Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9

Nhằm mang đến cho các em học sinh ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi, cũng như thầy cô giáo có tài liệu luyện thi cho học sinh, VnDoc gửi tới các bạn tài liệu Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9. Đây là tài liệu hữu ích dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9, ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Mời thầy cô và các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

A. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad – bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

Câu 4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a³ + b³.

Câu 6. Cho a³ + b³ = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Câu 9.

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)² ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2x – 3| = |1 – x|

b) x² – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a² + b² + c² + d² = a(b + c + d)

Câu 13. Cho biểu thức M = a² + ab + b² – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 14. Cho biểu thức P = x² + xy + y² – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:

x² + 4y² + z² – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3

Câu 19. Giải phương trình: .

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x²y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

Câu 21. Cho .

Hãy so sánh S và .

Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.

Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:

Câu 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:

Câu 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?

Câu 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:

Câu 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng:

Câu 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

c) (a₁ + a₂ + ….. + a_n)² ≤ n(a₁² + a₂² + ….. + a_n²).

Câu 30. Cho a³ + b³ = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.

Câu 31. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].

Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của: với x, y, z > 0.

Câu 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x² + y² biết x + y = 4.

Câu 35. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

Câu 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:

a) ab và a/b là số vô tỉ.

b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a² và b² là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

Câu 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

Câu 39. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1

Câu 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.

Câu 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

Câu 42. a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B |. Dấu “ = ” xảy ra khi nào?

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: .

c) Giải phương trình:

Câu 43. Giải phương trình: .

Câu 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

Câu 45. Giải phương trình: \(\frac{x^{2} - 3x}{\sqrt{x - 3}} = 0\)

Câu 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A = \sqrt{x} + x\).

Câu 47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(B = \sqrt{3 - x} + x\)

Câu 48. So sánh:

a) \(a = \sqrt{2 + \sqrt{3}}\ \ \ và\ \ \ b = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}\)

b) \(\sqrt{5 - \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}\ \ \ và\ \ \ \sqrt{3} - 1\)

c) \(\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}\ \ \ và\ \ \ \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\) (n là số nguyên dương)

Câu 49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhấ: \(A = 1 - \sqrt{1 - 6x + 9x^{2}} + (3x - 1)^{2}\).

Câu 50. Tính:

\(a,\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\)

\(b,\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}\)

\(c,\sqrt{27 - 10\sqrt{2}}\)

\(d,A = \sqrt{m^{2} + 8m + 16} + \sqrt{m^{2} - 8m + 16}\)

\(e)\ \ \ B = \sqrt{n + 2\sqrt{n - 1}} + \sqrt{n - 2\sqrt{n - 1}}\) (n ≥ 1)

Câu 51. Rút gọn biểu thức: \(M =\frac{8\sqrt{41}}{\sqrt{45 + 4\sqrt{41}} + \sqrt{45 -4\sqrt{41}}}\).

Câu 52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: \((2x - y)^{2} + (y - 2)^{2} + \sqrt{(x + y + z)^{2}} = 0\)

Câu 53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \sqrt{25x^{2} - 20x + 4} + \sqrt{25x^{2} - 30x + 9}\).

Câu 54. Giải các phương trình sau:

\(a,\sqrt{x^{2} - x - 2} - \sqrt{x - 2} = 0\)

\(b,\sqrt{x^{2} - 1} + 1 = x^{2}\)

\(c,\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x - 2} = 0\)

Câu 55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện: xy = 1 và x > y. CMR: \(\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} \geq 2\sqrt{2}\).

Câu 56. Rút gọn các biểu thức:

\(a,\sqrt{13 + 30\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}}\)

\(b,\sqrt{m + 2\sqrt{m - 1}} + \sqrt{m - 2\sqrt{m - 1}}\)

\(c,\sqrt{2 + \sqrt{3}}.\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}.\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}.\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}\)

\(d,\sqrt{227 - 30\sqrt{2}} + \sqrt{123 + 22\sqrt{2}}\)

Câu 57. Chứng minh rằng \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Câu 58. Rút gọn các biểu thức:

\(a,C = \frac{\sqrt{6 + 2\left( \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)} - \sqrt{6 - 2\left( \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)}}{\sqrt{2}}\)

\(b,D = \frac{\sqrt{9 - 6\sqrt{2}} - \sqrt{6}}{\sqrt{3}}\)

Câu 59. So sánh:

\(a,\sqrt{\sqrt{6 + \sqrt{20}}};\sqrt{1 + \sqrt{6}}\)

\(b,\sqrt{\sqrt{17 + 12\sqrt{2}}};\sqrt{2} + 1\)

\(c,\sqrt{\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}};\sqrt{3} - 2\)

Câu 60. Cho biểu thức: \(A = \sqrt{x - \sqrt{x^{2} - 4x + 4}}\)

a. Tìm tập xác định của biểu thức A.

b. Rút gọn biểu thức A.

