{3}$

$\frac{{{x^2} - 3}}{{x + \sqrt 3 }} = \frac{{{x^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{x + \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x + \sqrt 3 }} = x - \sqrt 3$ $\frac{x^{2} - 3}{x + \sqrt{3}} = \frac{x^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}{x + \sqrt{3}} = \frac{(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3})}{x + \sqrt{3}} = x - \sqrt{3}$

b. Ta có:

$\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} = \frac{{{1^3} - \sqrt {{a^3}} }}{{1 - \sqrt a }} = \frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} = 1 + \sqrt a + a$ $\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} = \frac{1^{3} - \sqrt{a^{3}}}{1 - \sqrt{a}} = \frac{(1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a} + a)}{1 - \sqrt{a}} = 1 + \sqrt{a} + a$

Giải bài tập trang 23, 33 Toán 9 tập 1

Bài 58 trang 32 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

$a) 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5};$ $a) 5 \sqrt{\frac{1}{5}} + \frac{1}{2} \sqrt{20} + \sqrt{5};$

$b) \sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};$ $b) \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{4, 5} + \sqrt{12, 5};$

$c) \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};$ $c) \sqrt{20} - \sqrt{45} + 3 \sqrt{18} + \sqrt{72};$

$d)\ 0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}.$ $d) 0, 1. \sqrt{200} + 2. \sqrt{0, 08} + 0, 4. \sqrt{50} .$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$a, 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$ $a, 5 \sqrt{\frac{1}{5}} + \frac{1}{2} \sqrt{20} + \sqrt{5}$

$= \sqrt {{5^2}.{1 \over 5}} + \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}.20} + \sqrt 5$ $= \sqrt{5^{2} . \frac{1}{5}} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} .20} + \sqrt{5}$

$= \sqrt {25.{1 \over 5}} + \sqrt {{1 \over 4}.20} + \sqrt 5$ $= \sqrt{25. \frac{1}{5}} + \sqrt{\frac{1}{4} .20} + \sqrt{5}$
$= \sqrt {{{25} \over 5}} + \sqrt {{{20} \over 4}} + \sqrt 5$ $= \sqrt{\frac{25}{5}} + \sqrt{\frac{20}{4}} + \sqrt{5}$
$= \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 5$ $= \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5}$
$= \left( {1 + 1 + 1} \right)\sqrt 5 = 3\sqrt 5$ $= (1 + 1 + 1) \sqrt{5} = 3 \sqrt{5}$

b) Ta có:

$\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}$ $\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{4, 5} + \sqrt{12, 5}$

$= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {{9 \over 2}} + \sqrt {{{25} \over 2}}$ $= \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{25}{2}}$
$= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {9.{1 \over 2}} + \sqrt {25.{1 \over 2}}$ $= \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{9. \frac{1}{2}} + \sqrt{25. \frac{1}{2}}$
$= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {3^2.{1 \over 2}} + \sqrt {5^2.{1 \over 2}}$ $= \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{3^{2} . \frac{1}{2}} + \sqrt{5^{2} . \frac{1}{2}}$
$= \sqrt {{1 \over 2}} + 3\sqrt {{1 \over 2}} + 5\sqrt {{1 \over 2}}$ $= \sqrt{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{\frac{1}{2}} + 5 \sqrt{\frac{1}{2}}$
$= \left( {1 + 3 + 5} \right).\sqrt {{1 \over 2}}$ $= (1 + 3 + 5) . \sqrt{\frac{1}{2}}$
$= 9\sqrt {{1 \over 2}} = 9{1 \over {\sqrt 2 }}$ $= 9 \sqrt{\frac{1}{2}} = 9 \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= 9.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{9\sqrt 2 } \over 2}$ $= 9. \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

c) Ta có:

$\sqrt {20} - \sqrt {45} + 3\sqrt {18} + \sqrt {72}$ $\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3 \sqrt{18} + \sqrt{72}$
$= \sqrt {4.5} - \sqrt {9.5} + 3\sqrt {9.2} + \sqrt {36.2}$ $= \sqrt{4.5} - \sqrt{9.5} + 3 \sqrt{9.2} + \sqrt{36.2}$

