Toán 9 Kết nối tri thức bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Trong chương trình Toán 9 Kết nối tri thức, kiến thức về đường thẳng và đường tròn đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành tư duy hình học và giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí của các đối tượng trên mặt phẳng. Với Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, học sinh sẽ tìm hiểu cách xác định một đường thẳng không giao, tiếp xúc hoặc cắt đường tròn tại hai điểm, đồng thời vận dụng mối quan hệ giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính để nhận biết từng trường hợp. Đây là nội dung nền tảng giúp các em hiểu sâu hơn về tính chất hình học, rèn luyện khả năng suy luận và chuẩn bị cho những dạng bài tập nâng cao.
Nhằm hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả, bài viết Giải SGK Toán 9 KNTT tập 1 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn cung cấp hướng dẫn giải bài tập theo từng bước rõ ràng, kết hợp giải thích kiến thức trọng tâm và phương pháp vận dụng phù hợp. Thông qua tài liệu này, các em có thể chủ động đối chiếu kết quả, phát hiện lỗi sai và củng cố kỹ năng trình bày lời giải hình học. Hãy cùng tìm hiểu nội dung bài học và luyện tập các dạng bài liên quan để nắm chắc kiến thức, nâng cao kết quả học tập môn Toán 9.
Giải Toán 9 KNTT bài 16
Giải Toán 9 trang 99
Hoạt động 1 trang 99 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho đường thẳng a và điểm O. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống a, và A là một điểm thuộc tia OH. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy vẽ đường tròn (O; OA) và cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; OA) có bao nhiêu điểm chung?
Hướng dẫn giải
a) Hình vẽ minh họa:
Đường thẳng a và đường tròn có 2 điểm chung.
b) Hình vẽ minh họa:
Đường thẳng a và đường tròn có 1 điểm chung.
c) Hình vẽ minh họa:
Đường thẳng a và đường tròn không có điểm chung.
Giải Toán 9 trang 100
Luyện tập 1 trang 100 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 4 cm. Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng a. Tại sao?
a) (O; 3 cm).
b) (O; 5 cm).
c) (O; 4 cm).
Hướng dẫn giải
a) Vì R = 3 cm < 4 cm nên đường tròn (O; 3 cm) không cắt đường thẳng a.
b) Vì R = 5 cm > 4 cm nên đường tròn (O; 5 cm) cắt đường thẳng a.
c) Vì R = 4 cm nên đường tròn (O; 4 cm) tiếp xúc với đường thẳng a.
Hoạt động 2 trang 100 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho đoạn thẳng OH và đường thẳng a vuông góc với OH tại H.
a) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng a.
b) Nếu vẽ đường thẳng (O; OH) thì đường tròn này và đường thẳng a có vị trí tương đối như thế nào?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng OH.
b) Nếu vẽ đường thẳng (O; OH) thì đường tròn (O; OH) tiếp xúc với đường thẳng a.
Giải Toán 9 trang 101
Luyện tập 2 trang 101 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (I; 3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.
Hướng dẫn giải
Gọi ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm; H là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC.
Hình vẽ minh họa:
Khi đó H cũng là trung điểm của BC.
Do ABCD là hình vuông nên AC và BD vuông góc.
Tam giác IBC vuông tại I có trung tuyến IH
Suy ra: IH = HB = HC = 
\(\frac{BC}{2}\)= 3 (cm).
Suy ra đường tròn (I; 3 cm) tiếp xúc với cạnh BC.
Tương tự ta cũng chứng minh được (I; 3 cm) tiếp xúc với 3 cạnh còn lại.
Vậy (I; 3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.
Thực hành trang 101 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho đường thẳng a và điểm M không thuộc a. Hãy vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với a.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
− Từ điểm M kẻ MH ⊥ a (H ∈ a).
− Vẽ đường tròn tâm M, bán kính MH.
− Từ đó ta vẽ được đường tròn tâm M tiếp xúc với a.
Vận dụng trang 101 Toán 9 Tập 1 KNTT
Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau.