B. ĐÁP ÁN CHI TIẾT CỦA BÀI TẬP

1. Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ \(\Rightarrow \sqrt{7} = \frac{m}{n}\) (tối giản). Suy ra \(7 = \frac{m^{2}}{n^{2}}\) hay \(7n^{2} = m^{2}(1)\). Đẳng thức này chứng tỏ \(m^{2}:7\) mà 7 là số nguyên tố nên \(m:7\).

Đặt \(m = 7k\ (k \in Z)\), ta \(m^{2} = 49k^{2}(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(7n^{2} = 49k^{2}\) nên \(n^{2} = 7k^{2}\) (3).

Từ (3) ta lại có \(n^{2} \vdots 7\) và vì 7 là số nguyên tố nên n : 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số \(\frac{m}{n}\) không tối giản, trái giả thiết.

Vậy \(\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ; do đó \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ.

2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a\() \Rightarrow b)\) vì \((ad - bc)^{2} \geq 0\).

3. Cách 1: Từ \(x + y = 2\) ta có \(y = 2 - x\). Do đó: \(S = x^{2} + (2 - x)^{2} = 2(x - 1)^{2} + 2 \geq 2\).

Vậy \(minS = 2 \Leftrightarrow x = y = 1\).

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với \(a = x,c = 1,\text{\ }b = y,d = 1\), ta có : \((x + y)^{2} \leq \left( x^{2} + y^{2} \right)(1 + 1) \Leftrightarrow 4 \leq 2\left( x^{2} + y^{2} \right) = 2S \Leftrightarrow S \geq 2. \Rightarrow mimS = 2\) khi \(x = y = 1\)

4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\) và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\) và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\) và \(\frac{ab}{c}\), ta lần lượt có:

\(\frac{bc}{a} + \frac{ca}{\text{\ }b} \geq 2\sqrt{\frac{bc}{a} \cdot \frac{ca}{\text{\ }b}} = 2c;\frac{bc}{a} + \frac{ab}{c} \geq 2\sqrt{\frac{bc}{a} \cdot \frac{ab}{c}} = 2\text{\ }b;\frac{ca}{\text{\ }b} + \frac{ab}{c} \geq 2\sqrt{\frac{ca}{\text{\ }b} \cdot \frac{ab}{c}} = 2a\text{~~}\)

Cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c\).
c) Với các số dương \(3a\) và \(5b\), theo bất đẳng thức Cauchy ta có : \(\frac{3a + 5b}{2} \geq \sqrt{3a \cdot 5b}\).
\(\Leftrightarrow (3a + 5b)^{2} \geq 4.15P(\) vì \(P = a.b) \Leftrightarrow 12^{2} \geq 60P \Leftrightarrow P \leq \frac{12}{5} \Rightarrow maxP = \frac{12}{5}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(3a = 5\text{\ }b = 12:2 \Leftrightarrow a = 2;b = 6/5\).
5. Ta có \(b = 1 - a\), do đó \(M = a^{3} + (1 - a)^{3} = 3(a - 1/2)^{2} + 1/4 \geq 1/4\). Dấu "=" xảy ra khi \(a = 1/2\).

Vậy \(\min M = 1/4 \Leftrightarrow a = b = 1/2\).

6. Đặt \(a = 1 + x\)

\(\Rightarrow b^{3} = 2 - a^{3} = 2 - (1 + x)^{3}\)

\(= 1 - 3x - 3x^{2} - x^{3} \leq 1 - 3x + 3x^{2} - x^{3} = (1 - x)^{3}\).

Suy ra: \(b \leq 1 - x\).

Ta lại có \(a = 1 + x\), nên : \(a + b \leq 1 + x + 1 - x = 2\).
Với \(a = 1,\text{\ }b = 1\) thì \(a^{3} + b^{3} = 2\) và \(a + b = 2\). Vậy \(maxN = 2\) khi \(a = b = 1\).

7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng \((a - b)^{2}(a + b)\).

8. Vì \(|a + b| \geq 0,|a - b| \geq 0\), nên : \(|a + b| > |a - b| \Leftrightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} \geq a^{2} - 2ab + b^{2}\) \(\Leftrightarrow 4ab > 0 \Leftrightarrow ab > 0\). Vậy \(a\) và \(b\) là hai số cùng dấu.

