Giải Toán 9 bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

Gọi x là số luống rau, y là số cây mỗi luống.

Điều kiện x > 4, y > 3; x,y ∈ N

Số cây trong vườn là: x.y (cây)

+ Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số luống là x + 8, số cây mỗi luống là y – 3

⇒ Tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) cây.

Số cây trong vườn ít đi 54 cây nên ta có phương trình:

(x + 8)(y – 3) = xy – 54

⇔ xy -3x + 8y - 24 = xy – 54

⇔ xy -3x + 8y - xy = –54 + 24

⇔ -3x + 8y = –30

⇔ 3x – 8y = 30

+ Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số luống là x – 4 và số cây mỗi luống là y + 2.

⇒ Số cây trong vườn là: (x – 4)(y + 2) cây

Số cây trong vườn tăng thêm 32 cây nên ta có phương trình:

(x – 4)(y + 2) = xy + 32

⇔ xy – 4y + 2x – 8 = xy + 32

⇔ 2x – 4y = 40

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ 2x-4y= 40 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ 4x-8y= 80 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ -x= -50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=3x- 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=3.50- 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=120 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=15 & & \\ x= 50 & & \end{matrix} \right.\)

Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: 50 . 15 = 750 (cây)

Gọi x (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên.

Gọi y (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng thơm.

Điều kiện x > 0, y > 0.

Mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm hết 107 rupi

⇒ 9x + 8y = 107.

Mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi

⇒ 7x + 7y = 91 ⇔ x + y = 13.

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} 9x + 8y =107 & & \\ 7x + 7y = 91& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 63x + 56y =749 & & \\ 56x + 56y = 728 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 63x + 56y =749 & & \\ 7x = 21 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 56y =749 - 63x & & \\ x = 3 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 56y =749 - 63.3 & & \\ x = 3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 56y =560 & & \\ x = 3 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =10 & & \\ x = 3 & & \end{matrix} \right.\)

Vậy, giá 1 quả thanh yên là 3 rupi; giá 1 quả táo rừng thơm là 10 rupi.

Theo thứ tự từ trái qua phải, ta gọi số thứ nhất bị mờ là x, số thứ hai bị mờ là y. Điều kiện x > 0, y > 0.

Số lần bắn là 100 nên ta có: 25+42+x+15+y=100

\(\Leftrightarrow x+y=18 (1)\)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có:

\(\dfrac{{10.25 + 9.42 + 8.x + 7.15 + 6.y}}{{100}} = 8,69\)

\(\Leftrightarrow 10.25 + 9 . 42 + 8.x + 7.15 + 6.y = 100.8,69\)

\(\Leftrightarrow 8x+6y=136 (2)\)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x + y = 18 & & \\ 8.x + 6.y = 136& & \end{matrix}\right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} 6x+6y=108 & & \\ 8x+6y = 136 & & \end{matrix}\right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} 6x+6y=108 & & \\ -2x = -28 & & \end{matrix}\right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} 6y=108-6x & & \\ x = 14 & & \end{matrix}\right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} 6y=108-6.14 & & \\ x = 14 & & \end{matrix}\right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} 6y=24 & & \\ x = 14 & & \end{matrix}\right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} y=4 & & \\ x = 14 & & \end{matrix} \right.\)

Vậy theo thứ tự từ trái qua phải, số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4.

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x (cm/s) và y (cm/s) (điều kiện x > y > 0).

Quãng đường đi được của vật thứ nhất sau 20 giây là: 20x (cm)

Quãng đường đi được của vật thứ hai sau 20 giây là: 20y (cm)

Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là sau 20 giây, vật thứ nhất (tức vật đi nhanh hơn) đi được nhiều hơn vật thứ hai đúng một vòng tròn.

Độ dài (chu vi) đường tròn đường kính 20 cm là: \(20 \pi\) (cm).

Ta có phương trình: 20x - 20y = \(20 \pi\) (1)

Quãng đường đi được của vật thứ nhất sau 4 giây là: 4x (cm)

Quãng đường đi được của vật thứ hai sau 4 giây là: 4y (cm)

Khi chuyển động ngược chiều cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây của hai vật là đúng 1 vòng.

