Giải Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải SGK Toán 9 trang 58, 59, 60

1 390

Giải Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hướng dẫn các bạn học sinh trả lời các câu hỏi trong sách giáo khoa Toán lớp 9 trang 58, 59, 60. Thông qua tài liệu này, các bạn học sinh có thể so sánh, đối chiếu với kết quả bài làm của mình, từ đó nâng cao kỹ năng giải Toán 9. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Toán 9 bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 41 trang 58 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 42 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 43 trang 58 SGK Toán 9 Tập 2
Bài 44 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 45 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 46 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 47 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 48 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 49 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 50 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 51 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 52 (trang 60 SGK Toán 9 Tập 2)
Bài 53 (trang 60 SGK Toán 9 Tập 2)

Bài 41 trang 58 SGK Toán 9 Tập 2

Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?

Hướng dẫn giải:

Gọi x là số mà một bạn chọn

⇒ số còn lại là x + 5.

⇒ tích của hai số là x(x+5).

Theo đề bài ta có phương trình:

x(x+ 5) = 150

⇔ x² + 5x = 150

⇔ x² + 5x – 150 = 0 (*)

Phương trình (*) có: a = 1; b = 5; c = -150

⇒ Δ = 5² – 4.1.(-150) = 625 > 0

⇒ (*) có hai nghiệm

${x_1}= \dfrac{{ - 5 + \sqrt {625} }}{2}=10,$

${x_1}= \dfrac{{ - 5 - \sqrt {625} }}{2}=10$

Vậy hai số mà Minh và Lan phải chọn là 10 và 15.

Hoặc hai số mà hai bạn chọn là -10 và –15.

Bài 42 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2)

Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

Hướng dẫn giải:

Gọi lãi suất cho vay là x (%), (x > 0).

Tiền lãi sau một năm là: $2 000 000 . \dfrac{x}{100} hay 20000x$ (đồng)

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: 2 000 000 + 20000x (đồng)

Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là:

$(2 000 000 + 20000x)\dfrac{x}{100} hay 20000x + 200{x^2}$ (đồng)

Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:

$2 000 000 + 20000x+20000x + 200{x^2} =2 000 000 + 40000x + 200x^2$ (đồng)

Theo đầu bài ra ta có phương trình:

$2 000 000 + 40 000x + 200x^2= 2 420 000$

hay $x^2+ 200x - 2 100 = 0$

Giải phương trình:

$\Delta' = 100^2 - 1 . (-2 100) = 10 000 + 2 100 = 12 100 >0 => \sqrt{\Delta'}= 110$

nên ${x_1}=\dfrac{-100-110}{1} = -210, {x_2}=\dfrac{-100+110}{1}= 10$

Vì x > 0 nên ${x_1}$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy lãi suất là 10% một năm.

Bài 43 trang 58 SGK Toán 9 Tập 2

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo môt đường sông dài 120km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là x(km/h), thì vận tốc lúc về là x - 5 (km/h), x > 5.

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: $\dfrac{120}{x} + 1$ (giờ)

Đường về dài: 120 + 5 = 125 (km)

Thời gian về là: $\dfrac{125}{x-5}$ (giờ)

Theo đầu bài có phương trình: $\dfrac{120}{x} + 1 =\dfrac{125}{x-5}$

Giải phương trình:

$x^2 – 5x + 120x – 600 = 125x \Leftrightarrow x^2 – 10x – 600 = 0$

$\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.( - 600) = 625 > 0,\sqrt {\Delta '} = 25$

${x_1} = 5 – 25 = -20, {x_2} = 5 + 25 = 30$

Vì x > 0 nên ${x_1} = -20$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h

Bài 44 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2)

Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân một nửa của nó bằng một nửa đơn vị.

Hướng dẫn giải:

Gọi số phải tìm là x.

Theo giả thiết một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}$

Theo đầu bài ta có phương trình: $(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2})\dfrac{x}{2} =\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x = 2$

hay x² – x – 2 = 0, có a – b + c = 1 – (-1) – 2 = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là: ${x_1} = -1, {x_2} = 2$

Vậy số phải tìm bằng -1 hoặc 2.

Bài 45 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là x và x + 1 (x ∈ N).

Tích của hai số là: x(x + 1) = x² + x.

Tổng hai số là : x + x + 1 = 2x + 1.