$= \sqrt {{2^2}.5} - \sqrt {{3^2}.5} + 3\sqrt {{3^2}.2} + \sqrt {{6^2}.2}$ $= \sqrt{2^{2} .5} - \sqrt{3^{2} .5} + 3 \sqrt{3^{2} .2} + \sqrt{6^{2} .2}$
$= 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 3.3\sqrt 2 + 6\sqrt 2$ $= 2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} + 3.3 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$
$= 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 9\sqrt 2 + 6\sqrt 2$ $= 2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} + 9 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$
$= \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 } \right) + \left( {9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 } \right)$ $= (2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5}) + (9 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2})$
$= \left( {2 - 3} \right)\sqrt 5 + \left( {9 + 6} \right)\sqrt 2$ $= (2 - 3) \sqrt{5} + (9 + 6) \sqrt{2}$
$= - \sqrt 5 + 15\sqrt 2 = 15\sqrt 2 - \sqrt 5$ $= - \sqrt{5} + 15 \sqrt{2} = 15 \sqrt{2} - \sqrt{5}$

d) Ta có:

$0,1\sqrt {200} + 2\sqrt {0,08} + 0,4.\sqrt {50}$ $0, 1 \sqrt{200} + 2 \sqrt{0, 08} + 0, 4. \sqrt{50}$
$= 0,1\sqrt {100.2} + 2\sqrt {0,04.2} + 0,4\sqrt {25.2}$ $= 0, 1 \sqrt{100.2} + 2 \sqrt{0, 04.2} + 0, 4 \sqrt{25.2}$
$= 0,1\sqrt {10^2.2} + 2\sqrt {0,2^2.2} + 0,4\sqrt {5^2.2}$ $= 0, 1 \sqrt{10^{2} .2} + 2 \sqrt{0, 2^{2} .2} + 0, 4 \sqrt{5^{2} .2}$
$= 0,1.10\sqrt 2 + 2.0,2\sqrt 2 + 0,4.5\sqrt 2$ $= 0, 1.10 \sqrt{2} + 2.0, 2 \sqrt{2} + 0, 4.5 \sqrt{2}$
$= 1\sqrt 2 + 0,4\sqrt 2 + 2\sqrt 2$ $= 1 \sqrt{2} + 0, 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$
$= \left( {1 + 0,4 + 2} \right)\sqrt 2 = 3,4\sqrt 2$ $= (1 + 0, 4 + 2) \sqrt{2} = 3, 4 \sqrt{2}$

Bài 59 trang 32 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau (với a>0, b>0):

$a, 5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a};$ $a, 5 \sqrt{a} - 4 b \sqrt{25 a^{3}} + 5 a \sqrt{16 a b^{2}} - 2 \sqrt{9 a};$

$b, 5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.$ $b, 5 a \sqrt{64 a b^{3}} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{12 a^{3} b^{3}} + 2 a b \sqrt{9 a b} - 5 b \sqrt{81 a^{3} b} .$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}$ $5 \sqrt{a} - 4 b \sqrt{25 a^{3}} + 5 a \sqrt{16 a b^{2}} - 2 \sqrt{9 a}$

$=5\sqrt a - 4b\sqrt{5^2.a^2.a}+5a\sqrt{4^2.b^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$ $= 5 \sqrt{a} - 4 b \sqrt{5^{2} . a^{2} . a} + 5 a \sqrt{4^{2} . b^{2} . a} - 2 \sqrt{3^{2} . a}$

$=5\sqrt a - 4b\sqrt{(5a)^2.a}+5a\sqrt{(4b)^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$ $= 5 \sqrt{a} - 4 b \sqrt{(5 a)^{2} . a} + 5 a \sqrt{(4 b)^{2} . a} - 2 \sqrt{3^{2} . a}$

$=5\sqrt a - 4b.5a\sqrt{.a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}$ $= 5 \sqrt{a} - 4 b .5 a \sqrt{. a} + 5 a .4 b \sqrt{a} - 2.3 \sqrt{a}$

$=5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}$ $= 5 \sqrt{a} - 20 a b \sqrt{a} + 20 a b \sqrt{a} - 6 \sqrt{a}$

$=(5\sqrt{a}-6\sqrt{a})+(-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a})$ $= (5 \sqrt{a} - 6 \sqrt{a}) + (- 20 a b \sqrt{a} + 20 a b \sqrt{a})$

$=(5-6)\sqrt a=-\sqrt{a}$ $= (5 - 6) \sqrt{a} = - \sqrt{a}$

b) Ta có:

