Giải Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi x là số mà một bạn chọn

⇒ số còn lại là x + 5.

⇒ tích của hai số là x(x+5).

Theo đề bài ta có phương trình:

x(x+ 5) = 150

⇔ x² + 5x = 150

⇔ x² + 5x – 150 = 0 (*)

Phương trình (*) có: a = 1; b = 5; c = -150

⇒ Δ = 5² – 4.1.(-150) = 625 > 0

⇒ (*) có hai nghiệm

\({x_1}= \dfrac{{ - 5 + \sqrt {625} }}{2}=10,\)

\({x_1}= \dfrac{{ - 5 - \sqrt {625} }}{2}=10\)

Vậy hai số mà Minh và Lan phải chọn là 10 và 15.

Hoặc hai số mà hai bạn chọn là -10 và –15.

Gọi lãi suất cho vay là x (%), (x > 0).

Tiền lãi sau một năm là: \(2 000 000 . \dfrac{x}{100} hay 20000x\) (đồng)

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: 2 000 000 + 20000x (đồng)

Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là:

\((2 000 000 + 20000x)\dfrac{x}{100} hay 20000x + 200{x^2}\) (đồng)

Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:

\(2 000 000 + 20000x+20000x + 200{x^2} =2 000 000 + 40000x + 200x^2\) (đồng)

Theo đầu bài ra ta có phương trình:

\(2 000 000 + 40 000x + 200x^2= 2 420 000\)

hay \(x^2+ 200x - 2 100 = 0\)

Giải phương trình:

\(\Delta' = 100^2 - 1 . (-2 100) = 10 000 + 2 100 = 12 100 >0 => \sqrt{\Delta'}= 110\)

nên \({x_1}=\dfrac{-100-110}{1} = -210, {x_2}=\dfrac{-100+110}{1}= 10\)

Vì x > 0 nên \({x_1}\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy lãi suất là 10% một năm.

Gọi số phải tìm là x.

Theo giả thiết một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là:\(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\)

Theo đầu bài ta có phương trình: \((\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2})\dfrac{x}{2} =\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x = 2\)

hay x² – x – 2 = 0, có a – b + c = 1 – (-1) – 2 = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là: \({x_1} = -1, {x_2} = 2\)

Vậy số phải tìm bằng -1 hoặc 2.

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là x và x + 1 (x ∈ N).

Tích của hai số là: x(x + 1) = x² + x.

Tổng hai số là : x + x + 1 = 2x + 1.

Theo bài ra ta có phương trình : x² + x = 2x + 1 + 109

⇔ x² – x – 110 = 0

Có a = 1; b = -1; c = -110 ⇒ Δ = (-1)² – 4.1.(-110) = 441.

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

\({x_1} = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) + 21}}{2}=11, {x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) - 21}}{2}= -10\)

Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 11 thỏa mãn điều kiện.

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m), x > 0.

Vì diện tích của mảnh đất bằng 240 m2 nên chiều dài là: \(\dfrac{240}{x} (m)\)

Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì mảnh đất mới có chiều rộng là x + 3 (m), chiều dài là \((\dfrac{240}{x}- 4) (m)\) và diện tích là: \((x + 3)(\dfrac{240}{x}-4)=240 - 4x + \dfrac{{720}}{x} - 12 (m^2)\)

Theo đầu bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} 240 - 4x + \dfrac{{720}}{x} - 12 = 240\\ \Rightarrow - 4{x^2} + 720 - 12x = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 180 = 0 \end{array}\)

Giải phương trình: \(\Delta = 3^2 + 720 = 729, \sqrt{\Delta} = 27\)

Suy ra \({x_1} = \dfrac{{ - 3 + 27}}{2}= 12, {x_2} = \dfrac{{ - 3 - 27}}{2}= -15\)

Vì x > 0 nên \({x_2} = -15\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là 12m, chiều dài là: 240 : 12 = 20 (m)

Vậy mảnh đất có chiều rộng là 12m, chiều dài là 20m.

Gọi vận tốc của bác Hiệp là x (km/h), khi đó vận tốc của cô Liên là x - 3 (km/h), x > 3.

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là \(\dfrac{30}{x}\) (giờ).

Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là: \(\dfrac{30}{x-3}\)(giờ)

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình:

\(\dfrac{30}{x-3}-\dfrac{30}{x} = \dfrac{1}{2}\)

Giải phương trình:

\(\begin{array}{l} 30.2x - 30.2\left( {x - 3} \right) = x\left( {x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 60x - 60x + 180 = {x^2} - 3x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 180 = 0\\ \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 180} \right) = 729 > 0,\sqrt \Delta = 27 \end{array}\)

\({x_1} = \dfrac{{3 + 27}}{2}= 15, {x_2} = \dfrac{{3 - 27}}{2}= -12\)

Vì x > 3 nên \({x_2} = -12\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h

Vận tốc của cô Liên là 12 km/h

Gọi chiều rộng của miếng tôn là x (dm), x > 10.

