Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 6, trang 9, trang 10.

Giải bài tập Toán 9 KNTT bài 1

Giải Toán 9 trang 6
Giải Toán 9 trang 9
- Vận dụng trang 9 SGK Toán 9 tập 1 KNTT
Giải Toán 9 trang 10

Giải Toán 9 trang 6

Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Câu “Quýt, cam mười bảy quả tươi” có nghĩa là tổng số cam và số quýt là 17. Hãy viết hệ thức với hai biến x và y biểu thị giả thiết này.

Hướng dẫn giải:

Hệ thức biểu thị: $x + y = 17.$

Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Tương tự, hãy viết hệ thức với hai biến x và y biểu thị giả thiết cho bởi các câu thơ thứ ba, thứ tư và thứ năm.

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui.

Chia ba mỗi quả quýt rồi,

Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh.

Trăm người, trăm miếng ngọt lành.

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

Hướng dẫn giải:

Hệ thức liên hệ giữa x và y qua các câu thơ thứ ba, thứ tư và thứ năm là $3x + 10y = 100.$

Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Hãy viết một phương trình bậc nhất hai ẩn và chỉ ra một nghiệm của nó.

Hướng dẫn giải:

Ta có $2x - y = 5$ là một phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số $\left( {3;1} \right)$ $\left( {3;1} \right)$ là một nghiệm của phương trình $2x - y = 5$ vì $2.3 - 1 = 5.$ (luôn đúng).

Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Trong hai cặp số $\left( {0; - 2} \right)$ $\left( {0; - 2} \right)$ và $\left( {2; - 1} \right),$ $\left( {2; - 1} \right),$ cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\\4x + 3y = 5\end{array} \right.?$ $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\\4x + 3y = 5\end{array} \right.?$

Hướng dẫn giải:

Thay $\left( {0; - 2} \right)$ $\left( {0; - 2} \right)$ vào hệ đã cho ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}0 - 2.\left( { - 2} \right) = 4\\4.0 + 3\left( { - 2} \right) = 5\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}0 - 2.\left( { - 2} \right) = 4\\4.0 + 3\left( { - 2} \right) = 5\end{array} \right.$ (vô lí)

Nên $\left( {0; - 2} \right)$ $\left( {0; - 2} \right)$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Thay $\left( {2; - 1} \right)$ $\left( {2; - 1} \right)$ vào hệ đã cho ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2 - 2.\left( { - 1} \right) = 4\\4.2 + 3\left( { - 1} \right) = 5\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}2 - 2.\left( { - 1} \right) = 4\\4.2 + 3\left( { - 1} \right) = 5\end{array} \right.$ (luôn đúng)

Nên $\left( {2; - 1} \right)$ $\left( {2; - 1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải Toán 9 trang 9

Vận dụng trang 9 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Xét bài toán cổ trong tình huống mở đầu. Gọi x là số cam, y là số quýt cần tính $\left( {x;y \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ $\left( {x;y \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\10x + 3y = 100\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\10x + 3y = 100\end{array} \right.$

Trong hai cặp số $\left( {10;7} \right)$ $\left( {10;7} \right)$ và $\left( {7;10} \right),$ $\left( {7;10} \right),$ cặp số nào là nghiệm của hệ phương trỉnh trên? Từ đó cho biết phương án về số cam và số quýt thỏa mãn yêu cầu của bài toán cổ.

Hướng dẫn giải:

* Thay x = 10; y = 7 vào hệ phương trình đã cho, ta có:

• x + y = 10 + 7 = 17 nên (10; 7) là nghiệm của phương trình thứ nhất;

• 10x + 3y = 10 . 10 + 3 . 7 = 100 + 21 = 121 ≠ 100 nên (10; 7) không phải là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó (10; 7) không phải là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

* Thay x = 7; y = 10 vào hệ phương trình đã cho, ta có:

• x + y = 7 + 10 = 17 nên (7; 10) là nghiệm của phương trình thứ nhất;

• 10x + 3y = 10 . 7 + 3 . 10 = 70 + 30 = 100 nên (7; 10) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó (7; 10) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (7; 10) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vậy cặp số (7; 10) là nghiệm của hệ phương trình trên; số cam và số quýt thỏa mãn yêu cầu của bài toán cổ là 7 quả quả cam và 10 quả quýt.

Giải Toán 9 trang 10

Bài 1.1 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? Vì sao?

a) 5x – 8y = 0;

b) 4x + 0y = –2;

c) 0x + 0y = 1;

d) 0x – 3y = 9.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình 5x – 8y = 0 có dạng ax + by = c với a = 5 ≠ 0, b = –8 ≠ 0.

Do đó, phương trình 5x – 8y = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Phương trình 4x + 0y = –2 có dạng ax + by = c với a = 4 ≠ 0.

Do đó, phương trình 4x + 0y = –2 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) Phương trình 0x + 0y = 1 có dạng ax + by = c với a = 0, b = 0.

Do đó, phương trình 0x + 0y = 1 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Phương trình 0x – 3y = 9 có dạng ax + by = c với b = –3 ≠ 0.