$5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}$ $5 a \sqrt{64 a b^{3}} - \sqrt{3} . \sqrt{12 a^{3} b^{3}} + 2 a b \sqrt{9 a b} - 5 b \sqrt{81 a^{3} b}$

$=5a\sqrt{8^2.b^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{2^2.3.(ab)^2.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}-5b\sqrt{9^2.a^2.ab}$ $= 5 a \sqrt{8^{2} . b^{2} . a b} - \sqrt{3} . \sqrt{2^{2} .3 . (a b)^{2} . a b} + 2 a b \sqrt{3^{2} . a b} - 5 b \sqrt{9^{2} . a^{2} . a b}$

$=5a\sqrt{(8b)^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{(2ab)^2.3.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}-5b\sqrt{(9a)^2.ab}$ $= 5 a \sqrt{(8 b)^{2} . a b} - \sqrt{3} . \sqrt{(2 a b)^{2} .3 . a b} + 2 a b \sqrt{3^{2} . a b} - 5 b \sqrt{(9 a)^{2} . a b}$

$=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt 3 ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}-5b.9a\sqrt{ab}$ $= 5 a .8 b \sqrt{a b} - \sqrt{3} .2 \sqrt{3} a b \sqrt{a b} + 2 a b .3 \sqrt{a b} - 5 b .9 a \sqrt{a b}$

$=40ab\sqrt{ab}-2.3ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$ $= 40 a b \sqrt{a b} - 2.3 a b \sqrt{a b} + 6 a b \sqrt{a b} - 45 a b \sqrt{a b}$

$=40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$ $= 40 a b \sqrt{a b} - 6 a b \sqrt{a b} + 6 a b \sqrt{a b} - 45 a b \sqrt{a b}$

$=40ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$ $= 40 a b \sqrt{a b} - 45 a b \sqrt{a b}$

$=(40-45)ab\sqrt{ab}$ $= (40 - 45) a b \sqrt{a b}$

$=-5ab\sqrt{ab}.$ $= - 5 a b \sqrt{a b} .$

Bài 60 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Cho biểu thức:

$B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\ với\ x\ge-1$ $B = \sqrt{16 x + 16} - \sqrt{9 x + 9} + \sqrt{4 x + 4} + \sqrt{x + 1} v ớ i x \geq - 1$

a) Rút gọn biểu thức $B$ ;

b) Tìm x sao cho $B$ có giá trị là 16.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}$ $B = \sqrt{16 x + 16} - \sqrt{9 x + 9} + \sqrt{4 x + 4} + \sqrt{x + 1}$

$= \sqrt{16(x+1)}-\sqrt{9(x+1)}+\sqrt{4(x+1)}+\sqrt{x+1}$ $= \sqrt{16 (x + 1)} - \sqrt{9 (x + 1)} + \sqrt{4 (x + 1)} + \sqrt{x + 1}$

$= \sqrt{4^2(x+1)}-\sqrt{3^2(x+1)}+\sqrt{2^2(x+1)}+\sqrt{x+1}$ $= \sqrt{4^{2} (x + 1)} - \sqrt{3^{2} (x + 1)} + \sqrt{2^{2} (x + 1)} + \sqrt{x + 1}$

$= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$ $= 4 \sqrt{x + 1} - 3 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}$

$=(4-3+2+1)\sqrt{x+1}$ $= (4 - 3 + 2 + 1) \sqrt{x + 1}$

$=4\sqrt{x+1}.$ $= 4 \sqrt{x + 1} .$

b) Ta có:

$B = 16 \Leftrightarrow 4\sqrt {x + 1} = 16$ $B = 16 \Leftrightarrow 4 \sqrt{x + 1} = 16$

$\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = {{16} \over 4}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = \frac{16}{4}$

$\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 4$ $\Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = 4$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} = {4^2}$ $\Leftrightarrow {(\sqrt{x + 1})}^{2} = 4^{2}$

$\Leftrightarrow x + 1 = 16$ $\Leftrightarrow x + 1 = 16$

$\Leftrightarrow x = 16 - 1$ $\Leftrightarrow x = 16 - 1$

$\Leftrightarrow\ x=15\ (thỏa\ mãn)$ $\Leftrightarrow x = 15 (t h ỏ a m ã n)$

Bài 61 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Chứng minh các đẳng thức sau:

