Giải Toán 9: Ôn tập chương 3

\(a) \left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr - 2{\rm{x}} - 5y = - 5 \hfill \cr} \right.\)

Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ trên, ta được: 2x + 5y +(-2x-5y)= 2-5

\(\Leftrightarrow\) 0 = - 3 (vô lý)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Minh họa hình học kết quả tìm được:

- Vẽ đồ thị hàm số 2x + 5y = 2.

Cho y = 0 ⇒ x = 1. Ta xác định được điểm A(1; 0)

Cho y = 1 ⇒ x = -1,5. Ta xác định được điểm B(-1,5; 1).

Đồ thị hàm số 2x + 5y = 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

-Vẽ đồ thị hàm số \({\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 5y = 5\)

Cho x = 0 ⇒ y = 1. Ta xác định được điểm C(0; 1)

Cho y = 2 ⇒ x = -2,5. Ta xác định được điểm D(-2,5; 2)

Đồ thị hàm số \({\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.

\(b) \left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{ 0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2{\rm{x}} - y = - 3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \, (2) \hfill \cr} \right.\)

Cộng vế với vế của hai phương trình trên, ta được \(-2x-y+3x+y=-3+5 \Leftrightarrow x = 2\)

Thế x = 2 vào phương trình (2), ta được: 6 + y = 5 ⇔ y = -1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(2;-1)

Minh họa hình học:

- Đồ thị hàm số 0,2x + 0,1y = 0,3 là một đường thẳng đi qua hai điểm:

A( 0; 3) và B(1,5; 0)

- Đồ thị hàm số 3x + y = 5 là một đường thẳng đi qua hai điểm C( 0; 5) và D( 1; 2)

- Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: M( 2; -1).

Vậy (2; -1) là một nghiệm của hệ phương trình.

\(c) \left\{ \matrix{{\displaystyle{3 \over 2}}x - y = {\displaystyle{1 \over 2}} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{ {\displaystyle{3 \over 2}}x - y = {\displaystyle{1 \over 2}} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{\rm{x}} + 2y = - 1 \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\ - 3x + 2y + 3x - 2y = - 1 + 1\end{array} \right.\)

\(\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 3x - 1\\0 = 0\left( \right)\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát là \(\left( {x;{\displaystyle{3 \over 2}}x - {\displaystyle{1 \over 2}}} \right)\) với x ∈ R

Minh họa hình học

- Đồ thị hàm số \(\dfrac{3}{2}x - y = \dfrac{1}{2}\) và đồ thị hàm số 3x - 2y = 1 cùng là một đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; - {\displaystyle{1 \over 2}})\) và B(1;1) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

\(a) \left\{ \matrix{x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.\)

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ (1) ta có \(x = \displaystyle{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)\)

Thế (3) vào (2), ta được:

\(\eqalign{ & \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr & \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \cr&\Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr}\)

Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:

\(\begin{array}{l} x = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \right) + 3}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 + \sqrt {15} + 3 - \sqrt 3 + 3}}{{3\sqrt 5 }}\\ = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt {15} + 5}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3} \end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\displaystyle\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3};{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right)\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình: (I)

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.\)

Điều kiện: \(\displaystyle x \ne - 1;y \ne - 1\)

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt \(\displaystyle u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\)

Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là u và v ta được:

\(\displaystyle \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 \,\,(1') \hfill \cr u + 3v = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr - 2u - 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.\)

Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được:\(\displaystyle - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2 \Leftrightarrow v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\)

Thay \(\displaystyle v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) vào (1’), ta được:

\(\displaystyle 2u + v = \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = -v+\sqrt 2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\)

Với giá trị của \(\displaystyle u,v\)vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm x, y.

Ta có:

\(\displaystyle \left\{ \matrix{ {x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr {y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \left( {x + 1} \right).\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr y = \left( {y + 1} \right).{{{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5}} \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr 5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x = x\left( {3\sqrt 2 + 1} \right) + 3\sqrt 2 + 1\\ 5y = y\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - \left( {3\sqrt 2 + 1} \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\ 5y - \left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\ \left( {7 + \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 + 1} \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}\\ y = \dfrac{{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2}\,(tmđk)\\ y = \dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}\,(tmđk) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\displaystyle \left( {\dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right)\)