Chiều dài của nó là 2x (dm)

Khi làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp thì chiều dài của thùng là 2x - 10 (dm), chiều rộng là x - 10 (dm), chiều cao là 5 (dm).

Dung tích của thùng là 5(2x - 10)(x - 10) \((dm^3)\)

Theo đầu bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} 5\left( {2x - 10} \right)\left( {x - 10} \right) = 1500\\ \Leftrightarrow 5\left( {2{x^2} - 20x - 10x + 100} \right) = 1500\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 30x + 100 = 300\\ \Leftrightarrow {x^2} - 15x - 100 = 0 \end{array}\)

Giải phương trình: \(\Delta = 225 + 400 = 625 >0, \sqrt{\Delta} = 25\)

Suy ra \({x_1} = 20, {x_2} = -5\) (loại)

Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40 (dm).

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0.

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là x + 6 (ngày).

Mỗi ngày đội I làm được \(\dfrac{1}{x}\) (công việc).

Mỗi ngày đội II làm được \(\dfrac{1}{x+6}\) (công việc)

Hai đội làm 4 ngày xong công việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được \(\dfrac{1}{4}\)công việc ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+6} = \dfrac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {x + 6} \right) + 4.x = x\left( {x + 6} \right)\\ \Leftrightarrow 4x + 24 + 4x = {x^2} + 6x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 24 = 0 \end{array}\)

\(\Delta' = 1 + 24 = 25 = 5^2 {x_1} = 1 + 5 = 6, {x_2} = 1 - 5 = -4\)

Vì x > 0 nên\({x_2} = -4\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc.

Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: x (g/cm³ )

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: x - 1 (g/cm³ ) điều kiện x > 1

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\dfrac{880}{x}\) (cm³ )

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\dfrac{858}{x-1}\) (cm³ )

Theo đầu bài thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là 10 cm³ nên ta có phương trình: \(\dfrac{858}{x-1} - \dfrac{880}{x} = 10\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 858x - 880\left( {x - 1} \right) = 10x\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 858x - 880x + 880 = 10{x^2} - 10x\\ \Leftrightarrow 10{x^2} + 12x - 880 = 0\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 6x - 440 = 0 \end{array}\)

Ta có: \(\Delta'=9 + 2200 = 2209, \sqrt{\Delta' }= 47\)

Suy ra \({x_1} = \dfrac{{ - 3 + 47}}{5}= 8,8; {x_2} = \dfrac{{ - 3 - 47}}{5}= -10\)

Vì x > 1 nên \({x_2}\)= -10 (loại)

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: 8,8 g/cm³

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: 7,8 g/cm³

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: x (g), x > 0

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: \(\dfrac{40}{x + 40}\)

Nếu đổ thêm 200 g nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch sẽ là: x + 40 + 200 (g)

Nồng độ của dung dịch bây giờ là: \(\dfrac{40}{x + 240}\)

Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình:

\(\dfrac{40}{x + 40}-\dfrac{40}{x + 240} = \dfrac{10}{100}\)

Giải phương trình:

(x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - x - 40)

hay x² + 280x - 70400 = 0

\(\Delta' = 19600 + 70400 = 90000, \sqrt{\Delta'} = 300\)

Suy ra \({x_1} = 160, {x_2} = -440\)

Vì x > 0 nên \({x_2} = -440\) (loại)

Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có 160 g nước.

Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h) (x > 3)

Gọi vận tốc xuôi dòng là : x + 3 (km/h)

Gọi vận tốc khi ngược dòng là : x – 3 (km/h)

Thời gian xuôi dòng là: \(\dfrac{30}{x + 3}\) (giờ)

Thời gian ngược dòng là: \(\dfrac{30}{x - 3}\) (giờ)

Nghỉ lại 40 phút hay \(\dfrac{2}{3}\) giờ ở B.

Do kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 h nên ta có:

\(\dfrac{30}{x+ 3}+ \dfrac{30}{x- 3}+ \dfrac{2}{3} = 6\)

⇔ 30.3 (x- 3) + 30.3. (x+ 3) + 2(x+ 3). (x – 3) = 6.3.(x+3).(x – 3)

⇔ 90.(x – 3) + 90(x+ 3)+ 2(x² – 9) = 18 (x² -9)

⇔ 90x – 270+ 90x + 270 + 2x² – 18 = 18x² – 162

⇔ 180x + 2x² – 18 = 18x² – 162

⇔ 16x² – 180x -144= 0

⇔ 4x² –45x – 36 = 0

Có a=4; b= - 45, c= - 36

∆= ( -45)² – 4.4.(- 36)= 2601 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm là:

x₁ = 12, x₂ = \(-\frac{3}{4}\)

Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là 12km/h.