$a) \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{6}$ $a) \frac{3}{2} \sqrt{6} + 2 \sqrt{\frac{2}{3}} - 4 \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$b)\left(x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}=\frac{7}{3}\ với\ x>0.$ $b) (x \sqrt{\frac{6}{x}} + \sqrt{\frac{2 x}{3}} + \sqrt{6 x}) : \sqrt{6 x} = \frac{7}{3} v ớ i x > 0.$

Hướng dẫn giải:

a) Biến đổi vế trái ta có:

$VT = \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ $V T = \frac{3}{2} \sqrt{6} + 2 \sqrt{\frac{2}{3}} - 4 \sqrt{\frac{3}{2}}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt 3}-4\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}$ $= 3 \frac{\sqrt{6}}{2} + 2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 2\sqrt 3}{\sqrt 3 .\sqrt 3}-4.\dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 2}{\sqrt 2.\sqrt 2}$ $= 3 \frac{\sqrt{6}}{2} + 2 \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} . \sqrt{3}} - 4. \frac{\sqrt{3} . \sqrt{2}}{\sqrt{2} . \sqrt{2}}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 6}{3}-4\dfrac{\sqrt 6}{2}$ $= 3 \frac{\sqrt{6}}{2} + 2 \frac{\sqrt{6}}{3} - 4 \frac{\sqrt{6}}{2}$

$=3\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}+2\dfrac{\sqrt 6 .2}{3.2}-4\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}$ $= 3 \frac{\sqrt{6} .3}{2.3} + 2 \frac{\sqrt{6} .2}{3.2} - 4 \frac{\sqrt{6} .3}{2.3}$

$=9\dfrac{\sqrt 6}{6}+4\dfrac{\sqrt 6}{6}-12\dfrac{\sqrt 6}{6}$ $= 9 \frac{\sqrt{6}}{6} + 4 \frac{\sqrt{6}}{6} - 12 \frac{\sqrt{6}}{6}$

$=(9+4-12)\dfrac{\sqrt 6}{6}=\dfrac{\sqrt 6}{6}=VP$ $= (9 + 4 - 12) \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{6} = V P$

b) Biến đổi vế trái ta có:

$VT = \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}} + \sqrt {\dfrac{2x}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$ $V T = (x \sqrt{\frac{6}{x}} + \sqrt{\frac{2 x}{3}} + \sqrt{6 x}) : \sqrt{6 x}$

$= \left( {x\sqrt {{{6x} \over {{x^2}}}} + \sqrt {{{2x.3} \over {{3^2}}}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$ $= (x \sqrt{\frac{6 x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{2 x .3}{3^{2}}} + \sqrt{6 x}) : \sqrt{6 x}$
$= \left( {x{{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{x^2}} }} + {{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{3^2}} }} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$ $= (x \frac{\sqrt{6 x}}{\sqrt{x^{2}}} + \frac{\sqrt{6 x}}{\sqrt{3^{2}}} + \sqrt{6 x}) : \sqrt{6 x}$
$= \left( {x{{\sqrt {6x} } \over x} + {{\sqrt {6x} } \over 3} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$ $= (x \frac{\sqrt{6 x}}{x} + \frac{\sqrt{6 x}}{3} + \sqrt{6 x}) : \sqrt{6 x}$
$= \left( {1.\sqrt {6x} + {1 \over 3}\sqrt {6x} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$ $= (1. \sqrt{6 x} + \frac{1}{3} \sqrt{6 x} + \sqrt{6 x}) : \sqrt{6 x}$
$= \left( {1 + {1 \over 3} + 1} \right)\sqrt {6x} :\sqrt {6x}$ $= (1 + \frac{1}{3} + 1) \sqrt{6 x} : \sqrt{6 x}$
$= {7 \over 3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x}$ $= \frac{7}{3} \sqrt{6 x} : \sqrt{6 x}$
$= {7 \over 3}\sqrt {6x} .{1 \over {\sqrt {6x} }} = \dfrac{7}{3} =VP.$ $= \frac{7}{3} \sqrt{6 x} . \frac{1}{\sqrt{6 x}} = \frac{7}{3} = V P .$

Giải bài tập Toán 9 trang 33: Luyện tập

Bài 62 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

$a) \dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}};$ $a) \frac{1}{2} \sqrt{48} - 2 \sqrt{75} - \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}} + 5 \sqrt{1 \frac{1}{3}};$