9. a) Xét hiệu : \((a + 1)^{2} - 4a = a^{2} + 2a + 1 - 4a = a^{2} - 2a + 1 = (a - 1)^{2} \geq 0\).
b) Ta có : \((a + 1)^{2} \geq 4a;(b + 1)^{2} \geq 4\text{\ }b;(c + 1)^{2} \geq 4c\) và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương, nên : \(\lbrack(a + 1)(b + 1)(c + 1)\rbrack^{2} \geq 64abc = 64.1 = 8^{2}\). Vậy \((a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 8\).

10. a) Ta có : \((a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2\left( a^{2} + b^{2} \right)\). Do \((a - b)^{2} \geq 0\), nên \((a + b)^{2} \leq 2\left( a^{2} + b^{2} \right)\).

b) Xét : \((a + b + c)^{2} + (a - b)^{2} + (a - c)^{2} + (b - c)^{2}\). Khai triển và rút gọn,

ta được : \(3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)\). Vậy : \((a + b + c)^{2} \leq 3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)\).
11. a) \(|2x - 3| = |1 - x| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} 2x - 3 = 1 - x \\ 2x - 3 = x - 1 \\ \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3x = 4 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{4}{3} \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \\ \end{matrix} \right.\)
b) \(x^{2} - 4x \leq 5 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} \leq 3^{3} \Leftrightarrow |x - 2| \leq 3 \Leftrightarrow - 3 \leq x - 2 \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 5\).
c) \(2x(2x - 1) \leq 2x - 1 \Leftrightarrow (2x - 1)^{2} \leq 0\). Nhưng \((2x - 1)^{2} \geq 0\), nên chỉ có thể : \(2x - 1 = 0\)

Vậy: \(x = 1/2\).

11. a) \(|2x - 3| = |1 - x|\ \ \Leftrightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3 = 1 - x \\ 2x - 3 = x - 1 \end{matrix} \right.\ \\)

\(\Leftrightarrow \ \ \ \left\lbrack \begin{matrix} 3x = 4 \\ x = 2 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{4}{3} \\ x = 2 \end{matrix} \right.\)

b) x² – 4x ≤ 5 ⇔ (x – 2)² ≤ 3³

⇔ | x – 2 | ≤ 3 ⇔ -3 ≤ x – 2 ≤ 3 ⇔ -1 ≤ x ≤ 5.

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 ⇔ (2x – 1)² ≤ 0.

Nhưng (2x – 1)² ≥ 0, nên chỉ có thể: 2x – 1 = 0

Vậy : x = ½ .

12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a² + b² + c² + d² – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế của (1) với 4 rồi đưa về dạng : a² + (a – 2b)² + (a – 2c)² + (a – 2d)² = 0 (2).

Do đó ta có:

a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.

13. 2M = (a + b – 2)² + (a – 1)² + (b – 1)² + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998.

Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : \(\left\{ \begin{matrix} a + b - 2 = 0 \\ a - 1 = 0 \\ b - 1 = 0 \end{matrix} \right.\) Vậy min M = 1998 ⇔ a = b = 1.

14. Giải tương tự bài 13.

15. Đưa đẳng thức đã cho về dạng: (x – 1)² + 4(y – 1)² + (x – 3)² + 1 = 0.

16. \(A = \frac{1}{x^{2} - 4x + 9} = \frac{1}{(x - 2)^{2} + 5} \leq \frac{1}{5}.\ \ max\ A = \frac{1}{5}\ \ \Leftrightarrow \ \ x = 2\).

17. a) \(\sqrt{7} + \sqrt{15} < \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). Vậy \(\sqrt{7} + \sqrt{15}\) < 7

b) \(\sqrt{17} + \sqrt{5} + 1 > \sqrt{16} + \sqrt{4} + 1\)

\(= 4 + 2 + 1 = 7 = \sqrt{49} > \sqrt{45}\).

c) \(\frac{23 - 2\sqrt{19}}{3} < \frac{23 - 2\sqrt{16}}{3} = \frac{23 - 2.4}{3} = 5 = \sqrt{25} < \sqrt{27}\).

d) Giả sử \(\sqrt{3\sqrt{2}} > \sqrt{2\sqrt{3}}\ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \sqrt{3\sqrt{2}} \right)^{2} > \left( \sqrt{2\sqrt{3}} \right)^{2}\\)

\(\Leftrightarrow \ \ 3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}\ \ \Leftrightarrow \ \ \sqrt{18} > \sqrt{12}\ \ \Leftrightarrow \ \ 18 > 12\).