Theo bài ra ta có phương trình : x² + x = 2x + 1 + 109

⇔ x² – x – 110 = 0

Có a = 1; b = -1; c = -110 ⇒ Δ = (-1)² – 4.1.(-110) = 441.

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

${x_1} = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) + 21}}{2}=11, {x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) - 21}}{2}= -10$

Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 11 thỏa mãn điều kiện.

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Bài 46 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m². Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m), x > 0.

Vì diện tích của mảnh đất bằng 240 m2 nên chiều dài là: $\dfrac{240}{x} (m)$

Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì mảnh đất mới có chiều rộng là x + 3 (m), chiều dài là $(\dfrac{240}{x}- 4) (m)$ và diện tích là: $(x + 3)(\dfrac{240}{x}-4)=240 - 4x + \dfrac{{720}}{x} - 12 (m^2)$

Theo đầu bài ta có phương trình:

$\begin{array}{l} 240 - 4x + \dfrac{{720}}{x} - 12 = 240\\ \Rightarrow - 4{x^2} + 720 - 12x = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 180 = 0 \end{array}$

Giải phương trình: $\Delta = 3^2 + 720 = 729, \sqrt{\Delta} = 27$

Suy ra ${x_1} = \dfrac{{ - 3 + 27}}{2}= 12, {x_2} = \dfrac{{ - 3 - 27}}{2}= -15$

Vì x > 0 nên ${x_2} = -15$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là 12m, chiều dài là: 240 : 12 = 20 (m)

Vậy mảnh đất có chiều rộng là 12m, chiều dài là 20m.

Bài 47 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc của bác Hiệp là x (km/h), khi đó vận tốc của cô Liên là x - 3 (km/h), x > 3.

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là $\dfrac{30}{x}$ (giờ).

Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là: $\dfrac{30}{x-3}$ (giờ)

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình:

$\dfrac{30}{x-3}-\dfrac{30}{x} = \dfrac{1}{2}$

Giải phương trình:

$\begin{array}{l} 30.2x - 30.2\left( {x - 3} \right) = x\left( {x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 60x - 60x + 180 = {x^2} - 3x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 180 = 0\\ \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 180} \right) = 729 > 0,\sqrt \Delta = 27 \end{array}$

${x_1} = \dfrac{{3 + 27}}{2}= 15, {x_2} = \dfrac{{3 - 27}}{2}= -12$

Vì x > 3 nên ${x_2} = -12$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h

Vận tốc của cô Liên là 12 km/h

Bài 48 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)

Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 1500dm³ (h.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều rộng của miếng tôn là x (dm), x > 10.

Chiều dài của nó là 2x (dm)

Khi làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp thì chiều dài của thùng là 2x - 10 (dm), chiều rộng là x - 10 (dm), chiều cao là 5 (dm).

Dung tích của thùng là 5(2x - 10)(x - 10) $(dm^3)$

Theo đầu bài ta có phương trình:

$\begin{array}{l} 5\left( {2x - 10} \right)\left( {x - 10} \right) = 1500\\ \Leftrightarrow 5\left( {2{x^2} - 20x - 10x + 100} \right) = 1500\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 30x + 100 = 300\\ \Leftrightarrow {x^2} - 15x - 100 = 0 \end{array}$

Giải phương trình: $\Delta = 225 + 400 = 625 >0, \sqrt{\Delta} = 25$

Suy ra ${x_1} = 20, {x_2} = -5$ (loại)

Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40 (dm).

Bài 49 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)

Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc.

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0.

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là x + 6 (ngày).

Mỗi ngày đội I làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc).

Mỗi ngày đội II làm được $\dfrac{1}{x+6}$ (công việc)

Hai đội làm 4 ngày xong công việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được $\dfrac{1}{4}$ công việc ta có phương trình:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+6} = \dfrac{1}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {x + 6} \right) + 4.x = x\left( {x + 6} \right)\\ \Leftrightarrow 4x + 24 + 4x = {x^2} + 6x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 24 = 0 \end{array}$

$\Delta' = 1 + 24 = 25 = 5^2 {x_1} = 1 + 5 = 6, {x_2} = 1 - 5 = -4$

Vì x > 0 nên ${x_2} = -4$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc.

Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.