Do đó, phương trình 0x – 3y = 9 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 1.2 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

a) Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu "?" trong bảng sau rồi cho biết 6 nghiệm của phương trình 2x – y = 1:

x	–1	–0,5	0	0,5	1	2
y = 2x – 1	?	?	?	?	?	?

b) Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải:

a)

Với x = –1, ta có y = 2 . (–1) – 1 = – 2 – 1 = –3;
Với x = –0,5, ta có y = 2 . (–0,5) – 1 = – 1 – 1 = –2;
Với x = 0, ta có y = 2 . 0 – 1 = 0 – 1 = –1;
Với x = 0,5, ta có y = 2 . 0,5 – 1 = 1 – 1 = 0;
Với x = 1, ta có y = 2 . 1 – 1 = 2 – 1 = 1;
Với x = 2, ta có y = 2 . 2 – 1 = 4 – 1 = 3.

Vậy ta có bảng sau:

x	–1	–0,5	0	0,5	1	2
y = 2x – 1	–3	–2	–1	0	1	3

Vậy 6 nghiệm của phương trình đã cho là (–1; –3), (–0,5; –2), (0; –1), (0,5; 1), (1; 1), (2; 3).

b) Ta có y = 2x – 1. Với mỗi giá trị x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị y tương ứng.

Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Bài 1.3 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x – y = 3;

b) 0x + 2y = –4;

c) 3x + 0y = 5.

Hướng dẫn giải:

a) Xét phương trình 2x – y = 3. (1)

Ta viết (1) dưới dạng y = 2x – 3. Mỗi cặp số (x; 2x – 3) với x ∈ ℝ tùy ý, là một nghiệm của (1).

Khi đó, ta nói phương trình (1) có nghiệm (tổng quát) là: (x; 2x – 3) với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng y = 2x – 3.

Ta xác định được hai điểm tùy ý của đường thẳng y = 2x – 3, chẳng hạn A(0; – 3), B(1; –1).

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

b) Xét phương trình 0x + 2y = –4 . (2)

Ta viết gọn (2) thành y = –2. Phương trình (2) có nghiệm (x; –2) với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm M(0; –2). Ta gọi đó là đường thẳng y = –2.

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

c) Xét phương trình 3x + 0y = 5. (3)

Ta viết gọn (3) thành $x=\frac{5}{3}$ $x=\frac{5}{3}$. Phương trình (3) có nghiệm $\left( {\frac{5}{3};y} \right)$ $\left( {\frac{5}{3};y} \right)$ với y ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm $(\frac53;0)$ $(\frac53;0)$. Ta gọi đó là đường thẳng $x=\frac{5}{3}$ $x=\frac{5}{3}$.

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

Bài 1.4 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Cho hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}2x = - 6\\5x + 4y = 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}2x = - 6\\5x + 4y = 1\end{array} \right.$

a) Hệ phương trình trên có là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không? Vì sao?

b) Cặp số (–3; 4) có là một nghiệm của hệ phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

a) Hệ phương trình đã cho là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hai phương trình của hệ đã cho đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay x = –3; y = 4 vào hệ phương trình đã cho, ta có:

• 2x = 2 . (−3) = −6 nên (–3; 4) là nghiệm của phương trình thứ nhất;

• 5x + 4y = 5 . (−3) + 4 . 4 = −15 + 16 = 1 nên (–3; 4) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó (–3; 4) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (–3; 4) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 1.5 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 KNTT

Cho các cặp số (–2; 1), (0; 2), (1; 0), (1,5; 3), (4; –3) và hai phương trình

5x + 4y = 8, (1)

3x + 5y = –3. (2)

Trong các cặp số đã cho:

a) Những cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2)?

c) Vẽ hai đường thẳng 5x + 4y = 8 và 3x + 5y = –3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ để minh họa kết luận ở câu b.

Hướng dẫn giải:

a)

• Thay x = –2; y = 1 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . (–2) + 4 . 1 = −10 + 4 = −6 ≠ 8 nên (–2; 1) không phải là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 0; y = 2 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . 0 + 4 . 2 = 0 + 8 = 8 nên (0; 2) là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 1; y = 0 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . 1 + 4 . 0 = 5 + 0 = 5 ≠ 8 nên (1; 0) không phải là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 1,5; y = 3 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . 1,5 + 4 . 3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8 nên (1,5; 3) không phải là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 4; y = –3 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . 4 + 4 . (–3) = 20 – 12 = 8 nên (4; –3) là nghiệm của phương trình (1).

Vậy cặp số là nghiệm của phương trình (1) là (0; 2) và (4; –3).

b) Để cặp số là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2) thì cặp số đó phải là nghiệm của phương trình (1). Khi đó, ta có:

• Thay x = 0; y = 2 vào phương trình (2), ta có:

3x + 5y = 3 . 0 + 5 . 2 = 0 + 10 = 10 ≠ –3 nên (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình (2).

• Thay x = 4; y = –3 vào phương trình (2), ta có:

3x + 5y = 3 . 4 + 5 . (–3) = 12 – 15 = –3 nên (4; –3) là nghiệm của phương trình (2).

Ta thấy nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình (2) là cặp số (4; –3).

Do đó, cặp số (4; –3) là nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2).

c) Đường thẳng 5x + 4y = 8 đi qua điểm A(0; 2) và B(4; –3).

Đường thẳng 3x + 5y = –3 đi qua điểm B(4; –3) và C(–1; 0).

Hai đường thẳng 5x + 4y = 8 và 3x + 5y = –3 cắt nhau tại B(4; –3), tức là (4; –3) là nghiệm của hệ (1) và (2).

Bài 1.5 trang 10 Toán 9 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 9