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : \(\sqrt{3\sqrt{2}} > \sqrt{2\sqrt{3}}\).

18. Các số đó có thể là 1,42 và \(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}\)

19. Viết lại phương trình dưới dạng : \(\sqrt{3(x + 1)^{2} + 4} + \sqrt{5(x + 1)^{2} + 16} = 6 - (x + 1)^{2}\).

Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.

20. Bất đẳng thức Cauchy \(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}\) viết lại dưới dạng \(ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^{2}\) (*) (a, b ≥ 0).

Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được :

\(2x.xy \leq \left( \frac{2x + xy}{2} \right)^{2} = 4\)

Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2. ⇒ max A = 2 ⇔ x = 2, y = 2.

21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : \(\frac{1}{\sqrt{ab}} > \frac{2}{a + b}\). Áp dụng ta có S > \(2.\frac{1998}{1999}\).

22. Chứng minh như bài 1.

23. a) \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x^{2} + y^{2} - 2xy}{xy} = \frac{(x - y)^{2}}{xy} \geq 0\). Vậy \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\)

b) Ta có:

\(A = \left( \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \right) - \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)\)

\(= \left( \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \right) - 2\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) + \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)\).

Theo câu a:

\(A \geq \left( \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \right) - 2\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) + 2 = \left( \frac{x}{y} - 1 \right)^{2} + \left( \frac{y}{x} - 1 \right)^{2} \geq 0\)

c) Từ câu b suy ra: \(\left( \frac{x^{4}}{y^{4}} + \frac{y^{4}}{x^{4}} \right) - \left( \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \right) \geq 0\). Vì \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\) (câu a).

Do đó:

\(\left( \frac{x^{4}}{y^{4}} + \frac{y^{4}}{x^{4}} \right) - \left( \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \right) + \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \geq 2\).

24. a) Giả sử \(\sqrt{1 + \sqrt{2}}\) = m (m: số hữu tỉ) ⇒ \(\sqrt{2}\) = m² – 1 ⇒ \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ (vô lí)

b) Giả sử m + \(\frac{\sqrt{3}}{n}\) = a (a : số hữu tỉ) ⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{n}\) = a – m

⇒ \(\sqrt{3}\) = n(a – m) ⇒ \(\sqrt{3}\) là số hữu tỉ, vô lí.

25. Có, chẳng hạn \(\sqrt{2} + (5 - \sqrt{2}) = 5\)

26. Đặt \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = a\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + 2 = a^{2}\). Dễ dàng chứng minh \(\ \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 2\) nên a² ≥ 4, do đó

| a | ≥ 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a² – 2 + 4 ≥ 3a

⇔ a² – 3a + 2 ≥ 0 ⇔ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)

Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2.

Nếu a ≥ 2 thì (2) đúng. Nếu a ≤ -2 thì (2) cũng đúng. Bài toán được chứng minh.

27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :

\(\frac{x^{4}z^{2} + y^{4}x^{2} + z^{4}x^{2} - \left( x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y \right)xyz}{x^{2}y^{2}z^{2}} \geq 0\).

Cần chứng minh tử không âm, tức là : x³z²(x – y) + y³x²(y – z) + z³y²(z – x) ≥ 0. (1)

Biểu thức không đổi khi hoán vị vòng x 🡪 y 🡪 z 🡪 x nên có thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai trường hợp :

a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với :

x³z²(x – y) + y³x²(y – z) – z³y²(x – y) – z³y²(y – z) ≥ 0

⇔ z²(x – y)(x³ – y²z) + y²(y – z)(yx² – z³) ≥ 0

Dễ thấy x – y ≥ 0 , x³ – y²z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx² – z³ ≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng.

b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với :

x³z²(x – z) + x³z²(z – y) – y³x²(z – y) – z³y²(x – z) ≥ 0

⇔ z²(x – z)(x³ – zy²) + x²(xz² – y³)(z – y) ≥ 0

Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng.

Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :

\(\left( \frac{x}{y} - 1 \right)^{2} + \left( \frac{y}{z} - 1 \right)^{2} + \left( \frac{z}{x} - 1 \right)^{2} + \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \right)\ \ \geq 3\).

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!

--------------------------------------------------------------

Ngoài tài liệu Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9 mà VnDoc chia sẻ trên đây, các bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu môn Toán lớp 9 khác được cập nhật liên tục trên VnDoc.