Bằng cách xét vị trí của tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng song song cạnh nhau (cách đều hoặc không cách đều hai đường thẳng đó), hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.
Hướng dẫn giải
Đặt tên các đường thẳng a, b, c, d như hình vẽ dưới đây:
Đường kính của đồng xu là: 2 . 1 = 2 (cm).
a) Đường kính của đồng xu là 2 cm và bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Do đó, đồng xu đè có thể lên một đường thẳng (đồng xu che khuất một phần của đường thẳng).
b) Đồng xu không đè lên đường thẳng a và đường thẳng d.
c) Đồng xu chỉ cắt tối đa một đường thẳng (tức là đè lên một đường thẳng) hoặc đồng xu nằm giữa hai đường thẳng (hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn viền ngoài của đồng xu) hay đồng xu không đè lên đường thẳng nào.
Do đó, không xảy ra trường hợp đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.
Vậy chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.
Hoạt động 3 trang 101 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho điểm M ở bên ngoài một đường tròn tâm O. Hãy dùng thước và compa thực hiện các bước vẽ hình như sau:
− Vẽ đường tròn đường kính MO cắt đường tròn (O) tại A và B;
− Vẽ và chứng tỏ các đường thẳng MA và MB là hai tiếp tuyến của (O).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
• Tam giác OAM có O'A = O'O = O'M (cùng là bán kính của đường tròn (O')) nên tam giác OAM vuông tại A.
Suy ra: AM ⊥ OA tại A hay AM là tiếp tuyến của đường tròn (O').
• Tam giác OBM có O'B = O'O = O'M (cùng là bán kính của đường tròn (O')) nên tam giác OAM vuông tại B.
Suy ra: MB ⊥ OB tại B hay MB là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Giải Toán 9 trang 102
Hoạt động 4 trang 102 Toán 9 Tập 1 KNTT
(Dựa vào hình vẽ có được sau Hoạt động 3). Bằng cách xét hai tam giác OMA và OMB, chứng minh rằng:
a) MA = MB;
b) MO là tia phân giác của góc AMB;
c) OM là tia phân giác của góc AOB.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Xét hai tam giác vuông OAM và OBM có:
OA = OB; OM chung
Do đó ΔOAM = ΔOBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra AM = BM (hai cạnh tương ứng).
b) Vì ΔOAM = ΔOBM (câu a) nên OAM^=OBM^ (hai góc tương ứng).
Suy ra OM là tia phân giác của góc AMB.
c) Vì ΔOAM = ΔOBM (câu a) nên AOM^=BOM^ (hai góc tương ứng).
Suy ra Om là tia phân giác của góc AOB.
Giải Toán 9 trang 103
Thử thách nhỏ trang 103 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho góc xMy và điểm A thuộc tia Mx. Hãy vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai cạnh của góc xMy sao cho A là một trong hai tiếp điểm.
Hướng dẫn giải
− Vẽ góc xMy, lấy điểm A trên Mx.
− Vẽ tia Oz là tia phân giác của góc xMy.
− Từ A kẻ At ⊥ Mx, tia At cắt tia Mz tại điểm O.
− Vẽ đường tròn (O; OA), ta được đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai cạnh của góc xMy sao cho A là một trong hai tiếp điểm.
Hình vẽ minh họa:
Bài 5.20 trang 103 Toán 9 Tập 1 KNTT
Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm, 6 cm, 7 cm và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng a và b. Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đều cách a một khoảng 6 cm). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng b thì hình nào đè lên đường thẳng a, hình nào không đè lên đường thẳng a?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
• Vì a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm nên đường thẳng a tiếp xúc với hình tròn bán kính 6 cm, hay hình tròn bán kính 6 cm đè lên đường thẳng a.
• Vì 4 cm < 6 cm nên đường thẳng a và hình tròn bán kính 4 cm không cắt nhau, hay hình tròn bán kính 4 cm không đè lên trường thẳng a.