$b) \sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6};$ $b) \sqrt{150} + \sqrt{1, 6} . \sqrt{60} + 4, 5. \sqrt{2 \frac{2}{3}} - \sqrt{6};$

$c) (\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84};$ $c) (\sqrt{28} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) \sqrt{7} + \sqrt{84};$

$d) (\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}.$ $d) (\sqrt{6} + \sqrt{5})^{2} - \sqrt{120} .$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$ $\frac{1}{2} \sqrt{48} - 2 \sqrt{75} - \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}} + 5 \sqrt{1 \frac{1}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{16. 3}-2\sqrt{25. 3}-\dfrac{\sqrt{3.11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\dfrac{1.3+1}{3}}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{16. 3} - 2 \sqrt{25. 3} - \frac{\sqrt{3.11}}{\sqrt{11}} + 5 \sqrt{\frac{1.3 + 1}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{4^2. 3}-2\sqrt{5^2. 3}-\dfrac{\sqrt 3.\sqrt{11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\dfrac{4}{3}}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{4^{2} . 3} - 2 \sqrt{5^{2} . 3} - \frac{\sqrt{3} . \sqrt{11}}{\sqrt{11}} + 5 \sqrt{\frac{4}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}.4\sqrt{ 3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{\sqrt 4}{\sqrt 3}$ $= \frac{1}{2} .4 \sqrt{3} - 2.5 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 5 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

$=\dfrac{4}{2}\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{\sqrt{4}.\sqrt 3}{\sqrt{3}.\sqrt {3}}$ $= \frac{4}{2} \sqrt{3} - 10 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 5 \frac{\sqrt{4} . \sqrt{3}}{\sqrt{3} . \sqrt{3}}$

$=2\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ $= 2 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 5 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$=2\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+10\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $= 2 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 10 \frac{\sqrt{3}}{3}$

$= \left( {2 - 10 - 1 + \dfrac{10}{3} }\right)\sqrt 3$ $= (2 - 10 - 1 + \frac{10}{3}) \sqrt{3}$

$=-\dfrac{17}{3}\sqrt 3$ $= - \frac{17}{3} \sqrt{3}$

b) Ta có:

$\sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5. \sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6}$ $\sqrt{150} + \sqrt{1, 6} . \sqrt{60} + 4, 5. \sqrt{2 \frac{2}{3}} - \sqrt{6}$

$=\sqrt{25. 6}+\sqrt{1,6. 60}+4,5.\sqrt{\dfrac{2.3+2}{3}}-\sqrt{6}$ $= \sqrt{25. 6} + \sqrt{1, 6. 60} + 4, 5. \sqrt{\frac{2.3 + 2}{3}} - \sqrt{6}$

$=\sqrt{5^2. 6}+\sqrt{1,6. (6.10)}+4,5\sqrt{\dfrac{8}{3}}-\sqrt{6}$ $= \sqrt{5^{2} . 6} + \sqrt{1, 6. (6.10)} + 4, 5 \sqrt{\frac{8}{3}} - \sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{(1,6. 10).6}+4,5\dfrac{\sqrt 8}{\sqrt 3}-\sqrt{6}$ $= 5 \sqrt{6} + \sqrt{(1, 6. 10) .6} + 4, 5 \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} - \sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{16.6}+4,5\dfrac{\sqrt 8 . \sqrt 3}{ 3}-\sqrt{6}$ $= 5 \sqrt{6} + \sqrt{16.6} + 4, 5 \frac{\sqrt{8} . \sqrt{3}}{3} - \sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{4^2.6}+4,5\dfrac{\sqrt {8 .3}}{ 3}-\sqrt{6}$ $= 5 \sqrt{6} + \sqrt{4^{2} .6} + 4, 5 \frac{\sqrt{8 .3}}{3} - \sqrt{6}$

$= 5\sqrt{6}+4\sqrt{ 6}+4,5. \dfrac{\sqrt{4.2. 3}}{3}-\sqrt{6}$ $= 5 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + 4, 5. \frac{\sqrt{4.2 . 3}}{3} - \sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5. 2\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$ $= 5 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + 4, 5. 2 \frac{\sqrt{6}}{3} - \sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+9\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$ $= 5 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + 9 \frac{\sqrt{6}}{3} - \sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}$ $= 5 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - \sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}.$ $= (5 + 4 + 3 - 1) \sqrt{6} = 11 \sqrt{6} .$