Bài 50 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)

Miếng kim loại thứ nhất nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích miếng thứ hai là 10cm³, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm³. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Hướng dẫn giải:

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: x (g/cm³ )

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: x - 1 (g/cm³ ) điều kiện x > 1

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: $\dfrac{880}{x}$ (cm³ )

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: $\dfrac{858}{x-1}$ (cm³ )

Theo đầu bài thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là 10 cm³ nên ta có phương trình: $\dfrac{858}{x-1} - \dfrac{880}{x} = 10$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 858x - 880\left( {x - 1} \right) = 10x\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 858x - 880x + 880 = 10{x^2} - 10x\\ \Leftrightarrow 10{x^2} + 12x - 880 = 0\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 6x - 440 = 0 \end{array}$

Ta có: $\Delta'=9 + 2200 = 2209, \sqrt{\Delta' }= 47$

Suy ra ${x_1} = \dfrac{{ - 3 + 47}}{5}= 8,8; {x_2} = \dfrac{{ - 3 - 47}}{5}= -10$

Vì x > 1 nên ${x_2}$ = -10 (loại)

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: 8,8 g/cm³

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: 7,8 g/cm³

Bài 51 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2)

Người ta đổ thêm 200g nước vào một dung dịch chứa 40g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước?

Hướng dẫn giải:

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: x (g), x > 0

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: $\dfrac{40}{x + 40}$

Nếu đổ thêm 200 g nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch sẽ là: x + 40 + 200 (g)

Nồng độ của dung dịch bây giờ là: $\dfrac{40}{x + 240}$

Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình:

$\dfrac{40}{x + 40}-\dfrac{40}{x + 240} = \dfrac{10}{100}$

Giải phương trình:

(x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - x - 40)

hay x² + 280x - 70400 = 0

$\Delta' = 19600 + 70400 = 90000, \sqrt{\Delta'} = 300$

Suy ra ${x_1} = 160, {x_2} = -440$

Vì x > 0 nên ${x_2} = -440$ (loại)

Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có 160 g nước.

Bài 52 (trang 60 SGK Toán 9 Tập 2)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy 3 km/h.

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h) (x > 3)

Gọi vận tốc xuôi dòng là : x + 3 (km/h)

Gọi vận tốc khi ngược dòng là : x – 3 (km/h)

Thời gian xuôi dòng là: $\dfrac{30}{x + 3}$ (giờ)

Thời gian ngược dòng là: $\dfrac{30}{x - 3}$ (giờ)

Nghỉ lại 40 phút hay $\dfrac{2}{3}$ giờ ở B.

Do kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 h nên ta có:

$\dfrac{30}{x+ 3}+ \dfrac{30}{x- 3}+ \dfrac{2}{3} = 6$

⇔ 30.3 (x- 3) + 30.3. (x+ 3) + 2(x+ 3). (x – 3) = 6.3.(x+3).(x – 3)

⇔ 90.(x – 3) + 90(x+ 3)+ 2(x² – 9) = 18 (x² -9)

⇔ 90x – 270+ 90x + 270 + 2x² – 18 = 18x² – 162

⇔ 180x + 2x² – 18 = 18x² – 162

⇔ 16x² – 180x -144= 0

⇔ 4x² –45x – 36 = 0

Có a=4; b= - 45, c= - 36

∆= ( -45)² – 4.4.(- 36)= 2601 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm là:

x₁= 12, x₂= $-\frac{3}{4}$

Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là 12km/h.

Bài 53 (trang 60 SGK Toán 9 Tập 2)

Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16) . Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên.Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hình 16

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.

Hướng dẫn giải:

Giả sử M là điểm chia đoạn AB sao cho AM>MB và AB có độ dài bằng a.

Gọi độ dài của AM = x; 0 < x < a. Khi đó MB = a - x.

Theo đầu bài: $\displaystyle{{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}$ hay $\displaystyle {x \over a} = {{a - x} \over x}$

Giải phương trình: $x^2 = a(a - x) hay x^2 + ax - a^2= 0$

$\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}$

Suy ra $\displaystyle {x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a(\sqrt 5 - 1)} \over 2},{x_2} = {{ - a(\sqrt 5 + 1)} \over 2}$

Vì x > 0 nên ${x_2}$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy $\displaystyle AM={{a(\sqrt 5 - 1)} \over 2}$

Tỉ số cần tìm là: $\displaystyle {{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 2}$

..................................................

Như vậy VnDoc đã giới thiệu các bạn tài liệu Giải SGK Toán lớp 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán 9 từ đó học tốt Toán 9 hơn. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt.

Bài tiếp theo: Giải SGK Toán lớp 9 Ôn tập Chương 4