• Vì 7 cm > 6 cm; 8 cm > 6 cm nên đường thẳng a và hình tròn bán kính 4 cm cắt nhau, hay hình tròn bán kính 7 cm và 8 cm đè lên đường thẳng a.
Vậy hình tròn bán kính 4 cm không đè lên trường thẳng a, hình tròn bán kính 6 cm, 7 cm và 8 cm đè lên đường thẳng a.
Bài 5.21 trang 103 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A, B và C của một tam giác cân tại A, Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (O).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có đường thẳng AO là trục đối xứng của đường tròn.
Nên B là điểm đối xứng của C qua AO.
Gọi H là giao điểm của AO và BC.
Khi đó ta có: AH ⊥ BC mà d // BC nên AH ⊥ d.
Vậy d là một tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 5.22 trang 103 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại M. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (M; MA).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác OAM và tam giác OBM có:
OM chung
\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\) (do OM là tia phân giác của góc \(\widehat{AOB}\))
OA = OB
Do đó ΔOAM = ΔOBM (c.g.c).
Suy ra AM = BM (hai cạnh tương ứng).
Và \(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\) (hai góc tương ứng) hay OB ⊥ MB.
Do đó OA là tiếp tuyến của đường tròn (M; MA).
Vậy OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O).
Bài 5.23 trang 103 Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.
a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB.
b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE = SF.
Hướng dẫn giải
a) Hình vẽ minh họa
Hai tiếp tuyến EM và EA cắt nhau tại E nên EM = EA.
Hai tiếp tuyến FM và EB cắt nhau tại F nên FM = FB.
Chu vi tam giác SEF là:
CSEF = SE + SF + EF = SE + SF + EM + MF
= SE + EA + SF + BF = SA + SB.
Vậy chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB (điều phải chứng minh).
b) Hình vẽ minh họa
Vì SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại S nên SO là phân giác của \(\widehat {ASB}\).
=> \(\widehat {OSA}= \widehat {OSB}\) hay \(\widehat {MSE}=\widehat {MSF}\).
Xét tam giác SME và tam giác SMF có:
\(\widehat {SME}=\widehat{SMF}=90^0\)
SM chung
\(\widehat {MSE}=\widehat {MSF}\)
=> ΔSME = ΔSMF (g-c-g)
=> SE = SF (hai cạnh tương ứng)
=> Điều cần chứng minh.
Trắc nghiệm Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
------------------------------------------------------------
Giải bài tiếp theo:
- Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Luyện tập chung trang 108
- Bài tập cuối chương 5
- Bài 18: Hàm số y = ax^2 (a khác 0)
- Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn
-------------------------------------------
Bài học Toán 9 Kết nối tri thức Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa một đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng, từ đó nhận biết các trường hợp đường thẳng không giao, tiếp xúc hoặc cắt đường tròn tại hai điểm. Việc nắm chắc dấu hiệu nhận biết từng trường hợp, đặc biệt là mối liên hệ giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính, sẽ giúp các em giải quyết bài tập hình học chính xác và có cơ sở lập luận chặt chẽ. Đây cũng là kiến thức quan trọng để tiếp tục học các nội dung liên quan đến tiếp tuyến, góc và những bài toán hình học vận dụng trong chương trình Toán 9.
Thông qua tài liệu giải SGK Toán 9 KNTT tập 1 , học sinh có thể tham khảo cách phân tích đề, xác định dữ kiện cần thiết và trình bày lời giải theo từng bước hợp lý. Khi làm bài, các em nên chú ý phân biệt ba trường hợp về vị trí tương đối, vận dụng đúng điều kiện so sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng với bán kính đường tròn, đồng thời kết hợp hình vẽ để kiểm tra tính hợp lý của kết quả. Sau khi tham khảo lời giải, hãy thử tự làm lại bài tập và luyện thêm những dạng tương tự để củng cố kiến thức. Hy vọng nội dung Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 16 sẽ giúp các em nâng cao khả năng tư duy hình học, chủ động ôn tập và tự tin hơn khi giải các bài toán về đường thẳng và đường tròn.