Cách 2: Ta biến đổi từng hạng tử rồi thay vào biểu thức ban đầu:

$\sqrt{150}=\sqrt{25.6}=5\sqrt 6$ $\sqrt{150} = \sqrt{25.6} = 5 \sqrt{6}$

$\sqrt{1,6.60}=\sqrt{1,6.(10.6)}=\sqrt{(1,6.10).6}=\sqrt{16.6} =4\sqrt{6}$ $\sqrt{1, 6.60} = \sqrt{1, 6. (10.6)} = \sqrt{(1, 6.10) .6} = \sqrt{16.6} = 4 \sqrt{6}$

$4,5.\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=4,5.\sqrt{\dfrac{2.3+2}{3}}=4,5.\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\frac{9}{2} .\frac{\sqrt{8.3} }{3} =\frac{\sqrt{24} }{2} =2\sqrt{6}$ $4, 5. \sqrt{2 \frac{2}{3}} = 4, 5. \sqrt{\frac{2.3 + 2}{3}} = 4, 5. \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{9}{2} . \frac{\sqrt{8.3}}{3} = \frac{\sqrt{24}}{2} = 2 \sqrt{6}$

Do đó:

$\sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5. \sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6}$ $\sqrt{150} + \sqrt{1, 6} . \sqrt{60} + 4, 5. \sqrt{2 \frac{2}{3}} - \sqrt{6}$

$=5\sqrt 6+4\sqrt 6+3\sqrt 6 - \sqrt 6$ $= 5 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - \sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt 6=11\sqrt{6}$ $= (5 + 4 + 3 - 1) \sqrt{6} = 11 \sqrt{6}$

c) Ta có:

$=(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84}$ $= (\sqrt{28} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) \sqrt{7} + \sqrt{84}$

$=(\sqrt{4.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{4.21}$ $= (\sqrt{4.7} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) \sqrt{7} + \sqrt{4.21}$

$=(\sqrt{2^2.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{2^2.21}$ $= (\sqrt{2^{2} .7} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) \sqrt{7} + \sqrt{2^{2} .21}$

$=(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}$ $= (2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) \sqrt{7} + 2 \sqrt{21}$

$= 2\sqrt{7}.\sqrt{7}-2\sqrt{3}.\sqrt{7}+\sqrt{7}.\sqrt{7}+2\sqrt{21}$ $= 2 \sqrt{7} . \sqrt{7} - 2 \sqrt{3} . \sqrt{7} + \sqrt{7} . \sqrt{7} + 2 \sqrt{21}$

$=2.(\sqrt{7})^2-2\sqrt{3.7}+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{21}$ $= 2. (\sqrt{7})^{2} - 2 \sqrt{3.7} + (\sqrt{7})^{2} + 2 \sqrt{21}$

$=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$ $= 2.7 - 2 \sqrt{21} + 7 + 2 \sqrt{21}$

$=14-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$ $= 14 - 2 \sqrt{21} + 7 + 2 \sqrt{21}$

$= 14 + 7 = 21$

d) Ta có:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}$ $(\sqrt{6} + \sqrt{5})^{2} - \sqrt{120}$

$=(\sqrt 6)^2+2.\sqrt 6 .\sqrt 5+(\sqrt 5)^2-\sqrt{4.30}$ $= (\sqrt{6})^{2} + 2. \sqrt{6} . \sqrt{5} + (\sqrt{5})^{2} - \sqrt{4.30}$

$=6+2\sqrt{6.5}+5-2\sqrt{30}$ $= 6 + 2 \sqrt{6.5} + 5 - 2 \sqrt{30}$

$=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=6+5=11.$ $= 6 + 2 \sqrt{30} + 5 - 2 \sqrt{30} = 6 + 5 = 11.$

Bài 63 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn biểu thức sau:

$a. \sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}} với a>0 và b>0$ $a . \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{a b} + \frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}} v ớ i a > 0 v à b > 0$

b. $\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}} với m>0 và x\neq 1.$ $\sqrt{\frac{m}{1 - 2 x + x^{2}}} . \sqrt{\frac{4 m - 8 m x + 4 m^{2}}{81}} v ớ i m > 0 v à x \neq 1.$