Ta có phương trình: 4x + 4y = 20π. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} 20x - 20y = 20\pi & & \\ 4x + 4y = 20\pi & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} x - y = 1\pi & & \\ x + y = 5 \pi & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} x - y = 1\pi & & \\ 2x = 6 \pi & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y =x- 1\pi & & \\ x = 3 \pi & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y =3 \pi - 1\pi & & \\ x = 3 \pi & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y =2 \pi & & \\ x = 3 \pi & & \end{matrix} \right.\)

Vậy vận tốc của hai vật là \(3 \pi cm/s, 2 \pi\)cm/s.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là: x phút, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: y phút. (Điều kiện x > 80, y > 80 ).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể.

Nên trong 1 phút cả hai vòi chảy được \(\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}\) (bể).

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau 1 giờ 20 phút = 80 phút thì đầy bể nên trong 1 phút cả hai vòi chảy được: \(\dfrac{1}{80}\) (bể).

Do đó ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{80}\) (1)

Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được \(10.\dfrac{1}{x}\) bể, trong 12 phút vòi thứ hai chảy được 12. \(\dfrac{1}{y}\) bể thì được \(\dfrac{2}{15}\)bể, ta có phương trình:

\(10. \dfrac{1}{x} + 12. \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15} (2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{80}& & \\ 10. \dfrac{1}{x} + 12. \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x} =a & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right. ; (a,\ b \ne 0 )\)

Hệ đã cho trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a+ b = \dfrac{1}{80}& & \\ 10. a + 12. b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a+ 10b = \dfrac{10}{80}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a+ 10b = \dfrac{1}{8}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b = \dfrac{1}{120}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ 10a = \dfrac{2}{15}-12b & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ 10a = \dfrac{2}{15}-12.\dfrac{1}{240} & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ a = \dfrac{1}{120} & & \end{matrix} \right.\)

Suy ra \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{120} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{240} & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 120 & & \\ y=240 & & \end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong 120 phút (2 giờ) thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong 240 phút (4 giờ) thì đầy bể.

Giả sử không kể thuế VAT người đó phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai. (Điều kiện: x, y > 0 )

*Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ nhất là:

10%. x =\(\dfrac{10}{100}.x\) =\(\dfrac{1}{10}x\) (triệu đồng)

Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế) là:

\(x+ \dfrac{1}{10}x=\dfrac{11}{10}x\) (triệu đồng)

Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ hai là:

8%. y \(=\dfrac{8}{100}.y=\dfrac{2}{25}y\) (triệu đồng)

Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế) là:

\(y+\dfrac{2}{25}y=\dfrac{27}{25}y\) (triệu đồng)

Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc này là 2,17 triệu đồng, nên ta có phương trình:

\(\dfrac{11}{10}x + \dfrac{27}{25}y = 2,17 \Leftrightarrow 1,1x + 1,08y = 2,17\) (1)

* Số tiền mua cả hai loại hàng khi chưa có thuế là: x+y (triệu đồng)

Số tiền thuế phải trả cho cả hai loại hàng với mức thuế 9% là:

9%.\((x+y)=\dfrac{9}{100}.(x+y)\)

Tổng số tiền phải trả (kể cả thuế), là:

\((x+y) + \dfrac{9}{100}.(x+y)=\dfrac{109}{100}(x+y)\)

Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc này là: 2,18 triệu đồng, nên ta có phương trình:

\(\dfrac{109}{100}(x+y)=2,18 \Leftrightarrow x+y=2 (2)\)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} 1,1x + 1,08y = 2,17 & & \\ x + y = 2 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2-y & & \\ 1,1(2-y) +1,08y= 2,17 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2,2 - 1,1y+1,08y=2,17 & & \\ x=2-y & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0,02y=2,2-2,17 & & \\ x=2-y & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0,02y=0,03 & & \\ x=2-y & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=2-y\ (3) & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=2-1,5 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=0,5\ & & \end{matrix} \right.\)

Vậy số tiền người đó phải trả cho loại thứ nhất là 0,5 triệu đồng khi không có thuế, loại thứ hai là 1,5 triều đồng khi không có thuế.