Gợi ý đáp án

$a. \sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}} với a>0 và b>0$ $a . \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{a b} + \frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}} v ớ i a > 0 v à b > 0$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{a b} + \frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}}$

$=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt b}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt a}$ $= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \sqrt{a b} + \frac{a}{b} . \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$

$=\dfrac{\sqrt{a}.\sqrt b}{(\sqrt b)^2}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{b}.\sqrt a}{(\sqrt a)^2}$ $= \frac{\sqrt{a} . \sqrt{b}}{(\sqrt{b})^{2}} + \sqrt{a b} + \frac{a}{b} . \frac{\sqrt{b} . \sqrt{a}}{(\sqrt{a})^{2}}$

$=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{a} =\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$ $= \frac{\sqrt{a b}}{b} + \sqrt{a b} + \frac{a}{b} . \frac{\sqrt{a b}}{a} = \frac{\sqrt{a b}}{b} + \sqrt{a b} + \frac{\sqrt{a b}}{b}$

$={\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b} \right)}+\sqrt{ab} =\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}$ $= (\frac{\sqrt{a b}}{b} + \frac{\sqrt{a b}}{b}) + \sqrt{a b} = \frac{2 \sqrt{a b}}{b} + \sqrt{a b}$

$=\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\dfrac{b\sqrt{ab}}{b} =\dfrac{2+b}{b}\sqrt{ab}.$ $= \frac{2 \sqrt{a b}}{b} + \frac{b \sqrt{a b}}{b} = \frac{2 + b}{b} \sqrt{a b} .$

b. $\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}} với m>0 và x\neq 1.$ $\sqrt{\frac{m}{1 - 2 x + x^{2}}} . \sqrt{\frac{4 m - 8 m x + 4 m^{2}}{81}} v ớ i m > 0 v à x \neq 1.$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}} =\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}$ $\sqrt{\frac{m}{1 - 2 x + x^{2}}} . \sqrt{\frac{4 m - 8 m x + 4 m x^{2}}{81}} = \sqrt{\frac{m}{1 - 2 x + x^{2}}} . \sqrt{\frac{4 m (1 - 2 x + x^{2})}{81}}$

$=\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}.\dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}} =\sqrt{\dfrac{m}{1}.\dfrac{4m}{81}}=\sqrt{\dfrac{4m^{2}}{81}}$ $= \sqrt{\frac{m}{1 - 2 x + x^{2}} . \frac{4 m (1 - 2 x + x^{2})}{81}} = \sqrt{\frac{m}{1} . \frac{4 m}{81}} = \sqrt{\frac{4 m^{2}}{81}}$

$=\sqrt{\dfrac{(2m)^2}{9^2}}=\dfrac{|2m|}{9}=\dfrac{2m}{9}.$ $= \sqrt{\frac{(2 m)^{2}}{9^{2}}} = \frac{| 2 m |}{9} = \frac{2 m}{9} .$

(vì m >0 nên |2m|=2m.)

Bài 64 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các đẳng thức sau:

$a. \left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1 với a ≥ 0 và a ≠ 1$ $a . (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . {(\frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a})}^{2} = 1 v ớ i a \geq 0 v à a \neq 1$

$b. \dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}} = \left| a \right| với a + b > 0 và b ≠ 0$ $b . \frac{a + b}{b^{2}} \sqrt{\frac{a^{2} b^{4}}{a^{2} + 2 a b + b^{2}}} = | a | v ớ i a + b > 0 v à b \neq 0$

Gợi ý đáp án:

Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có:

$VT=\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}$ $V T = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . {(\frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a})}^{2}$

$=\left ( \dfrac{1-(\sqrt{a})^3}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt a)(1+ \sqrt a)} \right )^{2}$ $= (\frac{1 - (\sqrt{a})^{3}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . {(\frac{1 - \sqrt{a}}{(1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a})})}^{2}$

$=\left ( \dfrac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt a+(\sqrt a)^2)}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1}{1+ \sqrt a} \right )^{2}$ $= (\frac{(1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a} + (\sqrt{a})^{2})}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . {(\frac{1}{1 + \sqrt{a}})}^{2}$

$=\left [ (1+\sqrt a+(\sqrt a)^2) +\sqrt{a}\right ]. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}$ $= [(1 + \sqrt{a} + (\sqrt{a})^{2}) + \sqrt{a}] . \frac{1}{(1 + \sqrt{a})^{2}}$

$=\left [ (1+2\sqrt a+(\sqrt a)^2)\right ]. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2} =(1+\sqrt a)^2. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}=1=VP.$ $= [(1 + 2 \sqrt{a} + (\sqrt{a})^{2})] . \frac{1}{(1 + \sqrt{a})^{2}} = (1 + \sqrt{a})^{2} . \frac{1}{(1 + \sqrt{a})^{2}} = 1 = V P .$

$b. \dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}} = \left| a \right| với a + b > 0 và b ≠ 0$ $b . \frac{a + b}{b^{2}} \sqrt{\frac{a^{2} b^{4}}{a^{2} + 2 a b + b^{2}}} = | a | v ớ i a + b > 0 v à b \neq 0$

Ta có:

$VT=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}$ $V T = \frac{a + b}{b^{2}} \sqrt{\frac{a^{2} b^{4}}{a^{2} + 2 a b + b^{2}}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{(ab^2)^2}{(a+b)^2}} =\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{\sqrt{(ab^2)^2}}{\sqrt{(a+b)^2}}$ $= \frac{a + b}{b^{2}} \sqrt{\frac{(a b^{2})^{2}}{(a + b)^{2}}} = \frac{a + b}{b^{2}} \frac{\sqrt{(a b^{2})^{2}}}{\sqrt{(a + b)^{2}}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{|ab^2|}{|a+b|} =\dfrac{a+b}{b^{2}}.\dfrac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP$ $= \frac{a + b}{b^{2}} \frac{| a b^{2} |}{| a + b |} = \frac{a + b}{b^{2}} . \frac{| a | b^{2}}{a + b} = | a | = V P$

Vì $a+b > 0 \Rightarrow |a+b|=a+b.$ $a + b > 0 \Rightarrow | a + b | = a + b .$

Bài 65 trang 34 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:

$M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\ với\ a>0\ và\ a\ne1.$ $M = (\frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1}) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2 \sqrt{a} + 1} v ớ i a > 0 v à a \neq 1.$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}$ $M = (\frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1}) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2 \sqrt{a} + 1}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a)^2 -2\sqrt a+1}$ $= (\frac{1}{\sqrt{a} . \sqrt{a} - \sqrt{a} .1} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1}) : \frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a})^{2} - 2 \sqrt{a} + 1}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$ $= (\frac{1}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1}) : \frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a} - 1)^{2}}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$ $= (\frac{1}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)}) : \frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a} - 1)^{2}}$

$=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$ $= \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)} : \frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a} - 1)^{2}}$

$=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} . \dfrac{(\sqrt a -1)^2}{\sqrt a +1}$ $= \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)} . \frac{(\sqrt{a} - 1)^{2}}{\sqrt{a} + 1}$

$=\dfrac{1}{\sqrt a} . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}$ $= \frac{1}{\sqrt{a}} . \frac{\sqrt{a} - 1}{1} = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$

$=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}$ $= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{a}}$

$Vì\ a>0\Rightarrow\sqrt{a}>0\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}>0\Rightarrow1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1.$ $V ì a > 0 \Rightarrow \sqrt{a} > 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}} > 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} < 1.$

Vậy M < 1.

Bài 66 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)

Giá trị của biểu thức $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ bằng:

$(A) \dfrac{1}{2};$ $(A) \frac{1}{2};$

(B) 1;

(C) -4;

(D) 4.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$ $= \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} + \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}$ $= \frac{2 - \sqrt{3}}{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}} + \frac{2 + \sqrt{3}}{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}$ $= \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} + \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{1} =2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4.$ $= \frac{2 - \sqrt{3}}{1} + \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4.$

Chọn đáp án (D). 4

..................................................

Như vậy VnDoc đã giới thiệu các bạn tài liệu Giải bài tập Toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt, nếu có thắc mắc hay trao đổi kiến thức các em có thể vào link sau nhé: Hỏi - đáp

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm các Tài liệu học tập lớp 9 như Toán lớp 9, Giải Toán 9, Trắc nghiệm Toán 9 và các đề học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 mới nhất được cập nhật. Bài tiếp theo: Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 9: Căn bậc ba